Archimédův axiom

Archimedův axiom neboli Archimedův princip nebo Archimedova vlastnost je matematická věta pojmenovaná po starořeckém matematikovi Archimedovi . Poprvé tento návrh formuloval Eudoxus z Knidu ve své teorii poměrů veličin (Eudoxův koncept kvantity pokrývá jak čísla , tak spojité veličiny: segmenty , plochy , objemy [1] ):

Pokud existují dvě veličiny a , a menší než , pak tím, že součet vezmete dostatečně často, můžete překonat : $A$ $b$ $A$ $b$ $A$ $b$

\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b.

Například pro segmenty zní Archimédův axiom takto: jsou-li dány dva segmenty, pak tím, že dostatečně odložíte ten menší, můžete pokrýt ten větší.

Výrok Archimédova axiomu se zdá triviální, ale jeho skutečný význam spočívá v nepřítomnosti nekonečně malých a/nebo nekonečně velkých veličin . Tento axiom tedy není v nestandardní analýze splněn : množina hyperreálných čísel obsahuje nekonečně malé a nekonečně velké hodnoty. Takové prvky nemusí splňovat Archimédův axiom. Jiné příklady jsou možné .

Matematické struktury , pro které platí Archimedova vlastnost, se nazývají archimedovské , například archimedovské pole a archimedovská skupina , a ty, pro které neplatí, se nazývají nearchimedovské .

Historie

Axiom , známý v matematice jako Archimédův axiom, byl ve skutečnosti poprvé uveden Eudoxem z Cnidu . Tento problém hrál klíčovou roli v jeho teorii vztahů, která byla v podstatě první axiomatickou teorií reálného čísla . Proto se také nazývá axiom Eudoxus .

Teorie Eudoxu se k nám dostala v expozici Euklida ( Počátky , Kniha V).

Říká se, že hodnoty spolu souvisí, pokud se v násobcích mohou navzájem překonat."Začátky", kniha V, definice 4 [2]

Axiom Eudoxus–Archimedes je základem takzvané „metody vyčerpání“ , kterou vynalezl Eudoxus, metodu pro zjišťování oblastí obrazců, objemů těles, délek oblouků pomocí analogu moderních Riemannových a Darbouxových součtů . S pomocí své metody Eudoxus důsledně dokázal několik teorémů o výpočtu ploch a objemů. Největších výsledků však v této oblasti dosáhl Archimedes. Pomocí metody Eudoxus našel řadu nových oblastí a svazků. Ve stejné době, protože ve starověkém Řecku neexistoval koncept sekvence , limit sekvence , musel Archimedes opakovat úvahy znovu v každém konkrétním problému. Archimedes tak ve svých spisech formuloval a používal axiom Eudoxus-Archimedes. Sám Archimedes v úvodu své „ Kvadratury paraboly “ zároveň zdůrazňuje, že tento axiom používali jeho předchůdci a sehrál významnou roli v dílech Eudoxových [3] .

V matematické analýze

Archimédův princip je poměrně důležitý jak teoreticky, tak z hlediska konkrétního použití při měření a výpočtech [4] .

Na základě úplnosti reálných čísel Archimédův princip obecně vyžaduje důkaz, zatímco u jiných axiomat je často zahrnut do seznamu axiomů.

Formulace: (pro každé kladné reálné číslo existuje přirozené číslo, které je větší než ono) $\forall a\in \mathbb {R} :a>0\ \existuje n\in \mathbb {N} :n>a$

Důkaz: Předpokládejme opak, tedy , je horní mez. Podle věty o hraně , Vybíráme , Pak , Ale , Pro které , Což odporuje existenci , a proto je shora neomezené, což je zase ekvivalentní . H. t. d. $\forall n\in \mathbb {N} :n\leqslant a$ $A$ $b=\sup \mathbb {N}$ $\exists k\in \mathbb {N} :k>b-1$ $k'=k+1:k'\in \mathbb {N}$ $k'>b$ $b$ $\mathbb {N}$ $\forall a\in \mathbb {R} \ \exists n\in \mathbb {N} :n>a$

Vynásobením určitým normalizačním číslem získáme v podstatě nerovnost naznačenou na začátku článku. $a,n$

Moderní definice

Lineárně uspořádaná skupina

Dovolit být lineárně uspořádaná skupina , a být pozitivní prvky . Prvek se říká , že je nekonečně malý vzhledem k prvku (a je nekonečně velký vzhledem k ), jestliže pro jakékoli přirozené číslo je nerovnost $G$ $A$ $b$ $G$ $A$ $b$ $b$ $A$ $n$

\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}<b.

Skupina se nazývá Archimédova , pokud pro ni platí Archimédův axiom: neexistuje žádná dvojice prvků v takovém, že - je nekonečně malé vzhledem k . $G$ $G$ $A$ $b$ $A$ $b$

Objednané pole

Nechť je uspořádané pole . Protože jakékoli uspořádané pole je lineárně uspořádaná grupa, pak všechny výše uvedené definice nekonečně malých a nekonečně velkých prvků, stejně jako formulace Archimedova axiomu, zůstávají v platnosti. Je zde však řada specifických rysů, kvůli nimž je formulace Archimédova axiomu zjednodušena. $K$

Nechť jsou pozitivní prvky . $a,b$ $K$

prvek je nekonečně malý vzhledem k prvku právě tehdy, když je nekonečně malý vzhledem k (takové prvky se jednoduše nazývají nekonečně malé ) $A$ $b$ $a/b$ $1\v K$
prvek je nekonečně velký vzhledem k prvku právě tehdy, když je nekonečně velký vzhledem k (takové prvky se jednoduše nazývají nekonečně velké ) $A$ $b$ $a/b$ $1\v K$

Infinitezimální a infinitezimální prvky jsou kombinovány pod názvem infinitezimální prvky .

Formulace Archimedova axiomu je tedy zjednodušena: uspořádané pole má Archimedovu vlastnost, pokud neobsahuje nekonečně malé prvky, nebo ekvivalentně, neobsahuje-li nekonečně velké prvky. Pokud zde rozšíříme definici nekonečně malého (nebo nekonečně velkého) prvku, dostaneme následující formulaci Archimedova axiomu: $K$

Pro každý element pole existuje přírodní element takový, že $A$ $K$ $n$ $n>a$

Nebo ekvivalentní znění:

Pro každý pozitivní prvek oboru existuje přírodní prvek takový, že $\varepsilon >0$ $n$ $1/n<\varepsilon$

Příklady a protipříklady

Množina reálných čísel

Nejslavnějším příkladem Archimédova pole je množina reálných čísel . Pokud budeme množinu reálných čísel považovat za doplnění množiny racionálních čísel (např. pomocí Dedekindových oddílů ), pak Archimédova vlastnost pro reálná čísla vyplývá z toho, že ji mají racionální čísla. V jednom ze systémů axiomů reálných čísel, který navrhl Hilbert [5] , je množina reálných čísel definována jako maximální Archimédovo uspořádané pole, tedy uspořádané pole, které splňuje Archimedův axiom (tj. neobsahují nekonečně malé prvky), které nelze rozšířit na větší Archimédova uspořádaná pole.

Nearchimedovské uspořádané pole

Jako příklad (nebo spíše protipříklad) uspořádaného pole, pro které neplatí Archimédův axiom, uvažujme množinu racionálních funkcí s reálnými koeficienty, tedy funkcemi tvaru

R(x)={\frac {a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+\ldots + b_{1}x+b_{0}}}.

S ohledem na obvyklé operace sčítání a násobení tvoří tato množina pole . Relace řádu na množině racionálních funkcí zavedeme následovně. Nechť a být dvě racionální funkce. Říkáme, že právě tehdy, když v nějaké čtvrti má rozdíl striktně kladné znaménko. Tuto podmínku lze také formulovat z hlediska koeficientů racionálních funkcí a . Rozdíl zapíšeme jako polynom + vlastní racionální zlomek: $F$ $G$ $f>g$ $+\infty$ $fg$ $F$ $G$ $fg$

f(x)-g(x)=c_{nm}x^{nm}+\ldots +c_{1}x+c_{0}+{\frac {d_{k}x^{k} +\ldots +d_{1}x+d_{0}}{x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0}} },

kde poslední člen na pravé straně je vlastní racionální zlomek, to znamená, že stupeň v čitateli je menší než stupeň ve jmenovateli: . Budeme také předpokládat, že vedoucí koeficient jmenovatele je . Pak právě tehdy, když buď , nebo polynomická část chybí a . Je snadné zkontrolovat správnost této definice řádu (mělo by se ověřit, že zavedený vztah je skutečně relací řádu, a že je tento vztah konzistentní s operacemi v poli). $k<m$ $b_{m}$ $jeden$ $f>g$ $c_{nm} > 0$ $d_k > 0$

Množina racionálních funkcí tedy tvoří uspořádané pole. Všimněte si, že jde o rozšíření oboru reálných čísel, ale Archimédův axiom zde neplatí (viz konec předchozí části). Opravdu, zvažte prvky a . Je zřejmé, že ať je přirozené číslo jakékoli , nerovnost nastane: $jeden$ $X$ $n$

\underbrace {1+1+\ldots +1} _{n}=n\cdot 1<x.

Jinými slovy, je nekonečně velkým prvkem pole s ohledem na jednotu. Archimédův axiom tedy v této oblasti neplatí. $X$

Viz také

Poznámky

↑ Dějiny matematiky / Ed. A. P. Juškevič. - M. : Nauka, 2003. - T. 1. - S. 96.
↑ Euklides. Začátky / Překlad D. D. Mordukhai-Boltovsky. - M. - L .: Hlavní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1948. - T. 1.
↑ Bourbaki, N. Eseje o dějinách matematiky / Per. I. G. Bašmaková, ed. K. A. Rybníková. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1963. - S. 148.
↑ Zorich, V. A. Matematická analýza, část 1. - Moskva: FAZIS, 1997. - S. 50. - 554 s. — ISBN 5-7036-0031-6 .
↑ Hilbert, D. Základy geometrie. - M. - L .: Hlavní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1948. - S. 87.

Literatura

Dějiny matematiky / Ed. A. P. Juškevič. - M .: "Nauka", 2003. - T. 1.
Euklides. Začátky / Překlad D. D. Mordukhai-Boltovsky. - M. - L .: Hlavní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1948. - T. 1.
Hilbert, D. Základy geometrie. - M. - L .: Hlavní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1948.
Bourbaki, N. Eseje o historii matematiky / Per. I. G. Bašmaková, ed. K. A. Rybníková. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1963.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština