Sférické funkce

Sférické funkce jsou úhlovou částí rodiny ortogonálních řešení Laplaceovy rovnice , zapsané ve sférických souřadnicích . Jsou široce používány ke studiu fyzikálních jevů v prostorových oblastech ohraničených kulovými plochami a při řešení fyzikálních úloh se sférickou symetrií. Sférické funkce mají velký význam v teorii parciálních diferenciálních rovnic a teoretické fyzice , zejména v problémech výpočtu elektronových orbitalů v atomu, gravitačního pole geoidu , magnetického pole planet a intenzity kosmické mikrovlny . záření .

Definice

Sférické funkce jsou vlastní funkce Laplaceova operátoru ve sférickém souřadnicovém systému (zápis ). Tvoří ortonormální systém v prostoru funkcí na kouli v trojrozměrném prostoru: $Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ $\mathbb {S} ^{2}$

\langle Y_{l}^{m};Y_{l}^{m}\rangle =\iint |Y_{l}^{m}|^{2}\sin {\theta }\,d \theta \,d\varphi =1

\langle Y_{l}^{m};Y_{l'}^{m'}\rangle =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^ {\pi }Y_{l'}^{m'*}Y_{l}^{m}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =\delta _{ll'}\delta _ {mm'}

kde * označuje komplexní konjugaci , je Kroneckerův symbol . $\delta _{{ll'}}$

Sférické funkce mají tvar

Y_{l}^{m}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{im\varphi }\Theta _{lm}(\theta )

kde funkce jsou řešením rovnice $\Theta _{{lm}}(\theta)$

{\frac {1}{\sin {\theta ))}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {d\Theta _{lm} }{d\theta }}\right)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}}\Theta _{lm}+l(l+1)\Theta _ {l}^{m}=0

a mít formu

\Theta _{l}^{m}={\sqrt ({\frac {2l+1}{2)){\frac {(lm)!}{(l+m)!)))) P_{l}^{m}(\cos \theta )

Zde jsou související Legendreovy polynomy a je faktoriál . $P_{l}^{m}(\cos \theta)$ $m!$

Přidružené Legendreovy polynomy se záporem jsou zde představeny jako $m$

P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!)}P_{\ ell }^{m}(x)

Řešením Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích je tzv. sférická funkce získaná vynásobením sférické funkce řešením radiální rovnice.

Skutečná podoba

U sférických funkcí je tvar závislosti na úhlu komplexním exponentem. Pomocí Eulerova vzorce lze zavést skutečné sférické funkce. Někdy je jejich použití pohodlnější vzhledem k tomu, že skutečné funkce mohou být na rozdíl od složitých názorně znázorněny na ilustracích. $\varphi$

{\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}\displaystyle {i \over {\sqrt {2))}\left(Y_{\ell }^{m}- (-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\ text{ }}\ m=0\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{ \ell }^{m}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {2}}\,( -1)^{m}\,\jméno operátora {Im} [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^ {0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operatorname {Re} [{Y_{\ell }^ {m}}]&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}

Zpětná konverze:

Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}\displaystyle {1 \over {\sqrt {2))}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell , -|m|}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell 0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {(-1)^ {m} \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m>0. \end{cases}}

Někdy se skutečné sférické funkce nazývají zonální, teserální a sektorové. [1] . Funkce s m > 0 závisí na úhlu jako kosinus a s m < 0 jako sinus.

$Y_{\ell m}={\begin{cases}\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{ (\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}\ P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\mbox{ }}m <0\\\displaystyle {\sqrt {2\ell +1 \over 4\pi }}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\mbox{ }}m=0\\ \displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\mbox{ }}m>0\,.\ end{cases}}$

Zatáčky

Uvažujme rotaci souřadnicového systému o Eulerovy úhly , které transformují jednotkový vektor na vektor . V tomto případě jsou vektorové úhly v novém souřadnicovém systému vyjádřeny jako úhly ve starém souřadnicovém systému následovně ${\mathcal {R}}$ $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ $\mathbf {r}$ ${\mathbf {r} }'$ $\theta ',\varphi '$ ${\mathbf {r} }'$

\cos \theta ^{\prime }=\cos \theta \cos \beta +\sin \theta \sin \beta \cos(\varphi -\alpha )

\operatorname {ctg} \left(\varphi ^{\prime }+\gamma \right)=\operatorname {ctg} (\varphi -\alpha )\cos \beta -{\frac {\operatorname {ctg } \theta \sin \beta }{\sin(\varphi -\alpha )))

V novém souřadnicovém systému bude sférická funkce s indexy a reprezentována jako lineární kombinace všech funkcí se stejným číslem a různými . Koeficienty v lineární kombinaci jsou komplexně konjugované Wignerovy D-matice [2] $\ell$ $m$ $\ell$ $m$

{\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{\ell }^{m}(\theta ', \varphi ')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}Y_ {\ell }^{m'}(\theta ,\varphi),

Očíslované sférické funkce tvoří základ pro neredukovatelné znázornění rozměru rotační grupy SO(3). $\ell$ $(2\ell +1)$

Expanze rovinné vlny z hlediska sférických funkcí

Komplexní exponent může být reprezentován jako expanze ve sférických funkcích

e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{l=0}^{\infty }i^{l}j_{l}(kr)\ součet _{m=-l}^{l}Y_{l}^{m*}\left({\frac {\mathbf {r} }{|r|}}\right)Y_{l}^{m }\left({\frac {\mathbf {k} }{|k|}}\right)

Zde je sférická Besselova funkce $j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)$

Rozklad součinů sférických funkcí

Clebsch-Gordanovy expanze pro součiny dvou sférických funkcí jsou následující [3] :

Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L, M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)))}\langle \ell _{ 1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2 }|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )

Viz také

Seznam sférických funkcí

Poznámky

↑ Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Rovnice matematické fyziky Archivovaná kopie z 27. prosince 2019 na Wayback Machine
↑ M. A. Morrison, G. A. Parker . Průvodce rotací v kvantové mechanice Archivováno 1. října 2019 na Wayback Machine . — Australian Journal of Physics, sv. 40, str. 465, 1987
↑ Varshalovich D. A. , Moskalev A. N., Chersonsky V. K. Kvantová teorie momentu hybnosti. Archivní kopie ze dne 11. listopadu 2007 na Wayback Machine - L .: Nauka, 1975.

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). — Vydání 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek III). - ISBN 5-02-014421-5 . - matematické sčítání

Aplikace

Odkazy

Sférické harmonické aplikované na analýzu akustického pole na výzkumné stránce Trinnov Audio
Spherical Harmonics od Stephena Wolframa a Nodal Domains of Spherical Harmonics od Michaela Trotta, The Wolfram Demonstrations Project
Přístupný úvod do sférických harmonických (od JB Calverta)
Vstup sférických harmonických na Citizendium