Wigner D-matice

$D$ Wignerova matice je maticí neredukovatelné reprezentace skupin SU(2) a SO(3) . Komplexní konjugace -matice je vlastní funkcí Hamiltoniánu sférických a symetrických rigidních rotátorů. Matici představil v roce 1927 Eugene Wigner . $D$

Definice Wignerovy D - matice

Nechť , , jsou generátory Lieových algeber a . V kvantové mechanice jsou tito tři operátoři součástmi vektorového operátoru známého jako moment hybnosti . Příklady jsou hybnost elektronu v atomu, spin elektronu a moment hybnosti tuhého rotátoru. Ve všech případech tyto tři operátory splňují následující komutační vztahy $J_{x}$ $J_{y}$ $J_{z}$ ${\mathrm {SU}} (2)$ ${\mathrm {SO}} (3)$

[J_{x},\;J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},\;J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y} ,\;J_{z}]=iJ_{x},

kde je čistě imaginární číslo a Planckova konstanta byla nastavena rovna jedné. Operátor $i$ $\hbar$

J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}

je Casimir operátor ( nebo , podle okolností). Může být diagonalizován spolu s (Výběr tohoto operátoru je určen konvencí), který komutuje s . To znamená, že lze ukázat, že existuje kompletní sada ketů s ${\mathrm {SU}} (2)$ ${\mathrm {SO}} (3)$ $J_{z}$ $J^{2}$

J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle ,

kde a . Neboť kvantové číslo je celé číslo. $j=0,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\ 2,\ \ldots$ $m=-j,\ -j+1,\ldots ,\ j$ ${\mathrm {SO}} (3)$ $j$

Operátor rotace lze napsat jako

{\mathcal {R}} (\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )=e^{-i\gamma J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e ^{-i\alpha J_{z}},

kde jsou Eulerovy úhly . $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$

$D$ -Wignerova matice je čtvercová matice rozměrů se společným prvkem $2j+1$

D_{m'm}^{j}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R))(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\gamma }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\alpha }.

Matice se společným prvkem

d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle

známá jako malá Wignerova matice. $d$

Seznam prvků d -matice

pro $j=1/2$

$d_{1/2,\;1/2}^{1/2}=\cos(\theta /2)$
$d_{1/2,\;-1/2}^{1/2}=-\sin(\theta /2)$

pro $j=1$

$d_{1,\;1}^{1}={\frac {1+\cos \theta }{2))$
${\displaystyle d_{1,\;0}^{1}={\frac {-\sin \theta }{\sqrt {2))))$
$d_{1,\;-1}^{1}={\frac {1-\cos \theta }{2))$
$d_{0,\;0}^{1}=\cos \theta$

pro $j=3/2$

$d_{3/2,\;3/2}^{3/2}={\frac {1+\cos \theta }{2))\cos {\frac {\theta }{2))$
$d_{3/2,\;1/2}^{3/2}=-{\sqrt {3}}{\frac {1+\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2))$
$d_{3/2,\;-1/2}^{3/2}={\sqrt {3}}{\frac {1-\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2))$
$d_{3/2,\;-3/2}^{3/2}=-{\frac {1-\cos \theta }{2))\sin {\frac {\theta }{2 }}$
$d_{1/2,\;1/2}^{3/2}={\frac {3\cos \theta -1}{2))\cos {\frac {\theta }{2} }$
$d_{1/2,\;-1/2}^{3/2}=-{\frac {3\cos \theta +1}{2))\sin {\frac {\theta }{ 2}}$

pro [1] $j=2$

$d_{2,\;2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}$
$d_{2,\;1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)$
$d_{2,\;0}^{2}={\sqrt {\frac {3}{8))}\sin ^{2}\theta$
$d_{2,\;-1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)$
$d_{2,\;-2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}$
$d_{1,\;1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)$
$d_{1,\;0}^{2}=-{\sqrt {\frac {3}{8))}\sin 2\theta$
$d_{1,\;-1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)$
$d_{0,\;0}^{2}={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)$

Prvky Wignerovy matice s inverzními indexy se nalézají podle následujícího vztahu: $d$

d_{m',\;m}^{j}=(-1)^{mm'}d_{m,\;m'}^{j}=d_{-m,\;-m' }^{j}

Viz také

Clebsch-Gordanovy koeficienty

Poznámky

↑ Edén, M. Počítačové simulace v NMR v pevné fázi. I. Spin dynamics theory (anglicky) // Concepts Magn. Reson. : deník. - 2003. - Sv. 17A , č. 1 . - S. 117-154 . - doi : 10.1002/cmr.a.10061 .