Vlajka (matematika)

Příznak je řetězec vnořených podprostorů vektorového prostoru (nebo prostoru jiného typu, pro který je definován pojem dimenze ), mající tvar $L$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{k}=L,

kde

0=\dim L_{0}<\dim L_{1}<\dim L_{2}<\cdots <\dim L_{k}=\dim L.

Koncept úplného (nebo maximálního ) příznaku, ve kterém se nejčastěji setkáváme s , a tedy číslem . Obvykle je v definici úplného příznaku další podmínkou pro směrovost každého páru sousedních podprostorů v řetězci. se přidává (viz definice níže). $\dim L_{i}=i$ $k=\dim L.$

Pojem příznak se používá především v algebře a geometrii (někdy se také nazývá filtrování ).

Úplná vlajka

Úplný příznak ve vektorovém prostoru konečného rozměru je posloupnost podprostorů $L$ $n$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,

kde se podprostor skládá pouze z nulového vektoru, podprostor se shoduje se vším a každá dvojice sousedních podprostorů je směrována , tzn. ze dvou poloprostorů , na které se podprostor dělí , je vybrán jeden (jinými slovy, dvojice těchto poloprostorů je uspořádána ). $L_0$ $L_{n}$ $L$ $(L_{n}=L)$ $(L_{i},L_{i-1})$ $L_{i-1}$ $L_{i}$

Každý základ vektorového prostoru v něm definuje nějaký úplný příznak. Totiž nastavíme (zde trojúhelníkové závorky znamenají lineární obálku vektorů mezi nimi) a pro nastavení směrovosti dvojice zvolíme poloprostor, který obsahuje vektor . $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $L$ $L_{i}=\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ $(L_{i},L_{i-1})$ $e_{i}$

Korespondence mezi základnami a úplnými vlajkami konstruovanými tímto způsobem není jedna ku jedné: různé základny prostoru v něm mohou definovat stejnou vlajku (například na obrázku vpravo definují základny a v rovině stejná plná vlajka). Pokud je však vektorový prostor euklidovský , pak, neoperujeme-li s libovolnými, ale pouze s ortonormálními bázemi tohoto prostoru, získáme vzájemnou shodu mezi ortonormálními bázemi a úplnými příznaky. ${\displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\displaystyle e_{1},e'_{2))$ $L$

Proto pro jakékoli dvě kompletní vlajky euklidovského prostoru existuje jedinečná ortogonální transformace , která mapuje první vlajku na druhou. $L$ $A:L až L$

Vlajky v afinních prostorech a Lobačevského geometrie

Úplné příznaky jsou definovány podobným způsobem v afinním prostoru a Lobačevského prostoru dimenze : $n$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,

kde se podprostor skládá pouze z jednoho bodu (afinní prostor nebo Lobačevského prostor), který se nazývá střed vlajky , podprostor se shoduje se vším a každý pár je nasměrován . $L_0$ $L_{n}$ $L$ $(L_{n}=L)$ $(L_{i},L_{i-1})$

Pro jakékoli dvě úplné vlajky euklidovského afinního prostoru nebo Lobačevského prostoru existuje pohyb tohoto prostoru, který přesune první vlajku do druhé, a takový pohyb je jedinečný. Sophus Lie nazval tuto vlastnost volnou pohyblivostí prostoru . Helmholtz-Lie teorém říká, že pouze tři typy prostorů (tři „velké geometrie“) mají tuto vlastnost: Euclid , Lobachevsky a Riemann . [jeden]

Hnízdo

V nekonečně-rozměrném prostoru V je myšlenka vlajky zobecněna na hnízdo. Konkrétně množina podprostorů, dobře uspořádaná zahrnutím uzavřených podprostorů, se nazývá hnízdo .

Literatura

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineární algebra a geometrie, - M.: Nauka, 1986.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie, Fizmatlit, Moskva, 2009.

Poznámky

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. - ch. XII, § 1. - M .: Fizmatlit, 2009.