Geometrická algebra

Geometrická algebra je historická konstrukce algebry uvedená v druhé knize Euklidových „ Principů “ (3. století př. n. l.), kde byly operace definovány přímo pro geometrické veličiny a teorémy byly dokázány pomocí geometrických konstrukcí. Jinými slovy, algebra starověkých matematiků nejen vyrostla z problémů geometrie, ale byla kompletně postavena na geometrickém základě [1] .

Například součin číselných hodnot byl definován [2] jako obdélník se stranami a .

Příklady

Výrok Pythagorovy věty lze interpretovat jako algebraickou rovnost nebo jako rovnost ploch čtverců postavených na nohách a čtverce postaveného na přeponě . Druhý způsob je příkladem přístupu geometrické algebry.

Distribuční zákon reprezentovali starověcí matematici jako rovnost plochy obdélníku se součtem ploch dvou obdélníků získaných řezáním původního rovnoběžně s jednou ze stran (viz obrázek).

Historie

Ve IV století před naším letopočtem. E. Pythagorejci zjistili, že úhlopříčka čtverce je nesouměřitelná s jeho stranou, to znamená, že jejich poměr ( ) nelze vyjádřit ani jako přirozené číslo , ani jako zlomek . Staří matematici však neuznávali jiné číselné objekty, kromě přirozených čísel dokonce zlomek považovali nikoli za číslo, ale za poměr ( proporce ) [3] .

Východisko se mu podařilo najít ve 4. století před naším letopočtem. E. Eudoxus z Knidu - zavedl spolu s čísly pojem geometrických veličin (délky, plochy, objemy). Pro homogenní veličiny byly definovány aritmetické operace podobné numerickým. Eudoxova teorie byla vyložena Euklidem v páté knize jeho Principia a v Evropě byla používána až do 17. století. Euklides musel znovu dokázat teorémy o číslech zvlášť pro veličiny a aritmetika veličin byla mnohem chudší než numerická aritmetika, už jen proto, že se týkala pouze homogenních veličin [4] [5] .

Kritika

V moderní době se ukázalo, že konstrukce numerické algebry na základě geometrie byla chyba. Například z hlediska geometrie výrazy a neměly ani geometrickou interpretaci ( fyzický rozměr výsledné hodnoty nebyl definován), a proto nedávaly smysl; totéž platí pro záporná čísla [6] .

Počínaje Descartovou geometrií (1637) se evropští matematici vydali jinou cestou - vytvořili analytickou geometrii , která namísto redukce algebry na geometrii redukuje geometrii na algebru, a tato cesta se ukázala být mnohem plodnější. Aby to bylo možné, Descartes rozšířil pojem čísla – pohltil všechna reálná čísla včetně iracionálních a je abstraktní , tedy oddělený od geometrie [7] . Samostatný pojem geometrické veličiny se pak stává nadbytečným. Algebraizace geometrie také umožnila objevit společné rysy v geometrických úlohách, které se zdály být zcela nezávislé [8] .

Někteří historici zpochybňovali existenci geometrické algebry. Například Shabtai Unguru věřil, že jelikož dějiny matematiky nepsali historici, ale matematici, vycházeli při svých rekonstrukcích z toho, že matematika se v podstatě nemění, a proto při prezentaci historie volně používali myšlenky a termíny moderní matematiky.

Poznámky

  1. ↑ Nikiforovsky, Freiman, 1976 , str. 5.
  2. ↑ Zeiten, 1932 , str. 42-43.
  3. ↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 72-74.
  4. ↑ Kolmogorov A. N. Value // Mathematical Encyclopedia. - M . : Sovětská encyklopedie, 1977. - T. 1.
  5. ↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 78.
  6. ↑ Bashmakova I. G. Přednášky o dějinách matematiky ve starověkém Řecku // Historický a matematický výzkum . - M .: Fizmatgiz , 1958. - č. 11 . - S. 309-323 .
  7. ↑ Juškevič A.P. Descartes a matematika, 1938 , s. 279-282.
  8. ↑ Scott, JF Vědecká práce Reného Descarta. - New York: Garland, 1987. - ISBN 0824046722 .

Literatura