Odčítání

Odečítání (redukce) je jedna z pomocných binárních matematických operací ( aritmetických operací) dvou argumentů (redukovaného a odečteného), jejímž výsledkem je nové číslo (rozdíl) [1] , získané snížením hodnoty prvního argumentu o hodnotu druhého argumentu. Na dopise je obvykle označena znaménkem mínus : . Odečítání je inverzní operace sčítání . $ab=c$

Obecně můžeme psát: , kde a . To znamená, že každé dvojici prvků ze sady je přiřazen prvek zvaný rozdíl a . Odečítání je možné pouze v případě, že oba argumenty patří do stejné množiny prvků (mají stejný typ). ${\overline {S}}(a,b)=c$ $v A$ $b\in A$ $(a,b)$ $A$ $c=ab$ $A$ $b$

V případě záporných čísel je vhodné považovat odčítání (a definovat) jako druh sčítání - sčítání se záporným číslem [2] . Například to lze považovat za sčítání: . $5-2=3$ $5+(-2)=3$

Na množině reálných čísel má definiční obor sčítací funkce graficky tvar roviny procházející počátkem a skloněné k osám o 45° úhlových stupňů .

Odečítání má několik důležitých vlastností (například pro ): $A=$ $\mathbb {R}$

Antikomutativnost :

ab=-(ba),\quad \forall a,b\in \ A.

Neasociativnost:

(ab)-c\neq a-(bc),\quad \exists a,b,c\in \ A.

Distributivita :

x\cdot (ab)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.

Odečtením ( nulový prvek ) dostaneme číslo rovné původnímu:

0

x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.

Příklad na obrázku vpravo znamená, že pět jablek odečte dvě jablka a výsledkem jsou tři jablka. Všimněte si, že nemůžete odečíst například 2 hrušky od 5 jablek. Kromě počítání jablek může odčítání také představovat rozdíl jiných fyzikálních a abstraktních veličin, jako jsou: záporná čísla , zlomková čísla , vektory , funkce a další. $5-2=3$

Formuláře a terminologie

Odečítání se zapisuje pomocí znaménka mínus : " " mezi argumenty, tato forma zápisu se nazývá infixová notace . V tomto kontextu je symbol mínus binární operátor . Výsledek se zapíše pomocí znaménka rovná se " ", například: $-$ $=$

ab=c

;

6-3=3

("šest mínus tři se rovná třem");

64-35=29

(„šedesát čtyři mínus třicet pět rovná se dvacet devět“).

Při psaní je symbol mínus velmi podobný jiným psaným znakům , jako jsou pomlčky , pomlčky a další. Výraz byste měli pečlivě analyzovat, aby nedošlo k chybné interpretaci symbolu.

Vlastnosti

Operace odčítání na číselných množinách má následující hlavní vlastnosti: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$

Odečítání je antikomutativní - rozdíl se mění od změny místa argumentů:

Antikomutativnost :

ab\neq ba,\quad \forall a,b\in \ A.

Odečítání je antiasociativní - při odečítání tří a více čísel po sobě je důležitá posloupnost operací, výsledek se změní:

Antiasociativnost :

(ab)-c\neq a-(bc),\quad \forall a,b,c\in \ A.

Odečítání je distributivní, to je vlastnost konzistence dvou binárních operací definovaných na stejné množině, známá také jako distributivní zákon [4] .

Distributivita :

x\cdot (ab)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.

Pokud jde o odčítání, v množině je pouze jeden neutrální prvek , odečítání od nuly (nebo neutrálního prvku) dává číslo rovné originálu: $A$

Nulový prvek :

x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.

Odečítání nuly je idempotentní – opakovaná aplikace operace na objekt dává stejný výsledek jako jedna operace:

Idempotence : ;

x=x-0=(x-0)-0=((x-0)-0)-...-0,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A

Odečtením opačného prvku dostaneme dvojnásobné číslo:

a-(-a)=a+a=2a,\quad \forall a\in A,\quad \exists -a\in A.

Výsledek odčítání není vždy jistý pro množinu přirozených čísel : aby bylo získáno přirozené číslo jako výsledek odčítání, minuend musí být větší než subtrahend. Odečíst větší číslo od menšího v rámci přirozených čísel nelze. $\mathbb {N}$

Operace odečítání čísel definovaných na množinách dává číslo (rozdíl) patřící do stejné množiny, proto se operace odčítání týká uzavřených operací (operací, které neodvozují výsledek z dané množiny čísel), tedy množin čísla tvoří kroužky s ohledem na operaci odčítání. $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$

Provádění odčítání

Operace odečítání může být reprezentována jako druh " černé skříňky " s minuendem a subtrahendem na vstupu a jedním výstupem - rozdíl:

Při praktickém řešení problému odčítání dvou čísel je nutné jej zredukovat na posloupnost jednodušších operací: „prosté odčítání“, výpůjčka , porovnávání atd. K tomu byly vyvinuty různé metody odčítání, např. čísla, zlomky, vektory atd. Na množině přirozených čísel se v současné době používá algoritmus bitového odčítání . V tomto případě by se odečítání mělo považovat za postup (na rozdíl od operace).

Přibližný algoritmus pro postup pro bitové odčítání dvou čísel

Jak vidíte, postup je poměrně složitý, skládá se z poměrně velkého počtu kroků a při odečítání velkých čísel to může trvat dlouho.

"Jednoduché odčítání" - v tomto kontextu znamená operaci odečítání čísel menších než dvacet, kterou lze snadno zredukovat na dekrementaci . Je dekrementálním hyperoperátorem :

$ab=\operatorname {hyper-1} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,-1,b)=a^{(-1)}b.$

$a{^{(-1)}}b=ab=\underbrace {1+1+\tečky +1} _{a}\underbrace {-1-1-\tečky -1} _{b} .$

kde: je posloupnost jednou provedených operací zvyšování ; — posloupnost jednorázové operace snižování. $1+1+\tečky +1$ $A$
$-1-1-\tečky -1$ $b$

Pro zjednodušení a urychlení procesu odčítání se používá tabulková metoda „jednoduchého odčítání“, k tomu jsou předem spočítány všechny kombinace rozdílu čísel od 18 do 0 a konečný výsledek je převzat z této tabulky [5] :

desítková tabulka odčítání

-	0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset	jedenáct	12	13	čtrnáct	patnáct	16	17	osmnáct
0	0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9
jeden		0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9
2			0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9
3				0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9
čtyři					0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9
5						0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9
6							0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9
7								0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9
osm									0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9
9										0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9

Tento postup je použitelný pro odečítání přirozených a celých čísel (s výhradou znaménka). Pro ostatní čísla se používají složitější algoritmy.

Odečítání čísel

Přirozená čísla

Použijme definici přirozených čísel jako tříd ekvivalence konečných množin. Označme třídy ekvivalence konečných množin generovaných bijekcemi pomocí závorek: . Potom je aritmetická operace „odčítání“ definována takto: $\mathbb {N}$ $C,A,B$ $[C],[A],[B]$

[C]=[A]-[B]=[A\setminus B];

kde je rozdíl množin . Tato operace s třídami je zavedena správně, to znamená, že nezávisí na volbě prvků třídy a shoduje se s induktivní definicí. ${\displaystyle A\setminus B=\{C\in A\uprostřed C\ne \in B\mid B\podmnožina A\))$

Zobrazení 1:1 konečné množiny na segment lze chápat jako výčet prvků množiny . Tento proces číslování se nazývá "POČET". „Účet“ je tedy vytvořením vzájemné korespondence mezi prvky množiny a segmentem přirozené řady čísel. $A$ ${\displaystyle N_{a))$ ${\displaystyle A:\quad A\sim N_{a))$

Pro odečítání přirozených čísel v pozičním zápisu čísel se používá bitový algoritmus odčítání. Jsou dána dvě přirozená čísla a taková, že: $A$ $b$

a=a_{n-1}a_{n-2}\tečky a_{0},\quad b=b_{n-1}b_{n-2}\tečky b_{0},\quad \ forall a_{k},b_{k}\in \{P\},\quad \forall a_{n-1},b_{n-1}\neq 0,\quad a\geqslant b,\quad \exists 0\in \mathbb {N} ;

kde ; - počet číslic v čísle ; - pořadové číslo kategorie (pozice), ; - základ číselné soustavy; sada číselných znaků (číslic), konkrétní číselná soustava: , , ; pak: ${\displaystyle a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k))$ $n$ $n\in \{1,2,\tečky ,n\}$ $k$ $k\in \{0,1,\tečky ,n-1\}$ $P$ $\{P\}$ $\{P_{2}\}=\{0,1\}$ $\{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ ${\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F\))$

c=ab;\quad c_{n-1}c_{n-2}\tečky c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}\tečky a_{0}-b_{n -1}b_{n-2}\tečky b_{0};

odečtením kousek po kousku dostaneme:

$c_{0}={\begin{cases}a_{0}-b_{0},\quad &{\text{if }}a_{0}\geqslant b_{0}{\text{ }} \\a_{0}+P-b_{0},\quad a_{1}=a_{1}-1&{\text{if }}a_{0}<b_{0}{\text{ }}\ end{cases}}$
$c_{1}={\begin{cases}a_{1}-b_{1},\quad &{\text{if }}a_{1}\geqslant b_{1}{\text{ }} \\a_{1}+P-b_{1},\quad a_{2}=a_{2}-1&{\text{if }}a_{1}<b_{1}{\text{ }}\ end{cases}}$
$...\quad \quad ...\quad \quad ...$
$c_{n-1}={\begin{cases}a_{n-1}-b_{n-1},\quad &{\text{if }}a_{n-1}\geqslant b_{ n-1}{\text{ }}\\a_{n-1}+P-b_{n-1},\quad a_{n}=a_{n}-1&{\text{if }}a_{ n-1}<b_{n-1}{\text{ }}\end{cases}}$

Operace odčítání je tedy redukována na postup sekvenčního prostého odčítání přirozených čísel s případným vytvořením výpůjčky, která se provádí buď tabulkovou metodou, nebo dekrementací (počítáním). ${\displaystyle a_{k}-b_{k))$

Aritmetické operace s čísly v libovolné poziční číselné soustavě se provádějí podle stejných pravidel jako v desítkové soustavě , protože všechny jsou založeny na pravidlech pro provádění operací s odpovídajícími polynomy . V tomto případě je třeba použít odčítací tabulku odpovídající danému základu číselné soustavy. $P$

Příklad odečítání přirozených čísel v binárních , desítkových a hexadecimálních číselných soustavách, pro usnadnění jsou čísla psána pod sebou podle číslic, nahoře je znaménko výpůjčky, chybějící číslice jsou doplněny nulami:

{\begin{array}{cccccccc}&.&.&_{10}&&.&_{10}\\&1&1&0&1&1&0\\-&0&1&1&1&0&1\\\hline &&1&1&0&0&1\end{array));\quad \quad \begin{array}{cccccc}&.&_{10}&\\&8&4&5&6&7\\-&3&7&5&4&1\\\hline &4&7&0&2&6\end{array));\quad \quad {\begin{array}{cccccc}&.&_ {10}&&&_{.}&_{10}\\&C&5&6&D&E&4\\-&0&F&2&A&1&F\\\hline &B&6&4&3&C&5\end{array}}.

Celá čísla

Množina celých čísel je rozšířením množiny přirozených čísel , získaných sečtením záporných čísel [6] tvaru . Množina celých čísel se značí Aritmetické operace na celých číslech jsou definovány jako spojité pokračování odpovídajících operací s přirozenými čísly. $\mathbb {N}$ $-n$ $\mathbb{Z}.$

Přítomnost záporných čísel nám umožňuje považovat (a definovat) "odčítání" jako druh "sčítání" - sčítání se záporným číslem . „Odčítání“ však budeme v rámci tohoto článku považovat za operaci definovanou na množině celých čísel, to platí i pro následující číselné množiny. Rozdíl od přirozených čísel je v tom, že záporná čísla na číselné ose směřují opačným směrem, což poněkud mění postup odčítání. Je třeba vzít v úvahu vzájemný směr čísel, zde je možných několik případů:

Pokud jsou oba argumenty kladné, pak: $c=ab;$
Pokud je jeden z argumentů záporný, pak buď $c=-ab=-(a+b),$ $c=a-(-b)=a+b;$
Pokud jsou oba argumenty záporné, pak: $c=(-a)-(-b)=-a+b=ba.$

Zde a níže je také použit bitový algoritmus odčítání (sčítání). Zvažte například výraz: ; protože čísla a mají různá znaménka, dáme mínus ze závorek: , dalším počítáním dostaneme odpověď: . $-6-4=-10$ $-6$ $čtyři$ $-6-4=-(6+4)$ $-deset$

Racionální čísla

Množina racionálních čísel se označuje (z anglického kvocientu „soukromá“) a lze ji zapsat v tomto tvaru: $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Q}}=\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in {\mathbb {Z}},n\in {\mathbb {N}}\right\}.$

Chcete-li odečíst racionální čísla ve formě obyčejných (nebo jednoduchých) zlomků ve tvaru: , měla by být převedena (přenesena) na společného (identického) jmenovatele . Vezměme například součin jmenovatelů, zatímco čitatele vynásobíme odpovídajícími jmenovateli. Poté odečtěte výsledné čitatele a součin jmenovatelů se stane společným. $\pm {\frac {m}{n}}$

Pokud jsou dána dvě racionální čísla a taková, že: (neredukovatelné zlomky), pak: $A$ $b$ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_ {a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0$

c=ab={\frac {m_{a}}{n_{a}}}-{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\ cdot n_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}-{\frac {n_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}={ \frac {m_{a}\cdot n_{b}-m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}.

[7]

Nebo můžete najít nejmenší společný násobek (LCM) jmenovatelů. Postup:

Najděte nejmenší společný násobek jmenovatelů: . $M=[n_{a},n_{b}]$
Vynásobte čitatele a jmenovatele prvního zlomku číslem . ${\displaystyle {\frac {M}{n_{a))))$
Vynásobte čitatele a jmenovatele druhého zlomku číslem . ${\displaystyle {\frac {M}{n_{b))))$

Poté jsou jmenovatelé obou zlomků stejní (rovní se ). V řadě jednoduchých případů to zjednodušuje výpočty, ale v případě velkých čísel se výpočty výrazně zkomplikují. Můžete vzít jako jakýkoli jiný společný násobek. $M$ $M$

Příklad odčítání:

{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 5}}-{\frac {3\cdot 1 }{3\cdot 5}}={\frac {2\cdot 5-3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {10-3}{15}}={\frac {7} {patnáct}}.

Pokud jsou jmenovatelé obou zlomků stejní, pak:

{\frac {1}{4}}-{\frac {2}{4}}={\frac {1-2}{4}}=-{\frac {1}{4}}.

Pokud jsou jmenovatelé násobky libovolného čísla, převedeme pouze jeden zlomek:

{\frac {3}{8}}-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{8}}-{\frac {1\cdot 2}{4\cdot 2 ))={\frac {3-1\cdot 2}{8}}={\frac {1}{8}}.

Aritmetická operace „odčítání“ nad racionálními čísly se týká uzavřených operací.

Reálná čísla

Aritmetické operace na reálných číslech reprezentovaných nekonečnými desetinnými zlomky jsou definovány jako spojité pokračování [8] odpovídajících operací s racionálními čísly.

Jsou dána dvě reálná čísla, která mohou být reprezentována jako nekonečná desetinná místa :

{\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\))

{\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\))

definovaných základními posloupnostmi racionálních čísel (splňujících Cauchyovu podmínku ), označenými jako: a , pak jejich rozdíl je číslo definované rozdílem posloupností a : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha -\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]-[b_{n}]=[a_{n}-b_{n}]

;

reálné číslo , splňuje následující podmínku: $\gamma =\alpha -\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Šipka doprava (a'-b'\leqslant \alpha -\beta \leqslant a''-b'')\Šípka doprava (a'-b'\leqslant \gamma \leqslant a'' -b'')

Rozdíl dvou reálných čísel je tedy takové reálné číslo , které je obsaženo mezi všemi rozdíly tvaru na jedné straně a všemi rozdíly tvaru na straně druhé [9] . $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $a'-b'$ $a''-b''$

V praxi je pro odečtení dvou čísel a nutné je s požadovanou přesností nahradit přibližnými racionálními čísly a . Pro přibližnou hodnotu rozdílu čísel vezměte rozdíl uvedených racionálních čísel . Je přitom jedno, z jaké strany (nedostatkem nebo nadbytkem) se převzatá racionální čísla aproximují a . Sčítání se provádí podle algoritmu bitového sčítání. $\alpha$ $\beta$ $A$ $b$ $\alpha -\beta$ $ab$ $\alpha$ $\beta$

Při odečítání přibližných čísel se jejich absolutní chyby sčítají , absolutní chyba čísla je rovna polovině poslední číslice tohoto čísla. Relativní chyba rozdílu leží mezi největší a nejmenší hodnotou relativních chyb argumentů; v praxi se bere největší hodnota . Získaný výsledek se zaokrouhlí nahoru na první správnou platnou číslici, platná číslice přibližného čísla je správná, pokud absolutní chyba čísla nepřesahuje polovinu jednotky číslice odpovídající této číslici. $\Delta (ab)=\Delta a+\Delta b$ $\delta (ab)=\max(\delta a,\delta b)$

Příklad odčítání , až na 3 desetinná místa: $\gamma =\pi -e$

Tato čísla zaokrouhlíme na 4 desetinné místo (pro zlepšení přesnosti výpočtů);
Dostáváme: ; $\pi \cca 3,1416,\quad e\cca 2,7183$
Odečíst bit po bitu: ; $\gamma =\pi -e\cca 3,1416-2,7183\cca 0,4233$
Zaokrouhlování na 3. desetinné místo: . $\gamma \cca 0,423$

Rozvrh

Na množině reálných čísel má rozsah funkce odčítání graficky tvar roviny procházející počátkem a nakloněné k osám o 45° úhlových stupňů .

Protože , pak pro tyto množiny bude rozsah funkce odečítání patřit do této roviny. $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

Komplexní čísla

Množina komplexních čísel s aritmetickými operacemi je pole a obvykle se označuje symbolem . $\mathbb {C}$

Komplexní čísla se od sebe odečítají odečítáním reálné a imaginární části [10] . Znamená to, že:

c+fi=(a+di)-(b+ei)=(ab)+(de)i,\

Kde: , je imaginární jednotka . Pomocí reprezentace komplexních čísel jako vektorů v komplexní rovině můžeme dát odečítání komplexních čísel následující geometrickou interpretaci : rozdíl mezi komplexními čísly a , reprezentovaný vektory v komplexní rovině, bude vektor spojující konce redukovaný vektor a vektor, který se má odečíst a nasměrovat od odečteného k redukovanému, jsou to rozdílové vektory a podle toho i rozdíl komplexních čísel (bude to podobné, když přidáte vektor inverzní k odečítanému vektoru k redukovanému vektor). $c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R}$ $i$ $a+di$ $b+ei$

Podobně pro komplexní čísla n-té dimenze : $A=a_{1}1+a_{2}i_{2}+\tečky +a_{n}i_{n},~~~B=b_{1}1+b_{2}i_{2 }+\tečky +b_{n}i_{n};$ $C=AB=(a_{1}1+a_{2}i_{2}+\tečky +a_{n}i_{n})-(b_{1}1+b_{2}i_{2 }+\tečky +b_{n}i_{n})=$ $=(a_{1}-b_{1})1+(a_{2}-b_{2})i_{2}+\tečky +(a_{n}-b_{n})i_{n }=c_{1}1+c_{2}i_{2}+\tečky +c_{n}i_{n}.$

Exponenciální zápis

V exponenciálním zápisu se čísla zapisují jako , kde je mantisa , je charakteristika čísla a je základem číselné soustavy. K odečtení dvou čísel, která jsou zapsána v exponenciální formě, je nutné, aby měla stejné vlastnosti: podle distributivní vlastnosti. ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n))$ $X$ $P^{n}$ $P$ $a\cdot P^{n}-b\cdot P^{n}=(ab)\cdot P^{n},$

Například:

2.3\cdot 10^{-5}-5.67\cdot 10^{-6}=2.34\cdot 10^{-5}-0.567\cdot 10^{-5}=(2.34-0.567)\cdot 10^{-5}=1,773\cdot 10^{-5}

Odečítání libovolných čísel

Při odečítání čísel patřících do různých množin je nutné rozšířit číslo z množiny s menší mocninou směrem k číslu z množiny s větší mocninou, nebo rozšířit obě čísla, dokud se množiny nevyrovnají, pokud taková možnost existuje. Pokud například potřebujete odečíst přirozené číslo od racionálního čísla , pak s využitím skutečnosti, že přirozená čísla jsou podmnožinou racionálních, rozšíříme přirozené číslo na racionální číslo a odečteme dvě racionální čísla . Podobně pomocí toho, že: můžete mezi sebou odečítat čísla z různých množin. $9{,}56$ $čtyři$ $čtyři$ $4{,}00$ $9{,}56-4{,}00=5{,}56$ $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H}$

Funkce výuky odčítání pro školáky

Praxe ukazuje, že je jednodušší naučit školáky počítat rozdíl mezi čísly, než je naučit rozhodovat o použitelnosti operace odčítání v konkrétním problému. Je to dáno tím, že odčítání je na rozdíl např. od sčítání nekomutativní operací, jeho argumenty hrají různé role a situace úloh odčítání, které musí student řešit, jsou výrazně rozmanitější než u sčítání. V tomto ohledu může být pro děti, které vyřešily úlohu odčítání jednoho druhu, obtížné vyřešit úlohu odčítání jiného druhu, a to i se stejnými číselnými údaji. Učitel, který s dítětem pracuje, musí zajistit, aby se jeho žák cítil sebejistě a našel řešení problémů s odčítáním následujících typů:

Typy úkolů	Příklady úloh
Úkoly k nalezení výsledku akce nebo procesu vedoucího ke snížení (výdaji) počáteční částky	Vasya měl 5 jablek, 3 z nich rozdal svým přátelům. Kolik jablek mu zbylo?
Úkoly na porovnávání čísel a hodnot, hledání rozdílu, přebytku, přebytku	Maximální povolená rychlost na silnici je 60 km/h. Po ní jede auto rychlostí 85 km/h. Jak moc řidič překračuje povolenou rychlost?
Úlohy na měření intervalů - časové a prostorové (jako speciální případ předchozího typu úloh)	Ve škole končí vyučování ve 13:05. Nyní je 10 hodin 42 minut. Jak dlouho do konce lekcí?
Úkoly k nalezení neznámé části populace (objemu) jako doplnění známé části.	Ve třídě je 25 žáků. Dva z nich mají zrzavé vlasy, osm kaštanové, šest blond, zbytek jsou brunetky. Kolik brunet je ve třídě?
Problémy při obrácení operace sčítání. Obnova prvního operandu	Máša vložila do prasátka 25 rublů a celkem měla 583 rublů. Kolik peněz měla Máša před tím?
Problémy při obrácení operace sčítání. Obnova druhého operandu	Jedno pero stojí 20 rublů a pero a poznámkový blok stojí 50 rublů. Kolik stojí poznámkový blok?
Problémy pro obrácení operace odčítání. Obnovení druhého operandu (odečteno)	Na stromě sedělo 16 vran. Několik vran odletělo, ale zůstalo jich 5. Kolik vran odletělo?

Viz také

Poznámky

↑ Odečítání // Matematická encyklopedie. Moskva: Sovětská encyklopedie, 1977-1985.
↑ Odečítání na webu PlanetMath .
↑ Lebeděv, 2003 , str. 97.
↑ Tyto vlastnosti se tedy nazývají v učebnicích pro základní ročníky
↑ Istomina, 2005 , str. 165.
↑ Vygodsky, 2003 .
↑ Gusev, 1988 , s. dvacet.
↑ Protože vztah lineárního řádu již byl zaveden na množině reálných čísel, můžeme definovat topologii reálné čáry: jako otevřené množiny bereme všechny možné svazy intervalů tvaru $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Ilyin, 1985 , str. 46.
↑ Conway, 1986 , str. 107.

Literatura

Ilyin V.A. atd. Matematická analýza. Počáteční kurz. (neopr.) . - Moskevská státní univerzita, 1985. - T. 1. - 662 s.
Enderton G. Prvky teorie množin. - Gulf Professional Publishing, 1977. - 279 s. — ISBN 0-12-238440-7 .
Barsukov A.N. Algebra. Učebnice pro ročníky 6.–8. (neopr.) . - Osvěta, 1966. - 296 s.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika. Referenční materiály, kniha pro studenty. (neopr.) . - Osvěta, 1988. - 416 s.
Istomina N.B. Metody vyučování matematice na ZŠ: Vývojové vzdělávání. (neopr.) . - Asociace XXI století, 2005. - 272 s. - ISBN 5-89308-193-5 .
Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky (neopr.) . - M .: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6 .
V A. Igoshin. KURZ ČÍSELNÝCH SYSTÉMŮ PRO PEDAGOGICKOU UNIVERZITU (rus.) : článek. — Saratovská státní univerzita pojmenovaná po N.G. Chernyshevsky, 2010.
Kononyuk A.E. Zobecněná teorie modelování. (neopr.) . - Vzdělávání Ukrajiny, 2012. - Svazek 2. - 548 s. — ISBN 978-966-7599-50-8 .
Pomlčka, minus a pomlčka nebo rysy ruské typografie : [ arch. 24. srpna 2011 ] // Vedení / Artemy Lebedev . - 2003. - § 97 (15. ledna).
Conway, John B. Funkce jedné komplexní proměnné I. - Springer Science, 1986. - 322 s. — ISBN 0-387-90328-3 .