Přesná horní a dolní hranice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. října 2021; kontroly vyžadují 9 úprav .

Přesná horní hranice (horní hranice) a přesná dolní hranice (dolní hranice) jsou zobecněním pojmů maxima a minima množiny.

Přesná horní a dolní hranice množiny se obvykle označují (čti supremum x ) a (čti infimum x ). $X$ $\sup X$ $\inf X$

Použité definice

Majorant , neboli horní hranice (hranice) numerické množiny je číslotakové, že. $X$ $A$ $\forall x\in X\Rightarrow x\leqslant a$

Menšina , neboli dolní mez (hranice) numerické množiny je takové číslo , že . $X$ $b$ $\forall x\in X\Rightarrow x\geqslant b$

Podobně jsou podobné koncepty zavedeny pro podmnožinu nenumerické částečně uspořádané množiny . Tyto pojmy budou použity níže.

Definice

Přesná horní hranice (nejmenší horní hranice) nebo supremum ( latinsky supremum - nejvyšší) podmnožiny částečně uspořádané množiny (nebo třídy ) je nejmenší prvek , který je roven nebo větší než všechny prvky množiny . Jinými slovy, supremum je nejmenší ze všech horních tváří. Určeno . $X$ $M$ $M$ $X$ $\sup X$

Formálněji:

S_{X}=\{y\in M\mid \forall x\in X\!:x\leqslant y\}

- sada horních ploch , tj. prvků stejných nebo větších než všechny prvky ;

X

M

X

s=\sup(X)\iff S_{X}\ni s\;|\;\forall y\in S_{X}\!:s\leqslant y.

Přesná dolní hranice (největší dolní hranice) nebo infimum ( lat. infimum - nejnižší), podmnožina částečně uspořádané množiny (nebo třídy ) je největší prvek , který je roven nebo menší než všechny prvky množiny . Jinými slovy, infimum je největší ze všech dolních hranic. Určeno . $X$ $M$ $M$ $X$ $\inf X$

Poznámky

Tyto definice neříkají nic o tom, zda a patří do množiny nebo ne: $\sup X$ $\inf X$ $X$

v případě řekni, že to je maximum , to je ;

s=\sup X\in X

s

X

s=\max X

v případě se říká, že je to minimum , tj .

i=\inf X\in X

i

X

i=\min X

Výše uvedené definice jsou nepredikativní (odkazují samy na sebe), protože definovaný pojem v každé z nich je prvkem množiny, prostřednictvím které je definován. Zastánci konstruktivismu v matematice se staví proti používání takových definic, předcházejí nebo eliminují prvky „ začarovaného kruhu “ v rámci svých teorií různými metodami.
Při odhadu neznámých konstant se používají termíny "horní hranice" a "dolní hranice", přičemž horní hranice je dolní hranice nějaké známé množiny a dolní hranice je horní hranice . Z angličtiny lze výraz „upper bound“ přeložit jak jako „upper bound“, tak jako „upper bound“, což někdy vede k záměně. S výrazem „low bound“ je situace podobná.

Příklady

Na množině všech racionálních čísel větších než pět není žádné minimum, ale existuje infimum. taková množina se rovná pěti. Infimum není minimum, protože pět do této sady nepatří. Pokud však definujeme množinu všech přirozených čísel větších než pět, pak taková množina má minimum, a to se rovná šesti. Obecně řečeno, každá neprázdná podmnožina množiny přirozených čísel má minimum. $\inf$
Za sadu ${\displaystyle S=\left\{{\frac {1}{k}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}=\left\{1,\;{\frac {1}{2 )),\;{\frac {1}{3)),\;\ldots \right\))$

\sup S=1

; .

\inf S=0

Množina kladných racionálních čísel nemá nejmenší horní mez , ale přesné infimum . $\mathbb {Q} _{+}=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\}$ $\mathbb {Q}$ $\inf \mathbb {Q} _{+}=0$
Množina racionálních čísel , jejichž druhá mocnina je menší než dvě , nemá přesnou horní a dolní hranici v , ale pokud je považována za podmnožinu množiny reálných čísel , pak ${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\))$ $\mathbb {Q}$

\sup X={\sqrt {2}}

a .

\inf X=-{\sqrt {2}}

Věta o hraně

Formulace

Neprázdná podmnožina reálných čísel , ohraničená výše, má nejmenší horní mez; analogické , ohraničené zdola, je infimum. To znamená, že existují takové , které: $A$ $B$ ${\bar {a}}$ ${\podtržení {b))$

{\bar {a))=\sup A:{\begin{cases}\forall a\in A\Rightarrow a\leqslant {\bar {a)),\\\forall {\bar {a} }'<{\bar {a}}\,\,\existuje\v A:a>{\bar {a}}';\end{cases}}\ \ \ \ (1)

{\underline {b}}=\inf B:{\begin{cases}\forall b\in B\Rightarrow b\geqslant {\underline {b)),\\\forall {\underline {b} }'>{\underline {b}}\,\,\existuje b\v B:b<{\underline {b}}';\end{cases}}\ \ \ \ (2)

Důkaz

Pro neprázdnou množinu ohraničenou shora. Pro množinu ohraničenou zdola se argumenty provádějí podobným způsobem. $X$

Představme všechna čísla ve tvaru nekonečných desetinných zlomků : , kde je číslice. $x\in X$ $x={\overline {x_{0},x_{1}\tečky x_{m}\tečky ))$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\};\;\forall i\in \mathbb {N} ,\,x_{i))$

Množina je neprázdná a shora ohraničená definicí . Protože a je omezeno shora, existuje konečný počet prvků větší než některé (jinak by princip indukce implikoval neohraničenost shora). Vyberme si mezi těmito . $X_{0}=\{x_{0}\mid \forall {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}$ $X$ ${\displaystyle X_{0}\subset \mathbb {N} \cup \{0\))$ $X_{0}$ ${\tilde {x}}_{0}\in X_{0}$ $X_{0}$ ${\displaystyle a_{0}=\max X_{0))$

Sada je neprázdná a sestává z maximálně deseti prvků, takže existuje . $X_{1}=\{{\overline {a_{0},x_{1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\v X\}$ $a_{1}=\max X_{1}$

Předpokládejme, že pro nějaké číslo je desetinné číslo vytvořeno tak, že , a (desetinná reprezentace jakéhokoli prvku původní sady až do --tého desetinného místa nepřesahuje , a existuje alespoň 1 prvek, jehož desetinný zápis začíná ). $m$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\tečky a_{m))))$ $\exists x\in X:x={\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\ldots ))$ ${\displaystyle \forall x\in X:x={\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\Rightarrow {\overline {x_{0},x_{1} \ldots x_{m))}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m))))$ $m$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\tečky a_{m))))$ ${\displaystyle a_{0},a_{1}\tečky a_{m))$

Označit (množina prvků , které začínají v desítkové soustavě ). Podle definice čísla je množina neprázdná. Je konečné, takže existuje číslo , které má stejné vlastnosti jako . $X_{m+1}=\{{\overline {a_{0},\ldots a_{m+1))}\mid \forall {\overline {a_{0},\ldots a_{m+ 1 }\ldots }}\in X\}$ $X$ ${\displaystyle a_{0},a_{1}\tečky a_{m}a_{m+1))$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m))))$ $X_{m+1}$ ${\overline {a_{0},a_{1}\tečky a_{m}a_{m+1}}}=\max X_{m+1}$ $dopoledne$

Podle principu indukce se tedy pro jakoukoli ukáže, že jde o určitou číslici , a proto je jednoznačně určen nekonečný desetinný zlomek $n$ $a_n$

a\equiv {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{n}\ldots }}\in \mathbb {R}

Vezměme libovolné číslo . Podle konstrukce čísla platí pro libovolné číslo a tedy . Vzhledem k tomu, že úvaha je splněna , pak a druhý řádek definice se ukáže být splněn z konstrukce . $x\in X,x={\overline {x_{0},x_{1}\tečky x_{n}\tečky }}$ $A$ $n$ ${\displaystyle {\overline {x_{0},x_{1}\tečky x_{n))}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\tečky a_{n))))$ $x\leqslant a$ $\forall x\in X$ $a=\sup X$ $A$

Pojďme si vybrat . Je snadné vidět, že alespoň jedna číslice v desítkovém zápisu je menší než odpovídající číslice v zápisu . Zvažte výsledek získaný prvním číslem takového obrázku. Protože není prázdný, . $a'<a$ $A'$ $A$ $X_{i}$ $\exists x\in X_{i}\subset X:x>a'$

Důkaz pomocí principu úplnosti

Pro neprázdnou množinu ohraničenou shora zvažte — neprázdnou množinu horních mezí . Podle definice (množina leží nalevo od ). Podle kontinuity , . Podle definice v žádném případě (jinak - ne množina horních mezí, ale pouze některé její podmnožiny). Protože je nejmenší prvek , pak . $X$ ${\overline {X}}$ $X$ ${\overline {x}}\geqslant x,\forall x\in X,\forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ $X$ ${\overline {X}}$ $\exists c\in \mathbb {R} :\forall x\in X\leqslant c\leqslant \forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ ${\overline {X}}$ $c\in {\overline {X}}$ ${\overline {X}}$ $C$ ${\overline {X}}$ $c=\sup X$

Zkontrolujeme druhý řádek definice. Pojďme si vybrat . Let , pak , což znamená , že , ale , a je nejmenší prvek . Rozpor, tzn . Obecně lze říci, že úvaha je správná . $c'<c$ $\not \exists x\in X:x>c'$ $\forall x\in X:x\leqslant c'$ $c'\in {\overline {X}}$ $c'<c$ $C$ ${\overline {X}}$ $\exists x\in X:x>c'$ $\forall c'$

Pro množinu ohraničenou zdola jsou argumenty podobné.

Vlastnosti

Podle věty o hraně pro jakoukoli podmnožinu omezenou výše existuje . $\mathbb {R}$ $\nahoru$
Podle věty o hraně pro jakoukoli podmnožinu omezenou pod , existuje . $\mathbb {R}$ $\inf$
Reálné číslo je tehdy a jen tehdy, když: $s$ $\sup X$

s

existuje horní mez , tedy pro všechny prvky , ;

X

x\in X

x\leqslant s

for any there is , takový že (to znamená, že se můžete „přiblížit“ libovolně z množiny , a pro , je zřejmé, že ).

\varepsilon >0

x\in X

x+\varepsilon >s

s

X

s\in X

s+\varepsilon >s

Tvrzení podobné poslednímu platí také pro nejmenší dolní mez.

Variace a zobecnění

Významné supremum

Literatura

Bogdanov Yu. S., Kastritsa OA, Syroid Yu. B. Matematická analýza: Učebnice pro univerzity. — M.: UNITI-DANA, 2003.- S. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
Bogdanov Yu.S. Přednášky o matematické analýze. Část 1. - Mn .: Nakladatelství BSU, 1974. - S. 3-8.
W. Rudin. Základy matematické analýzy. — M .: Mir, 1976. — 320 s.