Pravidlo produktu

Pravidlo součinu neboli Leibnizova identita je charakteristickou vlastností diferenciálních operátorů .

\delta (f\krát g)=(\delta f)\krát g+f\krát (\delta g).

Leibnizova identita je často zahrnuta jako axiom v definici diferenciace.

Příklady

Pro derivaci $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$
Pro diferenciál $d(f\cdot g)=(df)\cdot g+f\cdot (dg)$

Variace a zobecnění

Vícenásobná derivace

Pro --tou derivaci existuje zobecněný Leibnizův vzorec : $n$

\left(f\cdot g\right)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{ (nk)}}g^{{(k)}}},

kde jsou binomické koeficienty .

C_{n}^{k}

Stupňovaná algebra

Operace na stupňované algebře splňuje stupňovanou Leibnizovu identitu , pokud pro jakýkoli , ${\displaystyle \delta _{l}\colon \oplus _{k}\Omega ^{k}\to \oplus _{k}\Omega ^{k+l))$ ${\displaystyle \Omega =\oplus _{k}\Omega ^{k))$ ${\displaystyle K\in \Omega ^{k))$ $F\in \Omega$

\delta _{l}(K\wedge F)=\delta _{l}(K)\wedge F+(-1)^{kl}K\wedge \delta _{l}(F)

kde je násobení v . Většina odvození na algebře diferenciálních forem tuto identitu splňuje. $\klín$ $\Omega$

Asociativní algebra

V asociativní algebře platí následující identita : Tato identita je Leibnizovým pravidlem pro operátor.Z tohoto důvodu se operátor v algebře nazývá vnitřní derivace . Podobnou vlastnost má i operátor $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C].$ $D_{A}=[A,\cdot ].$ $D_{A}$ ${\tilde D}_{A}=[\cdot ,A].$

Tudíž, $[A,B_{1}B_{2}\tečky B_{n}]=[A,B_{1}]B_{2}\tečky B_{n}+B_{1}[A,B_{ 2}]\tečky B_{n}+\tečky +B_{1}B_{2}\tečky [A,B_{n}].$

Viz také

Pravidlo násobení (kombinatorika)