Exponenciální funkce

Exponenciální funkce je matematická funkce , kde se nazývá základ stupně a je exponentem . ${\displaystyle f(x)=a^{x))$ $A$ $X$

V reálném případě je základem stupně nějaké nezáporné reálné číslo (pro záporná čísla není umocnění na skutečnou neceločíselnou mocninu definováno) a argument funkce je reálný exponent. $A$
V teorii komplexních funkcí je zvažován obecnější případ, kdy libovolné komplexní číslo může být argumentem a exponentem .
Ve své nejobecnější podobě ji představil Leibniz v roce 1695. $u^{v}$

Zvláště je zdůrazněn případ, kdy číslo e funguje jako základ stupně . Taková funkce se nazývá exponent (reálný nebo komplexní). Současně, vzhledem k tomu, že jakýkoli kladný základ může být reprezentován jako mocnina čísla e, se často místo pojmu "exponenciální funkce" používá pojem "exponent". $A$

Skutečná funkce

Definice exponenciální funkce

Nechť je nezáporné reálné číslo, buď racionální číslo : . Poté se určí na základě vlastností stupně s racionálním exponentem podle následujících pravidel. $A$ $X$ $x={\frac {m}{n}}$ $a^{x}$

Pokud , tak . $x>0$ $a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$
Pokud a , tak . $x=0$ $a\neq 0$ $a^{x}=1$
- Význam není definován (viz nula na mocninu nuly ). $0^{0}$
Pokud a , tak . $x<0$ $a>0$ $a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{|m|}}} }$
- Hodnota pro není definována. $a^{x}$ $x<0,a=0$

Pro libovolný reálný ukazatel lze hodnotu definovat jako limit posloupnosti $X$ $a^{x}$

a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n))

kde je posloupnost racionálních čísel konvergujících k . To znamená $\{r_{n}\}$ $X$

\lim _{n\to \infty }r_{n}=x

Vlastnosti

Vlastnosti umocnění:

$a^{0}=1$
$a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}$
${\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy))$
$(ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}$
$a^{x}$ / = $b^{x}$ ${\displaystyle (a/b)^{x))$

Monotónní intervaly:

Pro , exponenciální funkce roste všude a: $a>1$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (pro všechny ) $n$
$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$

Pro , funkce klesá, respektive, a: $0<a<1$

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (pro všechny ) $n$
$\lim _{x\to \infty }a^{x}=0$

To znamená, že exponenciální funkce roste v nekonečnu rychleji než jakýkoli polynom . Velké tempo růstu lze ilustrovat například problémem skládání papíru .

Reverzní funkce:

Analogicky se zavedením kořenové funkce pro mocninnou funkci zavedeme logaritmickou funkci , převrácenou hodnotu exponenciály:

f(x)=a^{x},\quad f^{-1}(x)=\log _{a}x

( základní logaritmus )

X

A

Číslo e:

Všimneme si jedinečné vlastnosti exponenciální funkce, kterou najdeme (takové číslo, jehož derivace exponenciální funkce je rovna samotné funkci): $a_{0}:(a_{0}^{x})'_{x}=a_{0}^{x}$ $A$

{\frac {d}{dx}}a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\;\Leftrightarrow \;a_{0}^{x+dx}-a_{0 }^{x}=a_{0}^{x}\,dx

Schopnost definovat je snadno vidět po zkratce pro : $a_{0}$ ${\displaystyle a_{0}^{x))$

{\displaystyle a_{0}^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow \;a_{0}=\left(1+dx\right)^{1/dx))

Výběrem nakonec získáme Eulerovo číslo : $dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n))$

a_{0}\equiv e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

Všimněte si, že funkce může být reprezentována jiným způsobem jako řada: (je snadné stanovit platnost diferenciací po členech): $e^{x}$

e^{x}=\součet _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{ 3} \přes 3!}+{x^{4} \přes 4!}+\ctečky

Odkud máme přesnější aproximaci:

e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}

Jedinečnost čísla lze snadno ukázat změnou . Pokud skutečně prochází někde výše než , pak na stejném intervalu je oblast, kde . $E$ $e^{x}$ ${\displaystyle e_{1}^{x))$ $e^{x}$ $(e_{1}^{x})'<e^{x}$

diferenciace:

Pomocí funkce přirozeného logaritmu lze vyjádřit exponenciální funkci s libovolným kladným základem v podmínkách exponentu. Vlastností stupně: , odkud vlastností exponentu a pravidlem derivování komplexní funkce: $\ln \,x:e^{\ln x}=x$ ${\displaystyle a^{x}=e^{\ln(a)\,x))$

{\displaystyle (a^{x})'=\ln(a)a^{x))

Neurčitý integrál:

\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C

Potenciace a antilogaritmus

Potenciace (z něm . potenzieren [K 1] ) - nalezení čísla pomocí známé hodnoty jeho logaritmu [1] , tedy řešení rovnice . Z definice logaritmu vyplývá, že zvýšení na mocninu lze nazvat jinými slovy „potenciace bází “ nebo výpočet exponenciální funkce . $\log _{a}x=b$ $x=a^{b}$ $A$ $b$ $b$ $A$ $b$

Antilogaritmus [2] čísla x je výsledkem potenciace, tedy čísla, jehož logaritmus (pro daný základ ) je roven číslu [2] [3] : $A$ $X$

\operatorname {ant} \log _{a}{x}=a^{x}.

Termín „antilogaritmus“ zavedl Wallis v roce 1693 [4] . Jako samostatný koncept se antilogaritmus používá v logaritmických tabulkách [5] , logaritmických pravidlech , mikrokalkulátorech . Chcete-li například extrahovat odmocninu čísla pomocí logaritmických tabulek, měli byste najít logaritmus čísla dělený 3 a pak (pomocí tabulky antilogaritmů) najít antilogaritmus výsledku. $A$ $A,$

Podobně jako u logaritmů se antilogaritmus k základu nebo 10 nazývá přirozený [6] nebo dekadický. $E$

Antilogaritmus se také nazývá obrácený logaritmus [3] .

V inženýrských kalkulačkách je potenciace standardně reprezentována jako dvě funkce: a . $e^{x}$ ${\displaystyle 10^{x))$

Komplexní funkce

Abychom rozšířili exponent na komplexní rovinu, definujeme jej pomocí stejné řady, přičemž skutečný argument nahradíme komplexním:

e^{z}=\součet _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{ 3} \přes 3!}+{z^{4} \přes 4!}+\ctečky

Tato funkce má stejné základní algebraické a analytické vlastnosti jako skutečná. Oddělením skutečné části od imaginární části v sérii pro , získáme slavný Eulerův vzorec : $e^{{ix}}$

e^{ix}=\cos x+i\sin x

To znamená, že komplexní exponent je periodický podél pomyslné osy:

{\displaystyle e^{z+2\pi i}=e^{z))

Exponenciální funkce s libovolným komplexním základem a exponentem se snadno vypočítá pomocí komplexního exponentu a komplexního logaritmu .

Příklad: ; protože (hlavní hodnota logaritmu) nakonec dostaneme: . $i^{i}=e^{i\cdot \ln(i)}$ $\ln(i)=i{\frac {\pi }{2))$ $i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$

Viz také

Poznámky

↑ Potentiace / Mathematical Encyclopedic Dictionary, M . : Sovětská encyklopedie, 1988, s. 479.
↑ 1 2 Antilogaritmus / Mathematical Encyclopedic Dictionary , M .: Sovětská encyklopedie, 1988, s. 73.
↑ 1 2 Antilogaritmus / Vinogradov, Mathematical Encyclopedia, Volume 1.
↑ Matematika 17. století // Historie matematiky, ve třech svazcích / Editoval A.P. Juškevič . - M. : Nauka, 1970. - T. II. - S. 56.
↑ Logaritmické tabulky / Mathematical Encyclopedic Dictionary, M . : Sovětská encyklopedie, 1988, s. 330.
↑ Finanční nástroje – tým autorů – Google Books . Získáno 8. července 2021. Archivováno z originálu dne 9. července 2021. (neurčitý)

Komentáře

↑ Termín poprvé objevil švýcarský matematik Johann Rahn (1659).

Literatura

Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, svazky I, II. - M .: Fizmatlit , 2001. - ISBN 5-9221-0156-0 ,. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Antilogaritmus // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Britannica (online) Treccani