Konvexní kužel v lineární algebře je podmnožinou vektorového prostoru nad uspořádaným polem , který je uzavřen pod lineárními kombinacemi s kladnými koeficienty.
Podmnožina vektorového prostoru je konvexní kužel , pokud patří k libovolnému kladnému skaláru a libovolnému z .
Definici lze napsat stručněji: pro libovolná kladná čísla .
Pojem je smysluplný pro jakékoli vektorové prostory, ve kterých existuje pojem „pozitivní“ skalár, jako je prostor nad racionálními , algebraickými nebo (nejčastěji) reálnými čísly.
Prázdná množina, prostor a jakýkoli lineární podprostor prostoru (včetně triviálního podprostoru { 0 }) jsou podle této definice konvexní kužely. Dalšími příklady jsou množina všech součinů kladným číslem libovolného vektoru z , nebo kladný orthant prostoru (množina všech vektorů, které mají kladné souřadnice).
Obecnějším příkladem je soubor všech vektorů takový, že a je kladný skalární a je prvkem nějaké konvexní podmnožiny prostoru . Konkrétně, pokud je normovaný vektorový prostor a je otevřená (resp. uzavřená) koule v , která neobsahuje 0, tato konstrukce dává otevřený (resp. uzavřený ) konvexní kruhový kužel .
Průsečík dvou konvexních kuželů ve stejném vektorovém prostoru je opět konvexní kužel, ale sjednocení nemusí být. [1] Třída konvexních kuželů je uzavřena pod libovolným lineárním zobrazením . Zvláště, jestliže je konvexní kužel, pak konvexní kužel a jeho opak , a je největším lineárním podprostorem obsaženým v [2] . Takový podprostor se nazývá čepel . [3]
Jestliže je konvexní kužel, pak pro jakýkoli kladný skalár a jakýkoli vektor z vektoru leží v . Z toho plyne, že konvexní kužel je speciální případ lineárního kužele .
Z výše uvedeného vyplývá, že konvexní kužel lze definovat jako lineární kužel, který je uzavřen pod konvexními kombinacemi nebo jednoduše pod sčítáním . Stručně řečeno, množina je konvexní kužel tehdy a pouze tehdy a pro jakýkoli kladný skalár . [čtyři]
Je třeba také poznamenat, že výraz „pozitivní skaláry “ v definici konvexního kužele lze nahradit výrazem „nezáporné skaláry , které nejsou současně nulové“.
Podle výše uvedených definic, pokud je konvexní kužel, pak je to také konvexní kužel. O konvexním kuželu se říká, že je ostrý nebo tupý , v závislosti na tom, zda k němu patří nulový vektor 0 nebo ne [5] . Někdy používají výrazy zahrocené a podle toho i tupé [4] [6] .
Tupé kužely lze z definice konvexního kužele vyloučit nahrazením slov „nezáporný“ výrazem „pozitivní“ v podmínkách uložených na . Termín " ostrý " se často používá v jiném smyslu - pro uzavřené kužely, které neobsahují úplné linie (tedy netriviální podprostor okolního prostoru), tedy to, co se níže nazývá "vyčnívající" kužel.
O konvexním kuželu se říká, že je plochý , pokud obsahuje nějaký nenulový vektor a jeho opak , a jinak vyčnívající [6] . Vyčnívající čípky se často také nazývají akutní .
Tupý konvexní kužel je vždy vyčnívající kužel, ale opak není vždy pravdou. Konvexní kužel vyčnívá právě tehdy, když . Tedy tehdy a jen tehdy , když neobsahuje netriviální lineární podprostor .
V roce 1935 G. Weyl dokázal ekvivalenci následujících dvou definic mnohostěnného kužele :
Polyedrický kužel se nazývá racionální , pokud všechny jeho generátory mají celočíselné souřadnice.
Nadrovina (lineární) prostoru je největší možný vlastní lineární podprostor prostoru . Otevřený (resp. uzavřený ) poloprostor prostoru je podmnožinou prostoru definovaného podmínkou (resp. ), kde je libovolná lineární funkce skalárů v jeho poli. Nadrovina definovaná rovnicí je hraniční nadrovinou pro .
Poloprostory (otevřené nebo uzavřené) jsou konvexní kužely. Avšak jakýkoli konvexní kužel , který není celým prostorem, musí být obsažen v nějakém uzavřeném poloprostoru prostoru . Ve skutečnosti je topologicky uzavřený konvexní kužel průsečíkem všech uzavřených poloprostorů, které jej obsahují. Podobné tvrzení platí pro topologicky otevřený konvexní kužel.
Dokonalý poloprostor prostoru je definován rekurzivně takto: pokud má rozměr nula, pak je to množina , jinak je to otevřený poloprostor prostoru spolu s dokonalým poloprostorem ohraničující nadroviny pro [ 7] . Jinými slovy, toto je analogie pojmu příznak pro poloviční mezery.
Každý dokonalý poloprostor vyčnívá a navíc jakýkoli vyčnívající kužel je obsažen v dokonalém poloprostoru. Jinými slovy, dokonalé poloprostory jsou maximální vyčnívající kužely (začleněním). Lze ukázat, že jakýkoli akutní vyčnívající kužel (bez ohledu na to, zda je topologicky uzavřený nebo otevřený) je průsečíkem všech dokonalých poloprostorů, které jej obsahují.
Afinní nadrovina prostoru je jakákoli podmnožina prostoru tvaru , kde je vektor v a je (lineární) nadrovina.
Následující tvrzení vyplývá z vlastnosti inclusion v polovičních mezerách. Dovolit být otevřený poloprostor v a , Kde je hraniční nadrovina a je libovolný vektor v . Dovolit být lineární kužel obsažený v . Pak je konvexní kužel právě tehdy, když je množina konvexní podmnožinou nadroviny (tj. množina, která je uzavřena pod konvexními kombinacemi ).
V důsledku tohoto výsledku mají všechny vlastnosti konvexních množin v afinním prostoru analogii pro konvexní kužely obsažené v pevném otevřeném poloprostoru.
Pokud je uvedena norma | • | v prostoru definujeme jednotkovou sféru v jako množinu
Pokud hodnoty | • | jsou skaláry v , pak je přímkový kužel v konvexním kuželem právě tehdy, když jeho sférický řez (množina jeho vektorů s jednotkovou normou ) je konvexní podmnožinou v následujícím smyslu: pro libovolné dva vektory se všemi vektory na nejkratší cestě ze v na ležet v .
Dovolit být konvexní kužel v reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem . Dvojitý kužel k je množina [8] [9]
Je to také konvexní kužel. Pokud se shoduje s jeho duálem, nazývá se self-dual .
Další běžnou definicí duálního kužele je kužel v duálním prostoru :
Jinými slovy, jestliže je duální prostor prostoru , pak duální kužel je množina lineárních funkcí, které jsou na kuželu nezáporné . Pokud připustíme, že je to spojitý duální prostor , pak je to množina spojitých lineárních funkcí, které jsou nezáporné na . [10] Taková definice nevyžaduje přítomnost vnitřního produktu v prostoru .
V konečnorozměrných prostorech jsou obě definice duálního kužele v podstatě ekvivalentní, protože jakýkoli vnitřní součin je spojen s lineárním izomorfismem (nedegenerovaným lineárním zobrazením) od do , a tento izomorfismus přebírá duální kužel (do ) z druhé definice. k duálnímu kuželu z první definice.
Ostrý vyčnívající konvexní kužel generuje částečnou objednávku " " on , definovanou tak , že tehdy a jen tehdy . (Pokud je kužel plochý, stejná definice dává pouze předřád .) Součty a násobení kladným skalárem pravé nerovnosti vzhledem k tomuto řádu opět dávají správné nerovnosti. Vektorový prostor s takovým uspořádáním se nazývá uspořádaný vektorový prostor . Kužel
se nazývá kladný kužel [6] .
Příklady zahrnují ordinální součin [11] na reálných vektorech ( ) a Löwnerův řád [12]
Pojem vlastní ( konvexní ) kužel je definován různými způsoby v závislosti na kontextu. Často to znamená vyčnívající konvexní kužel, který neobsahuje žádnou nadrovinu prostoru , možná s dalšími omezeními, jako je topologická uzavřenost (a proto bude kužel ostrý) nebo topologická otevřenost (kužel bude tupý) [13] . Někteří autoři používají termín „klín“ pro to, co je v tomto článku označováno jako konvexní kužel, a termín „kužel“ označuje to, co je v článku označováno jako vyčnívající ostrý kužel nebo to, co bylo právě nazváno řádným kuželem. konvexní kužel.
Normální a tečné kužely jsou uzavřené a konvexní. Jsou to důležité pojmy v oblasti konvexního programování , variačních nerovností .