Konvexní kombinace

Konvexní kombinace je jedním z klíčových konceptů konvexní geometrie ; lineární kombinace bodů (což mohou být vektory , skaláry nebo body v afinním prostoru ), kde všechny koeficienty jsou nezáporné a jejich součet je 1 [1] [2] .

Formálněji, daný konečný počet bodů ve vektorovém prostoru nad nějakým polem obsahujícím pole reálných čísel [1] , je konvexní kombinace těchto bodů $x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}$

{\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n))

kde reálná čísla splňují podmínky a . $\alpha_i$ $\alpha _{i}\geqslant 0$ $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1$

Zejména jakákoli konvexní kombinace dvou bodů leží na segmentu mezi těmito body.

Všechny konvexní kombinace bodů leží uvnitř konvexního trupu těchto bodů.

Existují podmnožiny vektorového prostoru, které jsou uzavřeny pod konvexní kombinací, ale nejsou uzavřeny pod lineární kombinací. Například interval je konvexní, ale lineární kombinace bodů v tomto intervalu dávají celou čáru. Dalším příkladem je konvexní soubor rozdělení pravděpodobnosti . $[0,1]$

Jiné objekty

Stejně jako konvexní kombinace vektorů je konvexní kombinace rozdělení pravděpodobnosti váženým součtem (kde jsou splněna stejná omezení jako výše) rozdělení pravděpodobnosti s hustotou pravděpodobnosti. $X$ $Y_{i}$ $\alpha_i$ $f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{Y_{i}}(x)$ .

Související stavby

Kuželosečková kombinace je lineární kombinace s nezápornými koeficienty.
Aritmetické vážené průměry jsou funkčně stejné jako konvexní kombinace, ale používá se jiný zápis. Koeficienty ( váhy ) ve váženém průměru nevyžadují, aby se součet vah rovnal jedné. Místo toho se lineární kombinace vydělí součtem vah.
Afinní kombinace jsou podobné konvexním kombinacím, ale není vyžadováno, aby koeficienty byly nezáporné. Vzhledem k tomu jsou afinní kombinace definovány na vektorovém prostoru nad libovolným polem .

Nerovnosti

Konvexní kombinace reálných čísel se řídí jednoduchými, ale často používanými nerovnicemi [1] .

Pokud je uvedena množina reálných čísel , pak pro kteroukoli z jejich konvexních kombinací s koeficienty se odhady uskuteční: ${\displaystyle x_{1},\tečky ,x_{n))$ $a_{1},\tečky ,a_{n}\geqslant 0,a_{1}+\tečky +a_{n}=1$

\min _{1\leqslant i\leqslant n}x_{i}\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\leqslant \max _{1\leqslant i\leqslant n}x_{i}

Různé klasické nerovnosti lze odvodit uvažováním jednoduchých konvexních funkcí , například: $f(\cdot )$

f{\Big (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}{\Big )}\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{ i}f(x_{i})

kde . $a_{i}\geqslant 0,a_{1}+\dots +a_{n}=1$

Použití poslední nerovnosti na přísně konvexní funkci vede k nerovnosti mezi aritmetickými a geometrickými průměry s váhami: $f(x)=-log~x$

\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\geqslant \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i)),\ ,x_{i}\geqslant 0

Když jsou všichni rovni 1/n, dospějeme k nerovnosti mezi aritmetickým a geometrickým průměrem: $a_{i}$

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\geqslant {\Big (}\prod _{i=1}^{n}x_{ i}{\Big )}^{1/n},\,x_{i}\geqslant 0

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 R. Horn, C. Johnson. Maticová analýza . - M .: Mir, 1989. - S. 630 -637. - ISBN 5-03-001042-4 .
↑ E. E. Tyrtyšnikov. 13.5 Konvexní množiny // Maticová analýza a lineární algebra: Učebnice. - Moskva: Moskevská univerzita (eBook), 2005. - S. 90.