Newtonovy interpolační vzorce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. září 2019; kontroly vyžadují 7 úprav .

Newtonovy interpolační vzorce jsou výpočetní matematické vzorce používané pro polynomiální interpolaci .

Vzorce

Nechť jsou dány párově odlišné body , nazývané také interpolační uzly, a hodnoty některých funkcí v těchto bodech jsou známé. ${\displaystyle x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n))$ $f(x_{0}),\,f(x_{1}),\,\ldots ,\,f(x_{n})$ $F$

Případ nerovných uzlů

Pokud jsou všechny vzdálenosti mezi sousedními uzly různé, pak se Newtonův polynom sestrojí podle vzorce [1]

P_{n}(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f(x_{0};x_{1})+(x-x_{0})(x -x_{1})f(x_{0};x_{1};x_{2})+\ldots +(x-x_{0})\ldots (x-x_{n-1})f(x_ {0};\ldots ;x_{n}),

kde je dělený rozdíl pořadí . $f(x_{0};\ldots ;x_{n})$ $n$

Pomocí vlastností děleného rozdílu lze ukázat, že výše uvedený polynom ve skutečnosti řeší problém interpolace : [2]

Dovolit být Lagrangeův interpolační polynom pro body . Pak . $L_{k}(x)$ ${\displaystyle x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{k))$ $L_{n}(x)=L_{0}(x)+(L_{1}(x)-L_{0}(x))+\ldots +(L_{n}(x)-L_ {n-1}(x))$

Zvažte : $L_{k}(x)-L_{k-1}(x)$

$L_{k}(x)-L_{k-1}(x)=\sum _{i=0}^{k}f(x_{i})*\prod _{j=0,j \neq i}^{k}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j))}}-\součet _{i=0}^{k-1} f(x_{i})*\prod _{j=0,j\neq i}^{k-1}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j })}}=$

$=\sum _{i=0}^{k-1}f(x_{i})*{\frac {(x-x_{0})*\ldots (x-x_{i-1} )*(x-x_{i+1})\ldots *(x-x_{k-1})}{(x_{i}-x_{0})*\ldots *(x_{i}-x_{ i-1})*(x_{i}-x_{i+1})*\ldots *(x_{i}-x_{k-1})}}*({\frac {x-x_{k} }{x_{i}-x_{k}}}-1)+$

$+f(x_{k})*{\frac {(x-x_{0})*\ldots *(x-x_{k-1})}{(x_{k}-x_{0} )*\ldots *(x_{k}-x_{k-1})}}$ .

Na druhou stranu, rozdíl dvou Lagrangeových interpolačních polynomů je polynom stupně a jeho kořeny jsou známé - . $k-1$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{k-1))$

Podle Bezoutovy věty dostáváme: . $L_{k}(x)-L_{k-1}(x)=a*(x-x_{0})*...*(x-x_{k-1})$

Najdeme : nech $A$ ${\displaystyle x=x_{k))$

$a=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f(x_{i})}{(x_{i}-x_{0})*...*(x_{i }-x_{i-1})*(x_{i}-x_{i+1})*...*(x_{i}-x_{k})}}=f(x_{0};x_ {1};...;x_{k})$

Po dosazení výsledku do dostaneme . $L_n(x)$ $P_n(x)$

Je tedy ukázáno, že Newtonův polynom se v případě nestejně rozmístěných uzlů shoduje s Lagrangeovým interpolačním polynomem, a proto řeší interpolační problém.

Případ ekvidistantních uzlů

Pokud jsou sousední uzly v určité pevné vzdálenosti od sebe , to znamená , , pak lze Newtonův polynom sestavit buď od (v tomto případě se mluví o „dopředné interpolaci“) nebo od („zpětná interpolace“). $h$ $x_{i}=x_{0}+ih$ $i=0,\ldots ,n$ $x_{0}$ $x_{n}$

V prvním případě má vzorec pro Newtonův polynom tvar [3]

P_{n}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}+{\frac {q(q-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0} +\ldots +{\frac {q(q-1)\ldots (q-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},

kde , a výrazy formy jsou konečné rozdíly . $q=(x-x_{0})/h,\;y_{i}=f(x_{i})$ $\Delta ^{k}y_{0}$

Ve druhém případě má vzorec tvar [4]

P_{n}(x)=y_{n}+q\Delta y_{n-1}+{\frac {q(q+1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{ n-2}+\ldots +{\frac {q(q+1)\ldots (q+n-1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},

kde . $q=(x-x_{n})/h$

Pro , vzorec $h=1$

P_{n}(x)=\součet _{{m=0}}^{{n}}C_{x}^{m}\součet _{{k=0}}^{m}(-1) ^{{mk}}\,C_{m}^{k}\,f(k)

kde jsou binomické koeficienty zobecněné na obor reálných čísel . $C_{x}^{m}$

Zbytek

Newtonův polynom je jednou z forem Lagrangeova polynomu , takže zbývající členy těchto vzorců jsou stejné [5] . Zbývající člen Newtonova vzorce však může být zapsán v jiné formě: $R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)$