Spojitost množiny reálných čísel

Spojitost reálných čísel je vlastnost soustavy reálných čísel , kterou množina racionálních čísel nemá . Někdy se místo o spojitosti mluví o úplnosti soustavy reálných čísel [1] . Existuje několik různých formulací vlastnosti spojitosti, z nichž nejznámější jsou Dedekindův princip spojitosti pro reálná čísla , Cauchy - Cantorův princip vnořených segmentů a věta o nejmenší horní hranici . V závislosti na přijaté definici reálného čísla lze vlastnost spojitosti buď postulovat jako $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ axiom - v té či oné formulaci, nebo být dokázán jako teorém [2] .

Axiom spojitosti

V axiomatické konstrukci teorie reálného čísla počet axiomů nutně zahrnuje následující tvrzení nebo jeho ekvivalent [3] :

Axiom kontinuity (úplnosti). Ať už jsou neprázdné množinya, takové, že pro libovolné dva prvkyanerovnost platí, existuje reálné číslotakové, že pro všechnyavztah platí $A\subset \mathbb {R}$ $B\subset \mathbb {R}$ $v A$ $b\in B$ $a\leqslant b$ $\xi$ $v A$ $b\in B$

a\leqslant \xi \leqslant b

Geometricky (pokud budeme s reálnými čísly zacházet jako s body na přímce ), jsou-li množiny a takové, že na číselné ose leží všechny prvky jednoho z nich vlevo od všech prvků druhého, pak existuje číslo , které odděluje tyto dvě množiny, to znamená, že leží napravo od všech prvků (kromě, možná nejvíce ) a nalevo od všech prvků (stejné upozornění). $A$ $B$ $\xi$ $A$ $\xi$ $B$

Množina racionálních čísel tuto vlastnost nemá. Vezmeme-li například dvě sady:

A=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^{2}<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0 ,\;x^{2}>2\},

pak nerovnost platí pro libovolné prvky a . Neexistuje však žádné racionální číslo oddělující tyto dvě množiny. Ve skutečnosti toto číslo může být pouze , ale není racionální . $v A$ $b\in B$ $a<b$ $\xi$ ${\sqrt {2}}$

Role axiomu kontinuity při konstrukci kalkulu

Význam axiomu spojitosti je takový, že bez něj je rigorózní konstrukce matematické analýzy nemožná. Pro ilustraci uvádíme několik základních výroků analýzy, jejichž důkaz je založen na spojitosti reálných čísel:

( Weierstrassova věta ). Každá ohraničená monotónně rostoucí posloupnost konverguje
( Bolzanova-Cauchyho věta ). Spojitá funkce na segmentu, která na svých koncích nabývá hodnot různých znamének, zmizí v některém vnitřním bodě segmentu
(Existence mocninných , exponenciálních , logaritmických a všech goniometrických funkcí v celé "přirozené" oblasti definice). Například je dokázáno, že pro každé celé číslo existuje , tedy řešení rovnice . To vám umožní určit hodnotu výrazu pro všechny racionální : $a>0$ $n\geqslant 1$ ${\sqrt[{n}]{a))$ $x^{n}=a,x>0$ $a^{x}$ $X$

$a^{{m/n}}=\left({\sqrt[ {n}]{a}}\right)^{m}$

Konečně opět díky návaznosti číselné osy je možné určit hodnotu výrazu již pro libovolný . Podobně pomocí vlastnosti spojitosti dokážeme existenci čísla pro libovolný .

a^{x}

x\in \mathbb{R}

\log _{{a}}{b}

a,b>0,a\neq 1

Po dlouhé historické období matematici dokazovali věty z analýzy na „tenkých místech“ odkazující na geometrické zdůvodnění a častěji je úplně přeskakovali, protože to bylo zřejmé. Základní koncept kontinuity byl použit bez jasné definice. Teprve v poslední třetině 19. století vytvořil německý matematik Karl Weierstrass aritmetizaci analýzy a zkonstruoval první rigorózní teorii reálných čísel jako nekonečných desetinných zlomků. Navrhl klasickou definici limity v jazyce , dokázal řadu tvrzení, která byla před ním považována za „zřejmá“, a tak dokončil základy matematické analýzy. $\varepsilon-\delta$

Později byly navrženy další přístupy k definici reálného čísla. V axiomatickém přístupu je spojitost reálných čísel výslovně označena jako samostatný axiom. V konstruktivních přístupech k teorii reálných čísel, například při konstrukci reálných čísel pomocí Dedekindových sekcí , se vlastnost spojitosti (v té či oné formulaci) dokazuje jako teorém.

Jiné formulace vlastnosti spojitosti a ekvivalentní věty

Existuje několik různých tvrzení vyjadřujících vlastnost spojitosti reálných čísel. Každý z těchto principů lze použít jako základ pro konstrukci teorie reálného čísla jako axiomu spojitosti a všechny ostatní z něj odvodit [4] [5] . Tato problematika je podrobněji rozebrána v další části.

Dedekindova kontinuita

Otázkou spojitosti reálných čísel se zabývá Dedekind ve svém díle „Kontinuita a iracionální čísla “ [6] . V něm porovnává racionální čísla s body přímky . Jak víte, mezi racionálními čísly a body přímky můžete vytvořit shodu , když jsou počáteční bod a jednotka měření segmentů zvoleny na přímce. S pomocí posledně jmenovaného je možné sestrojit odpovídající segment pro každé racionální číslo a jeho odložením doprava nebo doleva, v závislosti na tom, zda existuje kladné nebo záporné číslo, získáte bod odpovídající číslu. . Každé racionální číslo tedy odpovídá jednomu a pouze jednomu bodu na přímce. $A$ $A$ $p$ $A$ $A$ $p$

Ukazuje se, že na přímce je nekonečně mnoho bodů, které neodpovídají žádnému racionálnímu číslu. Například bod získaný vynesením délky úhlopříčky čtverce postaveného na jednotkovém segmentu. Oblast racionálních čísel tedy nemá onu úplnost nebo spojitost , která je vlastní přímce.

Dosavadní srovnání oblasti racionálních čísel s přímkou vedlo k objevu prvního z vad (Lückenhaftigkeit), neúplnosti nebo diskontinuity, zatímco přímce přisuzujeme úplnost, absenci mezer, spojitost.R. Dedekind, "Kontinuita a iracionální čísla"

Aby Dedekind zjistil, z čeho tato kontinuita spočívá, učiní následující poznámku. Pokud existuje určitý bod přímky, pak všechny body přímky spadají do dvou tříd : body umístěné vlevo a body umístěné vpravo . Samotný bod lze libovolně přiřadit buď do nižší nebo do vyšší třídy. Dedekind vidí podstatu kontinuity v opačném principu: $p$ $p$ $p$ $p$

Pokud jsou body přímky rozděleny do dvou tříd tak, že každý bod první třídy leží nalevo od každého bodu druhé třídy, pak existuje pouze jeden bod, který vytváří toto rozdělení úsečky do dvou tříd, toto je rozřezání linky na dva kusy.R. Dedekind, "Kontinuita a iracionální čísla"

Geometricky se tento princip zdá zřejmý, ale nejsme v pozici, abychom to dokázali. Dedekind zdůrazňuje, že tento princip je v podstatě postulátem , který vyjadřuje podstatu oné vlastnosti připisované přímé linii, kterou nazýváme kontinuita.

Přijetí této vlastnosti přímky není nic jiného než axiom, s jehož pomocí pouze rozpoznáváme její spojitost jako přímku, mentálně investující spojitost do přímky.R. Dedekind, "Kontinuita a iracionální čísla"

Pro lepší pochopení podstaty spojitosti číselné osy ve smyslu Dedekindově uvažujme libovolný úsek množiny reálných čísel, tedy rozdělení všech reálných čísel do dvou neprázdných tříd, takže všechna čísla jedna třída leží na číselné ose vlevo od všech čísel druhé. Tyto třídy se nazývají nižší a vyšší třídy. Teoreticky jsou 4 možnosti:

Spodní třída má maximální prvek , nejvyšší třída nemá minimum
Spodní třída nemá žádný maximální prvek, zatímco nejvyšší třída má minimum
Spodní třída má maximální prvek a nejvyšší třída má minimální prvek.
Spodní třída nemá žádné maximum a nejvyšší třída nemá žádný minimální prvek.

V prvním a druhém případě vytváří tuto sekci maximální prvek spodního nebo minimální prvek svršku. Ve třetím případě máme skok a ve čtvrtém mezeru . Kontinuita číselné osy tedy znamená, že v množině reálných čísel nejsou žádné skoky ani mezery, tedy, obrazně řečeno, neexistují žádné prázdnoty.

Zavedeme-li pojem úseku množiny reálných čísel, pak lze Dedekindův princip kontinuity formulovat následovně.

Dedekindův princip kontinuity (úplnosti). Pro každý úsek množiny reálných čísel existuje číslo, které vytváří tento úsek.

Komentář. Formulace Axiomu spojitosti o existenci bodu oddělujícího dvě množiny velmi připomíná formulaci Dedekindova principu spojitosti. Ve skutečnosti jsou tato tvrzení ekvivalentní a v podstatě se jedná o různé formulace téže věci. Obě tato tvrzení se proto nazývají Dedekindův princip spojitosti reálných čísel .

Lemma na vnořených segmentech (princip Cauchy-Cantor)

Lemma na vnořených segmentech ( Cauchy - Kantor ). Libovolný systém vnořených segmentů

[a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \ldots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \ldots

má neprázdný průsečík, to znamená, že existuje alespoň jedno číslo, které patří do všech segmentů daného systému.

Pokud navíc délka segmentů daného systému tíhne k nule, tzn.

\forall \varepsilon >0\;\existuje n_{{\varepsilon }}\;\forall n{\bigl (}n>n_({\varepsilon }}\Rightarrow b_{n}-a_{n}<\varepsilon {\bigr )}

pak se průsečík segmentů tohoto systému skládá z jednoho bodu.

Tato vlastnost se nazývá spojitost množiny reálných čísel ve smyslu Cantora . Níže bude ukázáno, že pro Archimédova uspořádaná pole je spojitost podle Cantora ekvivalentní spojitosti podle Dedekinda.

Nejvyšší princip

Princip nadřazenosti. Každá neprázdnámnožina reálných čísel ohraničená shora má supremum .

V kurzech počtu je tento problém obvykle teorém a jeho důkaz významně využívá spojitost množiny reálných čísel v té či oné formě. Zároveň je naopak možné postulovat existenci supremum pro jakoukoli shora ohraničenou neprázdnou množinu a opřít se o to, abychom dokázali např. Dedekindův princip kontinuity. Věta o supremu je tedy jednou z ekvivalentních formulací vlastnosti spojitosti reálných čísel.

Komentář. Místo supremum lze použít dvojí pojetí infimum.

Princip infimum. Každá níže ohraničená neprázdnámnožina reálných čísel má infimum .

Tento návrh je také ekvivalentní Dedekindově principu kontinuity. Navíc lze ukázat, že tvrzení věty infimum přímo vyplývá z tvrzení věty supremum a naopak (viz níže).

Lemma konečného krytu (Heine-Borelův princip)

Fine Cover Lemma ( Heine - Borel ). V jakémkoli systému intervalů pokrývajících segment existuje konečný subsystém pokrývající tento segment.

Lemma limitního bodu (Bolzano-Weierstrassův princip)

Lemma limitního bodu ( Bolzano - Weierstrass ). Každá nekonečně ohraničená množina čísel má alespoň jeden limitní bod.

Ekvivalence vět vyjadřujících spojitost množiny reálných čísel

Udělejme několik předběžných poznámek. Podle axiomatické definice reálného čísla splňuje sbírka reálných čísel tři skupiny axiomů. První skupinou jsou axiomy pole . Druhá skupina vyjadřuje skutečnost, že množina reálných čísel je lineárně uspořádaná množina a vztah řádu je konzistentní se základními operacemi pole. První a druhá skupina axiomů tedy znamenají, že množina reálných čísel je uspořádané pole . Třetí skupinu axiomů tvoří jeden axiom – axiom spojitosti (neboli úplnosti).

Abychom ukázali ekvivalenci různých formulací spojitosti reálných čísel, je třeba dokázat, že platí-li jeden z těchto výroků pro uspořádané těleso, pak jsou pravdivé všechny ostatní.

Teorém. Dovolit být libovolný lineárně uspořádaný soubor . Následující prohlášení jsou ekvivalentní: ${\mathsf {R}}$

Ať už jsou neprázdné množiny a takové, že pro libovolné dva prvky a existuje prvek takový , že pro všechny a platí vztah $A\subset {\mathsf {R}}$ $B\subset {\mathsf {R}}$ $v A$ $b\in B$ $a\leqslant b$ $\xi \in {\mathsf {R}}$ $v A$ $b\in B$ $a\leqslant \xi \leqslant b$
Pro každou sekci v existuje prvek, který vytváří tuto sekci ${\mathsf {R}}$
Každá výše ohraničená neprázdná množina má supremum $A\subset {\mathsf {R}}$
Každá níže ohraničená neprázdná množina má infimum $A\subset {\mathsf {R}}$

Jak je z této věty vidět, tyto čtyři výroky používají pouze to, co zavedl vztah lineárního řádu, a nepoužívají strukturu pole. Každý z nich tedy vyjadřuje vlastnost jako lineárně uspořádanou množinu. Tato vlastnost (libovolné lineárně uspořádané množiny, ne nutně množiny reálných čísel) se podle Dedekinda nazývá spojitost nebo úplnost . ${\mathsf {R}}$ ${\mathsf {R}}$

Dokazování ekvivalence jiných vět již vyžaduje strukturu pole.

Teorém. Nechť je libovolné uspořádané pole. Následující věty jsou ekvivalentní: ${\mathsf {R}}$

${\mathsf {R}}$ (jako lineárně uspořádaná množina) je Dedekind kompletní
Protože Archimédův ${\mathsf {R}}$ princip a princip vnořených segmentů jsou splněny
Neboť Heine-Borelův princip je splněn ${\mathsf {R}}$
Neboť princip Bolzano-Weierstrass je splněn ${\mathsf {R}}$

Komentář. Jak je vidět z věty, princip vnořených segmentů sám o sobě není ekvivalentní Dedekindově principu spojitosti. Dedekindův princip spojitosti implikuje princip vnořených segmentů, avšak obráceně vyžaduje navíc požadavek, aby uspořádané pole splňovalo Archimédův axiom . ${\mathsf {R}}$

Důkaz výše uvedených teorémů lze nalézt v knihách z níže uvedené bibliografie.

Poznámky

↑ Zorich, V. A. Matematická analýza. Část I. - Ed. 4., opraveno .. - M. : "MTsNMO", 2002. - S. 43.
↑ Například v axiomatické definici reálného čísla je v počtu axiomů zahrnut Dedekindův princip spojitosti a v konstruktivní definici reálného čísla pomocí Dedekindových úseků je stejné tvrzení již větou - viz např. , Fikhtengolts, G. M. Základy matematické analýzy. - 7. vyd. - M. : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .
↑ Kudryavtsev, L. D. Kurz matematické analýzy. - 5. vyd. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 38.
↑ Kudryavtsev, L. D. Kurz matematické analýzy. - 5. vyd. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 84.
↑ Zorich, V. A. Matematická analýza. Část I. - Ed. 4., opraveno .. - M. : "MTsNMO", 2002. - S. 81.
↑ Dedekind, R. Spojitost a iracionální čísla = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. opravené vydání. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.

Literatura

Kudryavtsev, L. D. Kurz matematické analýzy. - 5. vyd. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Fikhtengol'ts, G. M. Základy matematické analýzy. - 7. vyd. - M. : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .
Dedekind, R. Spojitost a iracionální čísla = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. opravené vydání. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.
Zorich, V. A. Matematická analýza. Část I. - Ed. 4., opraveno .. - M . : "MTsNMO", 2002. - 657 s. — ISBN 5-94057-056-9 .
Spojitost funkcí a numerické obory: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - 3. vyd. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 s.