Konformní mapování

Konformní mapování je souvislé mapování , které zachovává úhly mezi křivkami, a tedy tvar nekonečně malých obrazců.

Definice

Zobrazení jedna ku jedné oblasti D na doménu D * ( euklidovský prostor nebo Riemannovská varieta ) se nazývá konformní ( lat. conformis - podobné ), pokud v okolí libovolného bodu D je diferenciál této transformace složení ortogonální transformace a homothety .

Tento termín pochází z komplexní analýzy , původně používaný pouze pro konformní zobrazení rovinných oblastí.

Jestliže je orientace zachována pod konformním mapováním , pak se mluví o konformním mapování prvního druhu ; pokud se změní na opak, pak se mluví o konformním mapování druhého druhu nebo o antikonformním mapování .
Říká se, že dvě metriky na hladké manifoldu jsou konformně ekvivalentní , pokud existuje hladká funkce taková, že . V tomto případě se funkce nazývá konformní faktor . $g, {\tilda g}$ $M$ $\psi :M\to \mathbb{R}$ ${\tilde {g}}=e^{2\cdot \psi }g$ ${\displaystyle e^{\psi ))$ ${\tilde g}$

Konformní mapování zachovává formu nekonečně malých obrazců;
Konformní mapování zachovává úhly mezi křivkami v jejich průsečíkech ( vlastnost zachování úhlu ).
- Tuto vlastnost lze také brát jako definici konformního mapování.
Riemannův teorém : Jakákoli jednoduše připojená otevřená doména v rovině jiná než celá rovina připouští konformní bijekci na jednotkový disk.
Liouvilleův teorém : Jakékoli konformní zobrazení domény euklidovského prostoru at může být reprezentováno jako superpozice konečného počtu inverzí . $\mathbb {R} ^{n}$ $n\geq 3$
Weilova křivost je zachována pod konformním mapováním, tedy pokud a jsou konformně ekvivalentní metrické tenzory , pak ${\tilde g}$ $G$ ${\tilde W}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,$

kde a označují Weylovy tenzory pro a, resp.

{\tilde W}

W

{\tilde g}

G

Spojení souvisí podle následujícího vzorce: ${\tilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+(X\psi ){\cdot }Y+(Y\psi ){\cdot }Xg(X,Y){ \cdot }\nabla \psi .$
Zakřivení souvisí podle následujícího vzorce: $g({\tilde R}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-$ $-Hess_{\psi }(X,X)-Hess_{\psi }(Y,Y)-|\nabla \psi |^{2}+(Y\psi )^{2}$

jestliže a označuje hessián funkce .

g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\psi=0

Hess_{\psi }

\psi

V dvourozměrném případě , takže vzorec může být zapsán jako ${\displaystyle |\nabla \psi |^{2}=(Y\psi )^{2))$

e^{2\cdot \psi }\cdot {\tilde {K}}=K-\triangle _{g}\psi

kde označuje Laplacian s ohledem na .

\triangle _{g}

G

Pro ortonormální pár vektorů a lze zakřivení řezu ve směru zapsat následovně: $X$ $Y$ $X\wedge Y$ ${\tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}{\cdot }K_{X,Y}+f{\cdot }[Hess_{f}(X,X)+Hess_ {f}(Y,Y)]-|\nabla f|^{2},$

kde .

f=e^{{-\psi }}

Při výpočtu skalárního zakřivení a- dimenzionální Riemannovy variety je vhodnější zapsat konformní faktor ve tvaru . V tomto případě: $n$ ${\tilde {g}}=u^{\tfrac {4}{n-2}}{\cdot }g$ ${\tilde {Sc}}=\left({Sc}-{\frac {4(n-1)}{n-2}}{\cdot }\Delta u\right)\cdot u^{ \frac {n-2}{n+2}}$

Nejjednodušším příkladem jsou podobnostní transformace , které vyčerpají všechna konformní zobrazení celého euklidovského prostoru na sebe;
Inverze je konformní mapování druhého druhu;
Nějaká holomorfní funkce , jejíž inverzní je také holomorfní, definuje konformní zobrazení prvního druhu odpovídající domény komplexního letadla ;
Stereografická projekce .

Konformní zobrazení se používá v kartografii , elektrostatice k výpočtu rozložení elektrických polí [1] , mechanice kontinua ( hydro- a aeromechanika , dynamika plynů , teorie pružnosti , teorie plasticity atd.).

Aleshkov Yu.Z. Přednášky o teorii funkce komplexní proměnné, Petrohrad: nakladatelství St. Petersburg State University, 1999;
Ivanov V. I. Konformní zobrazení a jejich aplikace (stručná historická esej). // Historický a matematický výzkum . - M. : Janus-K, 2001. - č. 41 (6) . — S. 255-266. .
Carathéodory K. Konformní mapování. M.-L.: Státní technické a teoretické nakladatelství ONTI, 1934 / Per. z angličtiny. M. V. Keldysha
Lavrentiev M.A. Konformní zobrazení. M.-L.: Gostekhizdat, 1946. 160 s.
Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.
Yanushauskas AI Trojrozměrné analogy konformních zobrazení. Novosibirsk: Nauka, 1982. 173 s., 2650 výtisků.
Radygin V. M. , Polyansky I. S. Methods of conformal mappings of polyhedra in // Vestn. Udmurtsk. univerzita Rohož. Srst. Počítač. Nauki, 27:1 (2017), 60–68. $\mathbb {R} ^{3}$

↑ Rogowski W. Die elektrische Festigkeit am l ande des Plaltenkondensators. (německy) // Archiv ftir Elektrotechnik. - 1923. - Bd. 12 . — S. 1-15 . - doi : 10.1007/BF01656573 .