Cauchyho integrální vzorec

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. září 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Cauchyho integrální vzorec je vztah pro holomorfní funkce komplexní proměnné, který dává do vztahu hodnotu funkce v bodě a její hodnoty na obrysu obklopujícím bod.

Tento vzorec vyjadřuje jeden z nejdůležitějších rysů komplexní analýzy : hodnotu v kterémkoli bodě regionu lze určit na základě znalosti hodnot na jeho hranici.

Formulace

Nechť je doména na komplexní rovině s po částech hladkou hranicí , nechť funkce je holomorfní v a je bodem uvnitř domény . Pak platí následující Cauchyho vzorec: $D$ $\Gamma=\částečné D$ $f(z)$ $\overline {D}$ $z_{0}$ $D$

f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}} }\,dz.

Vzorec platí i tehdy, předpokládáme-li, že je uvnitř holomorfní a na uzávěru souvislý, a také není-li hranice po částech hladká, ale pouze rektifikovatelná . $f(z)$ $D$ $D$

Důkaz

Uvažujme kružnici s dostatečně malým poloměrem se středem v bodě . $S_{\rho }$ $\rho$ $z_{0}$

V oblasti ohraničené vrstevnicemi a (tj. skládající se z bodů oblasti , kromě bodů uvnitř ) nemá integrand žádné singularity a podle Cauchyho integrální věty je jeho integrál přes hranici této oblasti se rovná nule. To znamená, že bez ohledu na to máme rovnost $\Gamma$ $S_{\rho }$ $D$ $S_{\rho }$ $\rho$

\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz=\int \limits _{S_{\rho }}{\frac { f(z)}{z-z_{0}}}\,dz.

Pro výpočet integrálů přes použijeme parametrizaci . $S_{\rho }$ $z=z_{0}+\rho e^{i\varphi },\ \varphi \in [0;\;2\pi ]$

Nejprve dokážeme Cauchyho vzorec samostatně pro případ : $f(z)=1$

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {1}{z-z_{0}}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\rho e^{i\varphi }}}i\rho e^{i\ varphi }\,d\varphi =1.

Použijme to k prokázání obecného případu:

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz- f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}} }\,dz-{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z_{0})}{z-z_{0}} }\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z- z_{0}}\,dz.

Protože funkce je komplexní diferencovatelná v bodě , pak $f(z)$ $z_{0}$

{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=f'(z_{0})+o(1).

Integrál je roven nule: $f'(z_{0})$

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}f'(z_{0})\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }f'(z_{0})i\rho e^{i\varphi }\,d\varphi =0.

Integrál členu může být libovolně malý pro . Ale protože na tom vůbec nezávisí, znamená to, že se rovná nule. Ve výsledku to dostáváme $o(1)$ $\rho \to 0$ $\rho$

{\frac {1}{2\pi i))\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0))}\,dz-f(z_ {0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z- z_{0}}\,dz=0.

Důsledky

Cauchyho vzorec má mnoho různých důsledků. Toto je klíčový teorém všech komplexních analýz. Zde jsou některé z jeho důsledků:

Analyticita holomorfních funkcí

V sousedství libovolného bodu z oblasti, kde je funkce holomorfní, se shoduje se součtem mocninné řady : $z_{0}$ $f(z)$

f(z)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}

navíc její poloměr konvergence není menší než poloměr kružnice se středem v bodě, ve kterém je funkce holomorfní, a koeficienty lze vypočítat pomocí integrálních vzorců: $z_{0}$ $f(z)$ $c_n$

c_{n}={1 \přes 2\pi i}\int \limits _{{\Gamma }}{f(z) \over (z-z_{0})^{{n+1}}}\ ,dz

Tyto vzorce implikují Cauchyho nerovnosti pro koeficienty holomorfních funkcí na disku : $c_n$ ${|z-z_{0}|<r}$

c_{n}\leqslant r^{-n}M(r)

kde je maximální modul funkce na kružnici a z nich je Liouvilleova věta o omezených celých analytických funkcích : je-li funkce holomorfní v celé komplexní rovině a omezená, je to konstanta. $Pan)$ $f(z)$ ${|z-z_{0}|=r}$

Navíc spojením vzorců pro koeficienty s větou o holomorfii součtu mocninné řady s nenulovým poloměrem konvergence a vzorcem vyjadřujícím koeficienty mocninné řady z hlediska derivací jejího součtu

c_{n}={{f^{{(n)}}(z_{0})} \over n!}

získá se integrální reprezentace derivací funkce : $f(z)$

f^{{(n)}}(z_{0})={n! \over 2\pi i}\int \limits _{{\Gamma }}{f(z) \over (z-z_{0})^{{n+1}}}\,dz.

Derivační odhady podobné Cauchyovým nerovnostem dávají větu o ekvikontinuitě rodiny holomorfních funkcí v omezené doméně , pokud je tato rodina rovnoměrně ohraničena v . V kombinaci s Arzelovou-Ascoliho větou dostáváme Montelovu větu o kompaktní rodině funkcí : z jakékoli rovnoměrně ohraničené rodiny funkcí, které jsou holomorfní v omezené doméně , lze vybrat posloupnost funkcí, která jednotně konverguje k nějaké holomorfní funkci. $D$ $D$ $D$ $D$

Reprezentovatelnost holomorfních funkcí Laurentovými řadami v prstencových oblastech

Pokud je funkce v definičním oboru tvaru holomorfní , pak v něm může být reprezentována součtem Laurentovy řady : $f(z)$ $D$ $\{r<|z-z_{0}|<R\}$

f(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},

koeficienty lze navíc vypočítat pomocí integrálních vzorců: $c_n$

c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\, dz,

a samotná řada Laurent konverguje k funkci jednotně na každé kompaktní sadě od . $D$ $f(z)$ $D$

Vzorec pro koeficient se často používá k výpočtu integrálů funkce přes různé obrysy pomocí algebraických metod a teorie zbytků . $c_{{-1}}$ $f(z)$

Klasifikace izolovaných singulárních bodů holomorfních funkcí je také provedena v podmínkách Laurentovy řady .

Věty o střední hodnotě pro holomorfní funkce

Pokud je funkce holomorfní v kruhu , pak pro každou $f(z)$ $\{|z-z_{0}|<R\}$ $r\,(0<r<R)$

f(z_{0})={1 \over 2\pi }\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{i\varphi })\, d\varphi ,

a také pokud je kruh o poloměru se středem v , pak $B_{r}$ $r$ $z_{0}$

f(z_{0})={1 \over \pi r^{2}}\int \limits _{B_{r}}f(z)\,dx\,dy.

Z vět o střední hodnotě vyplývá princip maximálního modulu pro holomorfní funkce: je-li funkce holomorfní v definičním oboru a uvnitř jejího modulu má lokální maximum , pak je tato funkce konstanta. $f(z)$ $D$ $D$

Princip maxima modulu implikuje princip maxima pro reálnou a imaginární část holomorfní funkce: pokud je funkce holomorfní v definičním oboru a uvnitř její reálné nebo imaginární části má lokální maximum nebo minimum, pak je tato funkce konstanta. $f(z)$ $D$ $D$

Věty o jednoznačnosti

Z principu maximálního modulu a reprezentovatelnosti holomorfních funkcí mocninnými řadami vyplývají další tři důležité výsledky:

Schwarzovo lemma : pokud je funkce holomorfní v kruhu a pro všechny body z tohoto kruhu , pak všude v tomto kruhu ; $f(z)$ ${|z|<1}$ $f(0)=0$ $z$ $|f(z)|\leqslant 1$ $|f(z)|\leqslant |z|$
věta o jedinečnosti pro mocninné řady : holomorfní funkce, které mají stejnou Taylorovu řadu v bodě, se shodují v nějakém okolí tohoto bodu; $z_{0}$
nulová věta pro holomorfní funkci : jestliže nuly funkce , která je holomorfní v doméně , mají limitní bod uvnitř , pak funkce zmizí všude v . $f(z)$ $D$ $D$ $f(z)$ $D$

Odkazy

Weisstein, Eric W. Cauchy Integral Formula ve Wolfram MathWorld .
Cauchy Integral Formula Module od Johna H. Mathewse

Literatura

Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.
Titchmarsh E. Teorie funkcí: Per. z angličtiny. - 2. vyd., přepracováno. — M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Privalov II Úvod do teorie funkcí komplexní proměnné: Příručka pro vysokoškolské vzdělávání. - M. - L .: Státní nakladatelství, 1927 . — 316 s.
Evgrafov M. A. Analytické funkce. - 2. vyd., přepracováno. a doplňkové — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.