Nepredikativita (matematika)

Nepredikativita definice v matematice a logice , volně řečeno, znamená, že smysluplnost definice implikuje přítomnost definovaného objektu [1] . Příklad: objekt je definován jako takový prvek nějaké množiny, který splňuje určitý vztah mezi ním a všemi prvky této množiny (včetně sebe sama ) [2] . V některých případech může nepředikativní definice vést k nedorozuměním nebo dokonce rozporům. Opačným významem je predikativita .

Pro definice ve formálním jazyce poskytuje Encyclopedia of Mathematics přesnější verzi:

Vlastnost (přesněji jazykový výraz vyjadřující tuto vlastnost) se nazývá nepredikativní , pokud obsahuje vázanou proměnnou, do jejíhož rozsahu spadá definovaný objekt. O vlastnosti se říká , že je predikativní , pokud takové přidružené proměnné neobsahuje.

Neexistuje žádná obecně uznávaná jasná definice nepredikativnosti, různé zdroje uvádějí podobné, ale různé definice. Například nastane následující: definice objektu X je nepredikativní, pokud se buď odkazuje na X samotné nebo (nejčastěji) na množinu obsahující X; přitom se zdá být úplný, i když tato definice může ovlivnit jeho složení [3] [4] .

Příklady

Nejznámějším příkladem nepredikativní konstrukce je Russellův paradox , ve kterém je definována množina všech množin, které se neobsahují. Paradox spočívá v tom, že takto definovaná množina je vnitřně nekonzistentní – současně se obsahuje i sama sebe neobsahuje. Jasnou historickou verzí tohoto paradoxu je „ holičský paradox “: definice „vesničan, který si holí ty vesničany, kteří se neholí sami“, není predikativní, protože definuje vesničana využívajícího svůj vztah ke všem vesničanům (a tedy , as ním) [2] . Nepredikativita se nachází i v dalších paradoxech teorie množin [3] .

Paradox všemohoucnosti je často označován jako nepredikativní formulace : „Může Bůh stvořit kámen, který on sám nemůže zvednout? Zde je použit pojem „všemoc“, jehož definice je vnitřně rozporuplná [5] . Podobně je uspořádán „ paradox lháře “ , ve kterém výrok popírá sám sebe.

V matematice však existuje značné množství běžně používaných nepredikativních definic, které nedělají problémy a nemají jednoduchou predikativní verzi. V klasické analýze je to například definice nejmenšího infimu z množiny čísel [6] :

Přesné (největší) infimum podmnožiny uspořádané množiny je největší prvek , který nepřesahuje všechny prvky množiny.

Dalším příkladem obecně přijímané a vcelku bezpečné nepredikativní definice v analýze je určení maximální hodnoty funkce na daném intervalu, protože definovaná hodnota závisí na všech ostatních, včetně ní samotné [7] .

Nepredikativní konstrukce používají důkaz slavného Gödelova teorému neúplnosti : „nerozhodnutelný vzorec“ vytvořený jako výsledek prohlašuje neprokazatelnost sebe sama [8] .

Konečně, v logice a informatice existují rekurzivní definice a rekurzivní algoritmy , ve kterých je nepředvídatelnost zpočátku poskytována a je jejich nedílnou součástí.

Historie

Termíny „predikativní“ a „nepredikativní“ byly zavedeny v článku Russella (1907) [9] , ačkoli význam tohoto termínu byl poněkud odlišný. Henri Poincaré (1905-1906, 1908) odsoudil nepredikativní definice jako nebezpečný začarovaný kruh , považoval je za hlavní zdroj paradoxů v teorii množin. Russell podpořil toto hodnocení a ve své monografii Principia Mathematica podnikl kroky k tomu, aby se vyhnul nepředvídatelnosti ( teorie typů a „axiom redukovatelnosti“) [10] [11] . Hermann Weyl ve své knize „Das Kontinuum“ vyložil filozofický postoj, který se často nazývá „predikativismus“ [12] .

Ernst Zermelo v roce 1908 namítal proti příliš radikálnímu přístupu a uvedl dva příklady zcela neškodných nepredikativních definic často používaných v analýze. Hermann Weyl se pokusil najít prediktivní analog s nejnižší horní hranicí, ale nebyl úspěšný. Od té doby nebyl nikdo schopen vytvořit úplnou analýzu na striktně predikativním základě [1] [3] .

Poznámky

  1. ↑ 1 2 Matematická encyklopedie, 1982 , str. 981.
  2. ↑ 1 2 Nepredikativní definice Archivní kopie ze dne 3. února 2018 na Wayback Machine // Great Russian Encyclopedia.
  3. ↑ 1 2 3 Kleene S. K. Úvod do metamatematiky. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1957. - S. 44-46. — 526 str.
  4. ↑ Filosofický encyklopedický slovník, 1983 , s. 433.
  5. ↑ Kline M., 1984 , s. 241.
  6. ↑ Kline M., 1984 , s. 241-242.
  7. ↑ Kline M., 1984 , s. 242.
  8. ↑ Věta o neúplnosti Uspenského V. A. Gödela. — M .: Nauka, 1982. — 110 s. - ( Populární přednášky o matematice ).
  9. ↑ Russell, B. (1907), O některých potížích v teorii transfinitních čísel a typů řádů. Proč. Londýnská matematika. Soc., s2-4 (1): 29-53, doi:10.1112/plms/s2-4.1.29.
  10. ↑ Feferman, Solomon . Predicativity Archived 11. června 2016 na Wayback Machine (2002)
  11. ↑ Komentář Willarda V. Quinea před matematickou logikou Bertranda Russella z roku 1908 založenou na teorii typů
  12. ↑ Horsten, Leon. Filosofie matematiky  (anglicky) . — Stanfordská encyklopedie filozofie. Získáno 15. listopadu 2017. Archivováno z originálu 11. března 2018.

Literatura