Umocňování

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. března 2022; kontroly vyžadují 12 úprav .

Umocňování je aritmetická operace , původně definovaná jako výsledek násobení čísla sebou samým. Exponent se základem a přirozeným exponentem se označuje jako $A$ $b$

a^{b}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{b},

kde - počet faktorů (násobená čísla) [1] [K 1] . $b$

Například, $3^{2}=3\cdot 3=9;\quad 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$

V programovacích jazycích, kde není možný pravopis, se používá alternativní zápis . $a^{b}$

Umocnění lze také definovat pro záporné , racionální , reálné a komplexní mocniny [1] .

Extrakce odmocniny je jedna z operací inverzních k umocňování; najde neznámý základ ze známých hodnot stupně a exponentu . Druhá inverzní operace je logaritmus , najde neznámý exponent ze známých hodnot stupně a základu . Problém nalezení čísla podle jeho známého logaritmu (potenciace, antilogaritmus ) je řešen pomocí operace umocňování. $c=a^{b}$ $b$ $a={\sqrt[{b}]{c))$ $c=a^{b}$ $A$ $b=\log _{a}c$

Existuje rychlý umocňovací algoritmus , který provádí umocňování v menším počtu násobení než v definici.

Použití v ústní řeči

Zápis se obvykle čte jako " a na tou mocninu" nebo " a na mocninu n ". Čtěte například jako „deset na čtvrtou mocninu“, čtěte jako „deset na tři sekundy (nebo: jedna a půl)“. ${\displaystyle a^{n))$ $n$ $10^{4}$ $10^{3/2}$

Pro druhý a třetí stupeň existují speciální názvy: kvadratura a krychle . Takže se to například čte jako „deset na druhou“, čte se to jako „deset krychlových“. Tato terminologie pochází ze starověké řecké matematiky . Staří Řekové formulovali algebraické konstrukce v jazyce geometrické algebry . Zejména místo slova „násobení“ hovořili o ploše obdélníku nebo o objemu rovnoběžnostěnu : místo toho staří Řekové říkali „čtverec na segmentu a “, „krychle na a “. Z tohoto důvodu se čtvrtému a vyššímu stupni vyhýbali staří Řekové [2] . $10^{2}$ $10^{3}$ $a^2$ $a^{3}$

Číslo, které vznikne zvýšením přirozeného čísla na -tou mocninu, se nazývá přesná -tá mocnina. Konkrétně číslo, které je výsledkem kvadratury přirozeného čísla (krychle), se nazývá přesný čtverec (krychle). Dokonalý čtverec se také nazývá dokonalý čtverec . $n$ $n$

Vlastnosti

Základní vlastnosti

Všechny následující základní vlastnosti umocňování platí pro přirozená, celá, racionální a reálná čísla [3] . U komplexních čísel se kvůli polysémii komplexní operace provádějí pouze v případě přirozeného exponentu .

$a^{1}=a$
$\left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}$
$\left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \over {b^{n}}}$
${\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m))$
$\left.{a^{n} \over {a^{m}}}\right.=a^{nm}$
$\left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}$ .

Záznam nemá vlastnost asociativnosti (kompatibility), tedy v obecném případě Například , ale . V matematice je obvyklé uvažovat o ekvivalentu záznamu a místo toho můžete jednoduše napsat pomocí předchozí vlastnosti. Některé programovací jazyky však tuto konvenci nedodržují. $a^{n^{m}}$ $(a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}$ $(2^{2})^{3}=4^{3}=64$ $2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256$ $a^{n^{m}}$ $a^{\left({n^{m}}\right)}$ $(a^{n})^{m}$ $a^{nm}$

Umocňování nemá vlastnost komutativnosti (posunutí) : obecně řečeno např . $a^{b}\neq b^{a}$ $2^{5}=32$ $5^{2}=25.$

Tabulka přirozených mocnin malých čísel

n	n 2	n 3	n4 _	n 5	n6 _	n 7	n 8	n9 _	n 10
2	čtyři	osm	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2,187	6,561	19,683	59,049
čtyři	16	64	256	1024	4,096	16,384	65,536	262,144	1,048,576
5	25	125	625	3125	15,625	78,125	390,625	1,953,125	9,765,625
6	36	216	1296	7,776	46,656	279,936	1,679,616	10,077,696	60,466,176
7	49	343	2401	16,807	117,649	823,543	5,764,801	40,353,607	282,475,249
osm	64	512	4096	32,768	262,144	2,097,152	16,777,216	134,217,728	1,073,741,824
9	81	729	6561	59,049	531,441	4,782,969	43,046,721	387,420,489	3,486,784,401
deset	100	1000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000	10 000 000 000

Rozšíření

Mocnina celého čísla

Operace zobecňuje na libovolná celá čísla včetně záporných jedniček a nuly [4] ::

a^{z}={\begin{cases}a^{z},&z>0\\1,&z=0,a\neq \;0\\{\frac {1}{a^{ |z|}}},&z<0,a\neq \;0\\0,&z>0,a=0\end{cases}}

Výsledek není definován pro a . $a=0$ $z\leqslant 0$

Racionální stupeň

Zvýšení na racionální mocninu kde je celé číslo a je přirozené kladné číslo je definováno následovně [4] : $m/n,$ $m$ $n$

a^{m \over n}=({\sqrt[{n}]{a)))^{m};\quad \forall a>0,a\in \mathbb {R} ,m\ v \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .

Stupeň se základem rovným nule je určen pouze pro kladný racionální exponent.

0^{m \over n}=0;\quad m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} .

U záporných exponentů se zlomkový exponent neuvažuje. $A$

Důsledek: Koncept racionální mocniny tedy kombinuje umocnění na celočíselnou mocninu a extrahování odmocniny do jediné operace. ${\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n};\quad a>0,a\in \mathbb {R} .$

Skutečný titul

Množina reálných čísel je souvislé uspořádané pole označované . Množina reálných čísel není spočetná, její mocnina se nazývá mocnina kontinua . Aritmetické operace na reálných číslech reprezentovaných nekonečnými desetinnými zlomky jsou definovány jako spojité pokračování [5] odpovídajících operací s racionálními čísly. $\mathbb {R}$

Jsou-li zadána dvě reálná čísla, která mohou být reprezentována jako nekonečná desetinná místa (kde je kladné): $\alpha$

\alpha =a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},~~\alpha >0,

\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},

definovaných základními posloupnostmi racionálních čísel (splňujících Cauchyovu podmínku ), označenými jako: a , pak se jejich stupeň nazývá číslo definované stupněm posloupností a : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha ^{\beta }{=}[a_{n}]^{[b_{n}]}=[a_{n}{\widehat {}}b_{n}]

reálné číslo , splňuje následující podmínku: ${\displaystyle \gamma =\alpha ^{\beta ))$

(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \alpha ^ {\beta }\leqslant {(a'')}^{b''})\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \gamma \leqslant {(a'')}^{b ''}),~~~\forall ~a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ,~\forall \alpha >0,~\alpha ,\beta ,\gamma \ v \mathbb {R} .

Mocnina reálného čísla je tedy takové reálné číslo , které je obsaženo mezi všemi mocninami druhu na jedné straně a všemi mocninami druhu na straně druhé. $\alpha ^{\beta }$ $\gamma$ ${(a')}^{b'}$ ${(a'')}^{b''}$

Stupeň se základem rovným nule je určen pouze pro kladný reálný exponent.

0^{\beta }=0;\quad \beta \in \mathbb {R} ,\beta >0.

Pro záporný exponent se skutečným exponentem se neuvažuje. $\alpha$

V praxi je pro zvýšení čísla na mocninu nutné je nahradit s požadovanou přesností přibližnými racionálními čísly a . Stupeň zadaných racionálních čísel se bere jako přibližná hodnota stupně . Je přitom jedno, z jaké strany (nedostatkem nebo nadbytkem) se převzatá racionální čísla aproximují a . $\alpha$ $\beta$ $A$ $b$ $\alpha ^{\beta }$ ${\displaystyle a^{b))$ $\alpha$ $\beta$

Příklad umocňování až na 3. desetinné místo: ${\displaystyle \gamma =\pi ^{e))$

Tato čísla zaokrouhlíme na 4 desetinné místo (pro zlepšení přesnosti výpočtů);
Dostáváme: ; $\pi \cca 3,1416,\ e\cca 2,7183$
zvýšit na mocninu: ; $\gamma =\pi ^{e}\přibližně 3,1416^{2,7183}\přibližně 22,4592$
Zaokrouhlování na 3. desetinné místo: . $\gamma \cca 22,459$

Užitečné vzorce:

{\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x))

x^{y}=e^{y\ln x}

x^{y}=10^{y\lg x}

Poslední dva vzorce se používají k umocnění kladných čísel na libovolnou mocninu na elektronických kalkulačkách (včetně počítačových programů), které nemají vestavěnou funkci , a k přibližnému umocňování na neceločíselnou mocninu nebo k umocňování celých čísel, když jsou čísla příliš velké na to, aby bylo možné zapsat celý výsledek. $x^{y}$

Komplexní stupeň

Zvyšování komplexního čísla na přirozenou mocninu se provádí obyčejným násobením v trigonometrickém tvaru . Výsledek je jasný:

z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ) ;\quad \forall n\in \mathbb {N} ,z\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {R}

, ( Moivre vzorec ) [6] .

Chcete-li zjistit stupeň libovolného komplexního čísla v algebraickém tvaru , můžete použít Newtonův binomický vzorec (který je platný i pro komplexní čísla): $a+bi$

(a+bi)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}bi+C_{2}^{n}a^{n-2 }b^{2}i^{2}+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}i^{n-1}+b^{n}i^{n },\quad \forall n\in \mathbb {N}

Nahrazením stupňů na pravé straně vzorce jejich hodnotami v souladu s rovnostmi: , dostaneme: ${\displaystyle i^{k))$ $i^{4k}=1,i^{4k+1}=i,i^{4k+2}=-1,i^{4k+3}=-i,k\in \mathbb {N }$

(a+bi)^{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k}a^{n- 2k}b^{2k}+i\součet _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k+1}a^{ n-2k-1}b^{2k+1}.

[7]

Základem pro obecnější definici komplexního stupně je exponent , kde je Eulerovo číslo , je libovolné komplexní číslo [8] . $e^{z}$ $E$ $z=x+iy$

Komplexní exponent definujeme pomocí stejné řady jako reálná:

e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^ {4}}{4!}}+\ctečky .

Tato řada konverguje absolutně pro jakoukoli komplexní řadu, takže její členy lze libovolně přeskupovat. Zejména od něj oddělujeme část pro : $z,$ ${\displaystyle e^{iy))$

e^{iy}=1+iy+{\frac {(iy)^{2}}{2!)}}+{\frac {(iy)^{3}}{3!)}}+ {\ frac {(iy)^{4}}{4!}}+\cdots =\left(1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4 }} {4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(y-{\frac {y^{3}}{3!} }+ {\frac {y^{5}}{5!}}-\cdots \right).

V závorkách jsme dostali řady známé z reálné analýzy pro kosinus a sinus a dostali jsme Eulerův vzorec :

e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)

Obecný případ , kde jsou komplexní čísla, je definován pomocí reprezentace v exponenciálním tvaru : podle definujícího vzorce [8] : $a^{b}$ $a,b$ $A$ ${\displaystyle a=re^{i(\theta +2\pi k)))$

a^{b}=(e^{\jméno operátora {Ln} (a)})^{b}=(e^{\jméno operátora {ln} (r)+i(\theta +2\pi k )})^{b}=e^{b(\jméno operátora {ln} (r)+i(\theta +2\pi k))}.

Zde je komplexní logaritmus a je jeho hlavní hodnotou. $\operatorname {Ln}$ $\ln$

Komplexní logaritmus je navíc vícehodnotová funkce , takže obecně řečeno, komplexní stupeň není jednoznačně definován [8] . Nezohlednění této okolnosti může vést k chybám. Příklad: povýšme známou identitu na mocnost Nalevo se zjevně ukáže napravo 1. V důsledku toho: což, jak lze snadno ověřit, je špatně. Důvod chyby: zvýšením na mocninu získá levá i pravá nekonečná sada hodnot (pro různé ), takže zde pravidlo neplatí. Pečlivé použití vzorců pro stanovení komplexního stupně dává vlevo a vpravo, odtud je vidět, že kořenem chyby je záměna hodnot tohoto výrazu pro a pro $e^{2\pi i}=1$ $i.$ $e^{-2\pi },$ $e^{-2\pi }=1,$ $i$ $k$ ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc))$ $e^{-2\pi k};$ $k=0$ $k=1.$

Stupeň jako funkce

Odrůdy

Protože výraz používá dva symboly ( a ), lze jej považovat za jednu ze tří funkcí. $x^{y}$ $X$ $y$

Funkce proměnné (v tomto případě konstantního parametru). Taková funkce se nazývá mocninná . Inverzní funkce extrahuje kořen . $X$ $y$
Funkce proměnné (v tomto případě konstantního parametru). Taková funkce se nazývá exponenciální (speciální případ je exponent ). Inverzní funkce je logaritmus . $y$ $X$
Funkce dvou proměnných Všimněte si, že v tomto bodě má tato funkce neredukovatelnou diskontinuitu . Ve skutečnosti podél kladného směru osy , kde se rovná jedné, a podél kladného směru osy , kde se rovná nule. $f(x,y)=x^{y}.$ $(0, 0)$ $X,$ $y=0,$ $Y,$ $x=0,$

Nula na mocninu nuly

Výraz (nula až mocnina nuly) je v mnoha učebnicích považován za nedefinovaný a nesmyslný, protože, jak bylo uvedeno výše, funkce v (0, 0) je nespojitá. Někteří autoři navrhují přijmout konvenci, že tento výraz je roven 1. Konkrétně pak rozšíření do řady exponentu: $0^{0}$ ${\displaystyle f(x,y)=x^{y))$

e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!)

lze napsat kratší:

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}.

Je třeba upozornit, že konvence je čistě symbolická a nelze ji použít v algebraických ani analytických transformacích kvůli diskontinuitě funkce v tomto bodě. $0^0=1$

Historie

Označení

V Evropě se stupeň magnitudy zprvu psal verbálními zkratkami (q nebo Q označovaly čtverec, c nebo C - krychle, bq nebo qq - biquadrát, tedy 4. stupeň atd.) nebo jako produkt - např. byl zobrazen tak, jak si Otred zapsala takto: (pokud je jen jedna neznámá, často jí nebyla přiřazena ikona písmene) [9] . Německá škola kosistů nabízela speciální gotický odznak pro každý stupeň neznáma. $x^{4}$ $xxxx.$ ${\displaystyle x^{5}-15x^{4))$ $1qc-15qq$

V 17. století se postupně začala prosazovat myšlenka explicitního uvádění exponentu. Girard (1629), pro zvýšení čísla na mocninu, dal před toto číslo indikátor do závorek , a pokud napravo od indikátoru nebylo žádné číslo, znamenalo to, že byla implikována přítomnost neznámé v určeném stupni [ 10] ; například myslel . Pierre Erigon a skotský matematik James Hume navrhli možnosti umístění exponentu , napsali ve formě a [11 ] . $(2)2+1(2)$ $2^{2}+x^{2}$ $x^{4}$ $x4$ $x^{IV}$

Moderní záznam exponentu - vpravo a nad základnou - zavedl Descartes ve své " Geometrii " (1637), avšak pouze pro přirozené mocniny větší než 2 (kvadratura po dlouhou dobu byla označována starým způsobem, podle produktu). Později Wallis a Newton (1676) rozšířili kartézskou formu zápisu stupně na záporné a zlomkové exponenty, jejichž výklad do této doby byl již znám z děl Orema , Shuqueta , Stevina , Girarda a samotného Wallise. Začátkem 18. století byly alternativy pro psaní titulů „podle Descarta“, jak to vyjádřil Newton v „ Univerzální aritmetice “, „z módy “ . Exponenciální funkce , tj. zvýšení do různé míry, se objevila nejprve v dopisech a poté ve spisech Leibnize (1679). Povýšení na pomyslnou moc zdůvodnil Euler (1743) [11] [12] .

Zápis umocňování v programovacích jazycích

S nástupem počítačů a počítačových programů nastal problém, že v textu počítačových programů nelze zapsat titul ve „dvoupatrové“ podobě. V tomto ohledu byly vynalezeny speciální ikony, které označují operaci umocňování. První takovou ikonou byly dvě hvězdičky : " **", používané v jazyce Fortran . V jazyce Algol , který se objevil o něco později, byla použita ikona šipky : " ↑" ( Knuthovy šipky ). V jazyce BASIC se navrhuje symbol " ^" (" circumflex ", aka " stříška "), který si získal největší popularitu; často se používá při psaní vzorců a matematických výrazů, a to nejen v programovacích jazycích a počítačových systémech, ale také v prostém textu . Příklady:

3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125.

Někdy v počítačových systémech a programovacích jazycích má ikona umocňování levou asociativitu , na rozdíl od konvenční konvence v matematice pravé asociativnosti umocňování. To znamená, že některé programovací jazyky (například program Excel ) mohou vnímat zápis a^b^cjako (a^b)^c, zatímco jiné systémy a jazyky (například Haskell , Perl , Wolfram|Alpha a mnoho dalších) zpracují tento zápis zprava. doleva: a^(b^c), jak je v matematice zvykem: . ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{\left(b^{c}\right)))$

Některé symboly pro umocňování v programovacích jazycích a počítačových systémech jsou:

x ↑ y: Algol , některé ZÁKLADNÍ dialekty;
x ^ y: BASIC , J , MATLAB , R , Microsoft Excel , TeX , bc [K2] , Haskell [K3] , Lua , MathML a většina systémů počítačové algebry ;
x ^^ y: Haskell [K 4] , D ;
x ** y: Ada , Bash , Cobol , Fortran , FoxPro , Gnuplot , OCaml , Perl , PL/I , PHP [K 5] , Python , REXX , Ruby , SAS , Seed7 , Tcl , ABAP , Haskell [K 6] , Turing , VHDL , ECMAScript [K 7] [K 8] , AutoHotkey [K 8] , JavaScript ;
x⋆y: APL .

Mnoho programovacích jazyků (jako je Java , C a Pascal ) nemá operaci umocňování a používá k tomuto účelu standardní funkce .

Variace a zobecnění

Umocňování s přirozeným exponentem lze definovat nejen pro čísla, ale také pro nečíselné objekty, pro které je definováno násobení - například pro matice , lineární operátory , množiny (vzhledem ke kartézskému součinu , viz kartézský stupeň ).

Obvykle je tato operace uvažována v nějakém multiplikativním monoidu ( pologrupa s identitou) a je definována induktivně [13] pro jakýkoli : $M$ $x\v M$

$x^{0}=e$ (kde je identita monoidu). $E$
$x^{n+1}=x^{n}x$ , kde $n\geqslant 0$
If then je definováno pouze pro invertibilní prvky $n<0,$ $x^n$ $X.$

Zvláště cenné je použití umocňování na skupiny a pole , kde vzniká přímá analogie záporných mocnin.

Umocňovací hyperoperátor je tetrace .

Poznámky

↑ 1 2 Degree // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1985. - T. 5. - S. 221.
↑ Van der Waerden. Věda probuzení. Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka / Per. s cílem I. N. Veselovský. - M. , 1959. - S. 165-167. — 456 s.
↑ Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 140-141.
↑ 1 2 Příručka elementární matematiky, 1978 , str. 182-184.
↑ Protože vztah lineárního řádu již byl zaveden na množině reálných čísel, můžeme definovat topologii reálné čáry: jako otevřené množiny bereme všechny možné svazy intervalů tvaru $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Piskunov N. S. § 3. Umocnění komplexního čísla na mocninu a vyjmutí odmocniny z komplexního čísla . scask.ru _ Staženo: 27. března 2022. (Ruština)
↑ Bliznyakov N.M. KOMPLEXNÍ ČÍSLA . Vzdělávací a metodická příručka pro vysoké školy 23. Datum zpřístupnění: 27. 3. 2022. Archivováno z originálu 1. 4. 2022. (Ruština)
↑ 1 2 3 Vygodsky M. Ya. Příručka vyšší matematiky. - 12. vyd. - M. : Nauka, 1977. - S. 597 (poznámka pod čarou 3). — 872 s.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §290-297.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §164.
↑ 1 2 Aleksandrova N. V., 2008 , s. 130-131.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §298-301, 307-309.
↑ David M. Bloom. Lineární algebra a geometrie . - 1979. - S. 45 . - ISBN 978-0-521-29324-2 .

Komentáře

↑ V hovorové řeči se někdy říká, že například - „ a násobeno sebou třikrát “, což znamená, že se berou tři faktory . To není zcela přesné a může to vést k nejednoznačnosti, protože počet násobení bude o jedno méně: (tři násobiče, ale dvě násobení). Často, když říkají „ a násobeno samo sebou třikrát“, mají na mysli počet násobení, nikoli faktory, tedy viz August Davidov. Základní algebra . - Tiskárna E. Lissler a Y. Roman, 1883-01-01. - S. 6. - 534 s. Archivováno 31. května 2016 na Wayback Machine . Abychom se vyhnuli nejednoznačnosti, můžeme říci např.: třetí stupeň je, když „číslo je vynásobeno třikrát“. $a^{3}$ $A$ $a^{3}=a\cdot a\cdot a$ $a^{4}.$
↑ Pro celočíselný stupeň.
↑ Pro nezápornou mocninu celého čísla.
↑ Podporuje záporné exponenty, na rozdíl od ^, které je implementováno pouze jako sériové násobení.
↑ Od verze 5.6 (viz Manuál PHP › Dodatky › Migrace z PHP 5.5.x na PHP 5.6.x › Nové funkce archivované 18. dubna 2018 na Wayback Machine ).
↑ Pro stupeň reprezentovaný číslem s plovoucí desetinnou čárkou je implementován pomocí logaritmu.
↑ Popsáno ve standardu EcmaScript 7 (ECMA-262, 7. vydání), přijatém v červnu 2016.
↑ 1 2 JavaScript je dodáván s příponou . Math.pow(x, y)

Literatura

Alexandrova N. V. Historie matematických termínů, pojmů, označení: Slovník-příručka. - 3. vyd. - Petrohrad. : LKI, 2008. - 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky. — M .: Nauka, 1978. — 509 s.
- Reedice: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 stran.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Mocninná funkce // Velká sovětská encyklopedie . - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
Cajori F. Historie matematických notací. sv. 1 (dotisk z roku 1929) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xvi + 456 s. — ISBN 978-1-60206-684-7 .

Odkazy

Umocňování: pravidla, příklady . Staženo: 2. února 2020. (neurčitý)