Historie logaritmů

Historie logaritmů jako algebraického konceptu lze vysledovat až do starověku. Ideovým zdrojem a podnětem pro použití logaritmů byla skutečnost (známá Archimédovi [1] ), že při násobení mocnin se stejným základem se jejich ukazatele sčítají [2] : .

Předchůdci

Indický matematik z 8. století Virasena , zkoumající mocenské závislosti, publikoval tabulku celočíselných exponentů (to je ve skutečnosti logaritmy) pro základy 2, 3, 4 [3] .

Rozhodující krok byl učiněn ve středověké Evropě. Potřeba složitých výpočtů v 16. století rychle rostla a velká část obtíží byla spojena s násobením a dělením víceciferných čísel, stejně jako s odmocňováním . Na konci století přišlo několik matematiků téměř současně s nápadem: nahradit časově náročné násobení jednoduchým sčítáním, porovnáváním geometrických a aritmetických posloupností pomocí speciálních tabulek, přičemž geometrická bude původní. [1] . Pak je dělení automaticky nahrazeno nezměrně jednodušším a spolehlivějším odečítáním a zjednoduší se i umocňování a extrakce odmocnin .

Prvním, kdo tuto myšlenku publikoval ve své knize „ Arithmetica integra “ (1544) , byl Michael Stiefel , který se však vážně nesnažil o praktickou realizaci své myšlenky [4] [5] . Stiefelovou hlavní zásluhou je přechod od celočíselných exponentů k libovolným racionálním exponentům [6] (první kroky tímto směrem učinili Nikolay Orem ve 14. století a Nicola Schücke v 15. století).

John Napier a jeho "úžasná tabulka logaritmů"

V roce 1614 vydal skotský amatérský matematik John Napier dílo v latině s názvem Popis úžasné tabulky logaritmů ( latinsky:  Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Měl stručný popis logaritmů a jejich vlastností, stejně jako 8místné tabulky logaritmů sinusů , kosinů a tečen s krokem 1'. Termín logaritmus , navržený Napierem, se ve vědě prosadil.

Napier vysvětlil účel své práce [7] takto:

Protože v praxi matematického umění, kolegové matematici, není nic nudnějšího než obrovské prodlevy, které člověk musí snášet v průběhu dlouhých rutinních úkonů - násobení a dělení, hledání poměrů a extrahování odmocnin a krychlových odmocnin - a četné chyby která se může vloudit do odpovědi - pak jsem vytrvale přemýšlel, jakým spolehlivým a rychlým uměním bych mohl tyto potíže vyřešit. Nakonec jsem po dlouhém přemýšlení našel úžasný způsob, jak tyto kroky zkrátit... Představit tuto metodu matematikům pro všeobecné použití je příjemný úkol.

Napier nastínil teorii počítání logaritmických tabulek ve své další knize „ Sestavení úžasné tabulky logaritmů “ ( lat.  Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), kterou vydal posmrtně v roce 1619 jeho syn Robert.

Soudě podle dokumentů, Napier zvládl techniku ​​logaritmu v roce 1594 [8] . Bezprostředním účelem jeho vývoje bylo usnadnit složité astrologické výpočty pro Napier [9] ; proto byly do tabulek zahrnuty pouze logaritmy goniometrických funkcí .

Představa o funkci přesto neexistovala a Napier definoval logaritmus kinematicky , srovnával jednotný a logaritmicky pomalý pohyb; například definoval logaritmus sinu takto [10] :

Logaritmus daného sinu je číslo, které se vždy aritmeticky zvyšovalo stejnou rychlostí, jakou začal geometricky klesat úplný sinus.

V moderní notaci lze Napierův kinematický model reprezentovat diferenciální rovnicí [11] :

,

kde M je měřítko zavedené, aby se hodnota ukázala jako celé číslo s požadovaným počtem číslic ( desetinné zlomky se tehdy ještě moc nepoužívaly). Napier vzal M = 10 000 000.

Přísně vzato, Napier tabeloval špatnou funkci, která se nyní nazývá logaritmus. Označíme-li jeho funkci , pak souvisí s přirozeným logaritmem takto [11] :

Logaritmus „plného sinusu“ (odpovídající 90°) je zjevně nulový – toho dosáhl Napier svou definicí. Také chtěl, aby všechny logaritmy byly kladné; je snadné ověřit, zda je tato podmínka splněna. .

Hlavní vlastnost Napierova logaritmu: jestliže veličiny tvoří geometrickou posloupnost , pak jejich logaritmy tvoří aritmetický průběh . Nicméně, pravidla pro logaritmus pro non-Peer funkce se lišila od pravidel pro moderní logaritmus, například:

Další vývoj

Jak se brzy ukázalo, kvůli chybě v algoritmu všechny hodnoty Napierovy tabulky obsahovaly nesprávná čísla za šestou číslicí [12] . To však nezabránilo tomu, aby nová metoda výpočtu získala širokou popularitu a mnoho evropských matematiků se ujalo kompilace logaritmických tabulek. Kepler vložil nadšené věnování Napierovi do astronomické příručky, kterou vydal v roce 1620 (nevěda, že vynálezce logaritmů již zemřel). V roce 1624 Kepler publikoval svou vlastní verzi logaritmických tabulek ( lat.  Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos ) [13] . Použití logaritmů umožnilo Keplerovi poměrně rychle dokončit mnohaletou práci na Rudolfských tabulkách , což upevnilo úspěch heliocentrické astronomie .

Několik let po Napierově knize se objevily logaritmické tabulky využívající modernější chápání logaritmu. Londýnský profesor Henry Briggs publikoval 14místné tabulky dekadických logaritmů (1617), a ne pro goniometrické funkce, ale pro libovolná celá čísla do 1000 (7 let později Briggs zvýšil počet čísel na 20000). V roce 1619 londýnský učitel matematiky John Spidell znovu publikoval  Napierovy logaritmické tabulky, opravené a doplněné tak, že se ve skutečnosti staly tabulkami přirozených logaritmů. Spidell měl také logaritmy samotných čísel až do 1000 (navíc logaritmus jednoty, jako Briggs, byl roven nule) - ačkoli Spidell zachoval měřítko na celá čísla [14] [15] .

Ve dvacátých letech 17. století vynalezli Edmund Wingate a William Oughtred první logaritmické pravítko , které sloužilo jako nepostradatelný výpočetní nástroj pro inženýra až do příchodu kapesních kalkulaček [16] . S tímto kompaktním nástrojem můžete rychle provádět všechny algebraické operace, včetně těch, které zahrnují goniometrické funkce [17] . Přesnost výpočtů je asi 3 platné číslice.

Brzy se ukázalo, že místo logaritmů v matematice není omezeno pouze na výpočetní vymoženosti. V roce 1629 belgický matematik Gregoire de Saint-Vincent ukázal, že plocha pod hyperbolou se mění podle logaritmického zákona [18] . V roce 1668 německý matematik Nicholas Mercator (Kaufmann) objevil a publikoval ve své knize Logarithmotechnia expanzi logaritmu do nekonečné „ Mercatorovy řady “ [19] . Podle mnoha historiků měl příchod logaritmů silný vliv na mnoho matematických konceptů, včetně:

  1. Utváření a rozpoznávání obecného konceptu iracionálních a transcendentálních čísel [20] .
  2. Vznik exponenciální funkce a obecný pojem numerické funkce , Eulerovo číslo , vývoj teorie diferenčních rovnic [21] .
  3. Začínáme s nekonečnou řadou [19] .
  4. Obecné metody řešení diferenciálních rovnic různých typů.
  5. Podstatný vývoj v teorii numerických metod potřebný k výpočtu přesných logaritmických tabulek.

Až do konce 19. století neexistovalo žádné obecně přijímané označení logaritmu, základ a se uváděl buď vlevo a nad logem , pak nad ním. Nakonec matematici došli k závěru, že nejvhodnější místo pro základnu je pod čarou, za logem : symbol . Stručná označení nejběžnějších typů logaritmu - pro desítkový a přirozený - se objevila mnohem dříve u několika autorů najednou a byla definitivně stanovena také koncem 19. století [22] .

Blízko modernímu chápání logaritmu - jako operace inverzní k umocnění - se poprvé objevil u Wallise (1685) a Johanna Bernoulliho (1694) a nakonec byl legitimizován Eulerem [12] . V knize „Úvod do analýzy nekonečna“ ( 1748 ) Euler podal moderní definice exponenciálních i logaritmických funkcí, rozšířil je do mocninných řad a zvláště si všiml role přirozeného logaritmu [23] . Euler má také zásluhu na rozšíření logaritmické funkce na komplexní doménu .

Logaritmické tabulky

Z vlastností logaritmu vyplývá, že místo časově náročného násobení vícehodnotových čísel stačí najít (podle tabulek) a sečíst jejich logaritmy a následně provést potenciaci pomocí stejných tabulek (část " Antilogaritmy " ) , tj. najít hodnotu výsledku podle jeho logaritmu. Dělení se liší pouze tím, že se logaritmy odečítají.

První tabulky logaritmů publikoval John Napier (1614) a obsahovaly pouze logaritmy goniometrických funkcí a s chybami. Nezávisle na něm vydal jeho tabulky Jost Bürgi , přítel Keplera ( 1620 ). V roce 1617 publikoval oxfordský profesor matematiky Henry Briggs tabulky, které již obsahovaly dekadické logaritmy samotných čísel, od 1 do 1000, s 8 (později 14) číslicemi. Chyby ale byly i v tabulkách Briggs. První neomylné vydání založené na tabulkách Georga Vegy ( 1783 ) se objevilo až v roce 1857 v Berlíně ( Bremikerovy tabulky ) [24] .

V Rusku byly první logaritmické tabulky publikovány v roce 1703 za účasti L. F. Magnitského [25] . V SSSR bylo publikováno několik sbírek logaritmických tabulek [26] :

  1. Bradis V. M. Čtyřhodnotové matematické tabulky. M.: Drop obecný, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0 . Bradisovy tabulky, publikované od roku 1921, se používaly ve vzdělávacích institucích a v inženýrských výpočtech, které nevyžadují velkou přesnost. Obsahovaly mantisy dekadických logaritmů čísel a goniometrických funkcí, přirozené logaritmy a některé další užitečné výpočetní nástroje.
  2. Vega G. Tabulky sedmimístných logaritmů, 4. vydání, M.: Nedra, 1971. Profesionální sbírka pro přesné výpočty.
  3. Bremiker K. Logaritmicko-trigonometrické tabulky. M.: Nauka, 1962. 664 s. Klasické šestimístné tabulky, vhodné pro výpočty s goniometrickými funkcemi .
  4. Pětimístné tabulky přirozených hodnot goniometrických veličin, jejich logaritmy a logaritmy čísel, 6. vydání, M.: Nauka, 1972.
  5. Tabulky přirozených logaritmů, 2. vydání, ve 2 svazcích, Moskva: Nauka, 1971.
  6. Desetimístné tabulky logaritmů komplexních čísel. M., 1952.

Rozšíření logaritmu na komplexní doménu

První pokusy rozšířit logaritmy na komplexní čísla učinili na přelomu 17. a 18. století Leibniz a Johann Bernoulli , ale nepodařilo se jim vytvořit holistickou teorii, a to především z toho důvodu, že pojem logaritmu sám o sobě ještě nebyl jasný. definováno [27] . Diskuse na toto téma byla nejprve mezi Leibnizem a Bernoullim a v polovině 18. století mezi d'Alembertem a Eulerem. Bernoulli a D'Alembert věřili, že jeden by měl definovat , zatímco Leibniz argumentoval, že logaritmus záporného čísla je imaginární číslo [27] . Kompletní teorii logaritmů záporných a komplexních čísel publikoval Euler v letech 1747-1751 a v podstatě se neliší od té moderní [28] . Ačkoli spory pokračovaly (d'Alembert obhajoval svůj názor a podrobně jej argumentoval v článku ve své Encyklopedii a v dalších dílech), Eulerův přístup ke konci 18. století získal všeobecné uznání.

V 19. století, s rozvojem komplexní analýzy , studie komplexního logaritmu podnítila nové objevy. Gauss v roce 1811 vyvinul úplnou teorii vícehodnoty logaritmické funkce [29] , definovanou jako integrál . Riemann , spoléhat se na již známá fakta o této a podobných funkcích, zkonstruoval obecnou teorii Riemannových ploch .

Rozvoj teorie konformních zobrazení ukázal, že Mercatorovu projekci v kartografii , která vznikla ještě před objevem logaritmů (1550), lze označit za komplexní logaritmus [30] .

Literatura

Poznámky

  1. ↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Esej o historii logaritmů, 1923 , s. 9.
  2. ↑ Klein F. Elementární matematika z vyššího hlediska, 1987 , s. 206.
  3. ↑ Gupta, RC (2000), Dějiny matematiky v Indii , v Hoiberg, Dale & Ramchandani, Students' Britannica India: Select essays , New Delhi: Popular Prakashan, s. 329 Archivováno 17. března 2018 na Wayback Machine 
  4. ↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 54-55.
  5. ↑ Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics , New York: Holt, Rinehart, Winston, str. 182, ISBN 978-0-03-077670-0 , < https://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel > 
  6. ↑ Klein F. Elementární matematika z vyššího hlediska, 1987 , s. 210.
  7. ↑ Stewart, Ian . Neuvěřitelná čísla profesora Stewarta = neuvěřitelná čísla profesora Stewarta. - M . : Alpina literatura faktu, 2016. - S. 244. - 422 s. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
  8. ↑ Uspensky Ya. V. Esej o historii logaritmů, 1923 , s. 13.
  9. ↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 56.
  10. ↑ Čítanka o dějinách matematiky. Matematická analýza. Teorie pravděpodobnosti / Ed. A. P. Juškevič . - M . : Vzdělávání, 1977. - S. 40. - 224 s.
  11. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 59.
  12. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 61.
  13. ↑ Uspensky Ya. V. Esej o historii logaritmů, 1923 , s. 39.
  14. ↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 63.
  15. ↑ Charles Hutton. Matematické tabulky. Archivováno 11. září 2016 na Wayback Machine London, 1811, s. třicet.
  16. ↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 65-66.
  17. ↑ Berezin S.I. Počítací logaritmické pravítko. - M .: Mashinostroenie, 1968.
  18. ↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 133.
  19. ↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Esej o historii logaritmů, 1923 , s. 52.
  20. ↑ Klein F. Elementární matematika z vyššího hlediska, 1987 , s. 51, 286, 352.
  21. ↑ Klein F. Elementární matematika z vyššího hlediska, 1987 , s. 213, 217.
  22. ↑ Florian Cajori . Historie matematiky, 5. vydání  (neurčité) . - Knihkupectví AMS, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024 .
  23. ↑ Rybnikov K. A. Dějiny matematiky. Ve dvou svazcích. - M .: Ed. Moskevská státní univerzita, 1963. - T. II. - S. 25.
  24. ↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 62.
  25. ↑ Gnedenko B. V. Eseje o dějinách matematiky v Rusku, 2. vydání. - M. : KomKniga, 2005. - S. 66. - 296 s. - ISBN 5-484-00123-4 .
  26. ↑ Logaritmické tabulky // Velká sovětská encyklopedie.
  27. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, svazek III, 1972 , str. 325-328.
  28. ↑ Rybnikov K. A. Dějiny matematiky. Ve dvou svazcích. - M .: Ed. Moskevská státní univerzita, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231.
  29. ↑ Matematika 19. století. Svazek II: Geometrie. Teorie analytických funkcí, 1981 , s. 122-123.
  30. ↑ Klein F. Elementární matematika z vyššího úhlu pohledu . - M. : Nauka, 1987. - T. II. Geometrie. - S. 159-161. — 416 s.
 Historie matematiky
Země a éry
Tematické
sekce
viz také