Významné supremum

Esenciální supremum je obdobou supremum , vhodnější pro potřeby funkční analýzy . V této vědě je obvykle nezajímá, co se děje na množině míry nula, která je zohledněna v definici.

Definice

Esenciální supremum neboli funkce je infimum množiny čísel tak, že ${\mathrm {ess}}\sup$ $\mathrm {vrai} \sup$ $f:X\to {\mathbb {R}}$ $A$

f(x)\leq a,~~x\in X

skoro všude . Jinými slovy,

{\mathrm {ess}}\sup f=\inf\{a\in {\mathbb {R}}:\mu (\{x:f(x)>a\})=0\}\,,

kde je míra na sadě . Esenciální infimum je definováno podobně : $\mu$ $X$

{\displaystyle \mathrm {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\))

Příklady

Nechť je na přímce dána Lebesgueova míra a odpovídající σ-algebra Σ. Funkci definujeme následovně $F$

f(x)={\begin{cases}5,&x=1\\-4,&x=-1\\2,&x\in {\mathbb R}\zpětné lomítko \{-1,1\}\\\ end{cases}}

Supremum této funkce je číslo 5 a infimum je -4. Funkce však nabývá těchto hodnot pouze na sadách nulové míry , resp. Téměř všude (s ohledem na Lebesgueovu míru) je tedy tato funkce rovna 2, což znamená, že esenciální supremum a esenciální infimum se shodují a jsou rovny 2. $F$ $\{jeden\}$ $\{-1\}$ $F$

Jako další příklad si vezměte funkci

f(x)={\begin{cases}x^{3},&x\in {\mathbb Q}\\\arctan {x},&x\in {\mathbb R}\obrácené lomítko {\mathbb Q}\\ \end{cases}}

kde označuje množinu racionálních čísel. Tato funkce je neomezená jak nahoře, tak dole, takže její supremum a infimum jsou stejné . Avšak z hlediska Lebesgueovy míry má množina racionálních čísel míru nulu; pro funkční analýzu je důležité, co se stane na doplňku této množiny, kde se funkce shoduje s . Esenciální supremum je tedy v tomto případě , a esenciální infimum je . $\mathbb {Q}$ $\infty$ $-\infty$ $\arctan x$ $\pi/2$ $-\pi /2$

Nakonec vložíme funkci definovanou pro všechny real . Jeho esenciální supremum je a jeho esenciální infimum je . $f(x)=x^{3}$ $X$ $+\infty$ $-\infty$

Vlastnosti

$\inf f\leqslant {\mathrm {ess}}\inf f\leqslant {\mathrm {ess}}\sup f\leqslant \sup f$
${\mathrm {ess}}\sup(f\cdot g)\leqslant ({\mathrm {ess}}\sup f)\cdot ({\mathrm {ess}}\sup g)$ když oba faktory na pravé straně jsou nezáporné.

Aplikace

Esenciální supremum se používá k definování normy na prostoru měřitelných ohraničených téměř všude (v podstatě ohraničených) funkcí (identifikující funkce, které se liší na množině nulové míry). Na tomto prostoru je definována norma, takový prostor se zavedenou normou se nazývá prostor L ∞ . $\|f\|={\mathrm {ess}}\up |f|$

Odkazy

Essential supremum (anglicky) na webu PlanetMath .