Spektrální teorém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. srpna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Spektrální teorém je třída teorémů o lineárních maticích operátorů , které dávají podmínky, za kterých mohou být takové matice diagonalizovány , to znamená, že na nějakém základě jsou reprezentovány jako diagonální matice . Tyto teorémy redukují výpočty zahrnující diagonalizovatelné matice na mnohem jednodušší výpočty s použitím odpovídajících diagonálních matic.

Koncept diagonalizace, který je v případě konečnorozměrných vektorových prostorů poměrně jednoduchý , vyžaduje určitá objasnění při přechodu do nekonečněrozměrných vektorových prostorů . .

Obecně řečeno, spektrální teorém vyčleňuje třídu lineárních operátorů , které lze modelovat operátory násobení - nejjednodušší operátory, které mohou být. Více abstraktně, spektrální teorém je prohlášení o komutativních -algebrách . $C^{*}$

Příklady operátorů, na které lze spektrální teorém aplikovat, jsou samoadjungované operátory nebo obecněji normální operátory na Hilbertových prostorech .

Spektrální teorém také poskytuje kanonický rozklad okolního vektorového prostoru, nazývaný spektrální nebo vlastní rozklad .

Případ konečných rozměrů

Spektrální teorém pro hermitovské matice

Pro jakoukoli hermitovskou matici v konečném vektorovém prostoru [ 1] : $A$ $PROTI$

Všechny vlastní hodnoty matice jsou skutečné ; $A$
Vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům jsou ortogonální ;
Vlastní vektory tvoří ortogonální základ pro celý prostor . $PROTI$

Důkaz

Lemma 1 : pro všechny vektory a true: $\mathbf {y} \in V$ $\mathbf {z} \in V$

(A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(\mathbf {y} ,A\mathbf {z} )

Důkaz lemmatu 1:

Podle definice:

A=A^{*}

Tudíž:

(A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(Ay)^{*}z=y^{*}Az=(y,Az)

Důkaz o prohlášení 1 . Dokažme, že všechna vlastní čísla matice jsou skutečná. $A$

Uvažujme - vlastní číslo matice . $\lambda$ $A$

Pak podle definice vlastního čísla existuje vektor, pro který . $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$ $A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$

Skalárně vynásobte obě strany této rovnosti : $\mathbf {x}$

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )

Podle definice bodového produktu:

(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )={\overline {(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )}}={\overline {\lambda }}( \mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (1)

Na druhou stranu, použitím Lemma 1 na , získáme: $\mathbf {y} =\mathbf {z} =\mathbf {x}$

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )=\ lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (2)

Z rovnosti vyplývá : $(jeden)$ $(2)$

{\overline {\lambda ))(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )

Protože pro any je pravda , pak: $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$ $(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0$

{\overline {\lambda ))=\lambda

což znamená . $\lambda \in \mathbb {R}$

Důkaz tvrzení 2 . Dokažme, že vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům jsou ortogonální.

Zvažte dvě různé vlastní hodnoty . Pak: $\lambda \neq \mu$

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y}

kde a jsou vlastní vektory. $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Vynásobme první rovnost a aplikujme také Lemma 1 a výše dokázaný fakt, že vlastní čísla jsou skutečná, . V důsledku toho získáme: $\mathbf {y}$ $\lambda \in \mathbb {R}$

\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,\mathbf {y} )= (\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mu \mathbf {y} )=\mu (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

Vyjdeme-li z , dostaneme , že , tedy jinými slovy, vektory a jsou ortogonální. $\lambda \neq \mu$ $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Důkaz tvrzení 3 . Dokažme, že vlastní vektory tvoří základ pro celý prostor $PROTI$

Nechť , vlastní číslo matice a odpovídající vlastní vektor . $\lambda _{1}$ $A$ $\mathbf {x_{1}}$

Zvažte - množinu všech vektorů od , ortogonálních do . $V_{1}$ $PROTI$ $\mathbf {x_{1}}$

Protože pro všechny platí, že , pak podle lemmatu 1: $\mathbf {x} \in V_{1}$ $(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0$

(\mathbf {x_{1}} ,A\mathbf {x} )=(A\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=\lambda _{1}(\mathbf {x_ {1}} ,\mathbf {x} )=0

Proto, . $\mathbf {Ax} \in V_{1}$

Lineární operátor , který je ohraničený množinou , je také hermitovský, má vlastní hodnotu a odpovídající vlastní vektor . $L(\mathbf {x} )=Ax$ $V_{1}$ $\lambda _{2}$ $\mathbf {x_{2}}$

Podle definice ortogonální . ${\mathbf {x}}_{{2}}$ ${\mathbf {x}}_{{1}}$

Uvažujme množinu - množinu vektorů ortogonálních současně a . Podobně se lineární operátor mapuje na sebe. $V_{{2}}$ ${\mathbf {x}}_{{1}}$ ${\mathbf {x}}_{{2}}$ $L(\mathbf {x} )=Ax$ $V_{{2}}$

Pokračujeme-li tímto způsobem, můžeme najít posloupnost , , stejně jako podprostory obsahující a zároveň ortogonální k vektorům . Sekvence skončí v kroku , protože . $\lambda _{{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k))$ ${\displaystyle V_{k))$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k))$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{k-1))$ $n$ $\dim V_{k}=nk$

Vlastní vektory tedy tvoří ortogonální základ pro celý prostor ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n))$ $PROTI$

■

Spektrální teorém pro unitární matice

Pro jakoukoli unitární matici v konečnorozměrném vektorovém prostoru platí [1] : $U$ $PROTI$

Všechny vlastní hodnoty matice mají absolutní hodnoty rovné ; $A$ $jeden$
Vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům jsou ortogonální ;
Vlastní vektory tvoří ortogonální základ pro celý prostor . $PROTI$

Důkaz

Lemma 2 : Pro unitární matici platí následující: $U$

(U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

odkud a jsou libovolné vektory $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$ $PROTI$

Důkaz lemmatu 2:

(U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} )=(U\mathbf {x} )^{*}U\mathbf {y} =x^{*}U^{*}Uy= x^{*}y=(x,y)

Důkaz tvrzení 1 : Všechny vlastní hodnoty matice mají absolutní hodnoty rovné . $A$ $jeden$

Uvažujme - vlastní číslo matice . $\lambda$ $A$

Pak podle definice vlastní hodnoty existuje vektor, pro který: $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}

Aplikací Lemma 2 dostaneme:

(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(A\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )={\overline {\lambda }}\lambda (\mathbf {x} , \mathbf {x} )

Od , potom , a proto: $\mathbf {x} \neq 0$ $(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0$

{\overline {\lambda }}\lambda =|\lambda |^{2}=1

Důkaz nároku 2 : Vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům jsou ortogonální.

Zvažte dvě různé vlastní hodnoty . Pak: $\lambda \neq \mu$

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y}

kde a jsou vlastní vektory. $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Vynásobme tyto dvě rovnice:

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )={\overline {\lambda }}\mu (\mathbf {x} , \mathbf {y} )

Jak je uvedeno výše, . Odkud tedy : $|\lambda |=1$ ${\overline {\lambda }}=\lambda ^{-1}$

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mu \lambda ^{-1}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

Vzhledem k tomu, že předpoklad byl učiněn výše , dostáváme: $\lambda \neq \mu$

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0

To znamená, že vektory a jsou ortogonální. $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Důkaz tvrzení 3 : Vlastní vektory tvoří ortogonální základnu pro celý prostor . $PROTI$

Nechť , vlastní číslo matice a odpovídající vlastní vektor . $\lambda _{1}$ $A$ $\mathbf {x_{1}}$

Zvažte - množinu všech vektorů od , ortogonálních do . $V_{1}$ $PROTI$ $\mathbf {x_{1}}$

Dokažme, že pro jakýkoli vektor platí . $\mathbf {x} \in V_{1}$ $A\mathbf {x} \in V_{1}$

Lemma 2 naznačuje, že . Pomocí této skutečnosti dostaneme: ${\displaystyle A^{*}=A^{-1))$

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{1})=(x,A^{*}\mathbf {x} _{1})=(x,A^{-1} \mathbf {x} _{1})=\lambda ^{-1}(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0

Toto je správný podprostor prostorové dimenze . $V_{1}$ $\dim V-1$ $PROTI$

Protože lineární operátor , je omezený množinou , je také hermitovský, má vlastní hodnotu a odpovídající vlastní vektor . $L(\mathbf {x} )=Ax$ $V_{1}$ $\lambda _{2}$ $\mathbf {x_{2}}$

Vlastní vektory tedy tvoří ortogonální základ pro celý prostor ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n))$ $PROTI$

■

Normální matice

Spektrální teorém lze rozšířit na mírně širší třídu matic. Dovolit být operátor na konečně-rozměrném prostoru se skalárním součinem. se nazývá normální , pokud . Lze dokázat, že je to normální právě tehdy, když je to jednotně diagonalizovatelné. Podle Schurova rozkladu skutečně máme , kde je unitární operátor a je horní trojúhelníkový. Protože je to normální, tak . Proto je diagonální. Opak je neméně zřejmý. $A$ $A$ $AA^{*}=A^{*}A$ $A$ $A=UTU^{*}$ $U$ $T$ $A$ $TT^{*}=T^{*}T$ $T$

Jinými slovy, je normální tehdy a jen tehdy, když existuje jednotná matice taková, že , Kde je diagonální matice . Navíc diagonální prvky matice Λ jsou vlastní čísla a sloupcové vektory matice jsou vlastní vektory (samozřejmě mají jednotkovou délku a jsou párově ortogonální). Na rozdíl od hermitovského případu nejsou maticové prvky nutně skutečné. $A$ $U$ $A=U\Lambda U^{*}$ $\lambda$ $A,$ $U$ $A$ $\lambda$

Spektrální teorém pro kompaktní samoadjungované operátory

V nekonečně-rozměrných Hilbertových prostorech vypadá tvrzení spektrální věty pro kompaktní samoadjungované operátory v podstatě stejně jako v konečném případě.

Věta
Nechť je kompaktní samoadjungovaný operátor v Hilbertově prostoru . Existuje ortonormální základ prostoru , který se skládá z vlastních vektorů operátoru . Navíc všechna vlastní čísla jsou skutečná. $A$ $PROTI$ $PROTI$ $A$

Stejně jako v případě hermitovských matic je klíčovým bodem prokázání existence alespoň jednoho vlastního vektoru. V nekonečně-dimenzionálním případě není možné použít determinanty k prokázání existence vlastních vektorů, ale lze použít maximalizační úvahy podobné variační charakterizaci vlastních hodnot. Výše uvedená spektrální věta platí pro reálné i komplexní Hilbertovy prostory.

Bez předpokladu kompaktnosti se tvrzení, že každý samoadjungovaný operátor má vlastní vektor, stává nepravdivým.

Spektrální teorém pro omezené samoadjungované operátory

Další zobecnění, o kterém uvažujeme, se týká ohraničených samoadjungovaných operátorů na Hilbertových prostorech. Takové operátory nemusí mít vlastní čísla (například takový je operátor násobení nezávislou proměnnou v prostoru , tedy . $A$ $L^{2}[0,1]$ $\left[A\phi \right](t)=t\phi (t)$

Věta
Nechť je omezený samoadjungovaný operátor v Hilbertově prostoru . Pak existuje prostor s mírou , reálnou měřitelnou funkcí na a jednotkový operátor takový, že , kde je operátor násobení , tedy . $A$ $H$ $\left(X,\Sigma ,\mu \right)$ $F$ $X$ $U:H\rightarrow L_{\mu }^{2}(X)$ $U^{*}TU=A$ $T$ $\left[T\phi \right](x)=f(x)\phi (x)$

Tímto teorémem začíná rozsáhlá oblast výzkumu ve funkcionální analýze zvaná teorie operátorů .

Podobná spektrální věta platí pro omezené normální operátory v Hilbertových prostorech. Jediný rozdíl je v tom, že nyní může být komplexně oceněn. $F$

Alternativní formulace spektrálního teorému umožňuje, aby byl operátor zapsán jako integrál, převzatý ze spektra operátora, funkce souřadnic přes míru projekce . V případě, kdy je uvažovaný normální operátor kompaktní, se tato verze spektrální věty redukuje na výše uvedenou konečnorozměrnou spektrální větu (s výhradou, že nyní může lineární kombinace obsahovat nekonečně mnoho projekcí). $A$

Spektrální teorém pro obecné samoadjungované operátory

Mnoho důležitých lineárních operátorů, které vznikají v kalkulu , není omezeno. Jedná se například o diferenciální operátory . Existuje spektrální teorém pro samoadjungované operátory, který funguje pro neomezené operátory. Například jakýkoli diferenciální operátor s konstantními koeficienty je jednotně ekvivalentní operátoru násobení (odpovídající jednotkový operátor je Fourierova transformace a odpovídající operátor násobení se nazývá Fourierův multiplikátor ).

Literatura

Sheldon Axler, Lineární algebra Done Right , Springer Verlag, 1997
A. A. Kirillov, A. D. Gvishiani, Věty a problémy funkční analýzy , M.: Nauka, 1979
Paul Halmos , "Co říká spektrální teorém?" , American Mathematical Monthly , 70 , no. 3 (1963), 241-247

Poznámky

↑ 1 2 A. Eremenko. Spektrální věty pro hermitovské a unitární matice . https://www.math.purdue.edu/~eremenko/ . Purdue science, katedra matematiky (26. října 2017). Staženo 19. února 2019. Archivováno z originálu 20. února 2019.