Operace (matematika)

Operace je mapování , které spojuje jeden nebo více prvků množiny (argumentů) s jiným prvkem (hodnotou). Termín „operace“ se obvykle používá pro aritmetické nebo logické operace, na rozdíl od termínu „ operátor “, který se častěji používá pro určitá mapování typu set-on-self, která mají vlastnosti zajímavé pro výzkum.

Definice

Operace je zobrazení, jehož doména definice je přímým součinem několika množin. Matematicky lze operaci zapsat jako zobrazení ( a může se shodovat), kde se nazývá arita operace [1] . $F$ $f\colon D\subseteq \underbrace {A\times A\times \cdots \times A}_{{n}}\to B$ $B$ $A$ $n$

Související definice

Operace se liší v počtu množin, jejichž kartézský součin je doménou definice. Operace může být například unární , pokud mapuje jeden prvek množiny na jeden prvek množiny, nebo binární , pokud mapuje dva prvky množiny na jeden prvek.

Algebraická operace je operace, jejíž definiční obor se rovná kartézské mocnině určité množiny , kde je arita , a definiční obor hodnot se rovná této množině , tedy [2] . $F$ $n$ $A,$ $n\in {\mathbb {N}}_{0}$ $A,$ $f\dvojtečka A^{n}\to A$

Vlastnosti

Operace mohou, ale nemusí mít různé vlastnosti. Například:

komutativnost (vlastnost posunutí) je vlastnost operace " ", kdy $\circ$ $a\circ b=b\circ a;$
antikomutativnost - například operace odčítání , protože $ab=-(ba);$
asociativita (asociativní vlastnost) je vlastnost operace " ", kdy $\circ$ $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c);$
distributivita (distributivní vlastnost) - například operace násobení s ohledem na sčítání , protože $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c;$
idempotence - pokud opakovaná operace již nezmění objekt, například pomocí modulo : $|x|={\big |}|x|{\big |}={\Big |}{\big |}|x|{\big |}{\Big |}=\ldots$

Celkově vzato, komutativnost a antikomutativnost nevyčerpávají vlastnosti všech možných operací: například umocňování není komutativní operací, protože například, ale zároveň není antikomutativní: např. $2^{3}\neq 3^{2},$ $2^{4}\neq {\color {Červená}-}4^{2}.$

Operace

Aritmetika

Aritmetické operace

Sčítání (+)

1. termín + 2. termín =

součet

Odečítání (-)

Sníženo − Odečteno =

rozdíl

Násobení (×)

1. násobitel × 2. násobitel =

práce

divize (:)

Dividenda : dělitel =

soukromé

Dělení se zbytkem (mod)

Dělitelný mod dělitel =

zbytek divize

Umocnění (^)

{\text{base}}^{\text{exponent}}

stupeň

Extrakce kořenů (√)

{\sqrt[{\text{value}}]{\text{number}}}

vykořenit

logaritmus (log)

\log _{\text{base}}

(číslo) =

logaritmus

Sčítání je binární operace, jako . $2+7=9$
Odečítání je inverzní sčítání , např. $9-7=2$
Násobení je hyperoperace sčítání, například . $2\cdot 3=6$
Dělení je inverzí k násobení, např. $6:3=2$
Umocňování je hyperoperace násobení , například . $2^{3}=8$
Extrahování odmocniny je inverzní k umocňování, například . ${\sqrt[{3}]{8}}=2$
Logaritmus je druhá inverze k umocňování, například . $\log _{2}8=3$
Tetrace je hyperoperace umocňování, například . $^{3}2=2^{{2^{2}}}=16$
Superkořen a superlogaritmus jsou inverzní operace tetrace.

Sčítání a odčítání jsou základní aritmetické operace. Všechny ostatní, složitější operace jsou získány jako výsledek hyperoperací. Sčítání a odčítání jsou tedy klasifikovány jako operace prvního stupně; násobení a dělení - k operacím druhého stupně; umocňování, extrakce kořenů a logaritmus - k operacím třetího stupně; tetrace a její inverzní operace jsou zřídka používané operace čtvrtého stupně, nicméně v takové hyperoperaci lze pokračovat neomezeně, až po operace 5., 6. a vyšších stupňů.

Počet

Diferenciace - nalezení derivace funkce, například . $(x^{2})'=2x$
Integrace je opakem diferenciace; nalezení primitivní funkce, například . $\int 2xdx=x^{2}+C$

Logické operace

Logické operace jsou operace s prvky ze sady dvou prvků: "true" a "false" nebo "1" a "0".

Negace ( ) je unární operace; převede "1" na "0" a "0" na "1". $\neg A$
Spojka ( ) je binární operace; vrátí "1" pouze v případě, že oba argumenty jsou "1". $A\A B$
Disjunkce ( ) je binární operace; vrátí "0" pouze v případě, že oba argumenty jsou "0". $A\lor B$

Poznámky

↑ Obecná algebra. V.1 / O. V. Melnikov, V. N. Remeslennikov, V. A. Romankov a další.Pod generálem. vyd. L. A. Skornyaková. M.: Věda. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1990. - 592 s. - (Referenční mat. b-ka). ISBN 5-02-014426-6 (svazek 1)
↑ Encyklopedie matematiky . — M.: Sovětská encyklopedie . I. M. Vinogradov . 1977-1985.