Neredukovatelné zastoupení

Ireducibilní reprezentace algebraické struktury je nenulová reprezentace, která nemá vlastní subreprezentaci uzavřenou v . $(\rho ,V)$ $A$ $(\rho |_{W},W),W\subset V$ $\{\rho (a):a\in A\}$

Jakákoli konečná -dimenzionální unitární reprezentace v hermitovském vektorovém prostoru [1] je přímým součtem neredukovatelných reprezentací. Vzhledem k tomu, že neredukovatelné reprezentace jsou vždy nerozložitelné (to znamená, že je nelze dále rozložit na přímý součet reprezentací), jsou tyto pojmy často zaměňovány. V obecném případě však existuje mnoho redukovatelných, ale nerozložitelných reprezentací, jako je dvourozměrná reprezentace reálných čísel, působící přes horní trojúhelníkové unipotentní matice. $PROTI$

Historie

Teorii skupinové reprezentace zobecnil Richard Brouwer ve 40. letech 20. století a poskytl teorii modulární reprezentace , ve které maticové operace operují na vektorovém prostoru nad polem libovolné charakteristiky , spíše než na vektorovém prostoru nad polem reálných čísel nebo nad obor komplexních čísel . Struktura analogická k neredukovatelné reprezentaci ve výsledné teorii je jednoduchý modul . $K$

Přehled

Dovolit být reprezentace, to je, homomorfismus skupiny , kde je vektorový prostor nad polem . Zvolíme-li základ pro , lze považovat funkci (homomorfismus) ze skupiny na množinu invertibilních matic a v tomto kontextu se reprezentace nazývá maticová reprezentace . Vše je však značně zjednodušeno, pokud uvažujeme prostor bez základu. $\rho$ $\rho :G\to GL(V)$ $G$ $PROTI$ $F$ $B$ $PROTI$ $\rho$ $PROTI$

Lineární podprostor se nazývá -invariantní if for all a all . omezení na -invariantní podprostor je známé jako podreprezentace . Reprezentace je považována za neredukovatelnou , pokud má pouze triviální subreprezentace (všechna reprezentace mohou tvořit subreprezentaci s triviálními -invariantní subreprezentacemi, např. s celým vektorovým prostorem a {0} ). Pokud existuje správný netriviální invariantní podprostor , říká se, že reprezentace je redukovatelná . $W\subset V$ $G$ $\rho (g)w\in W$ $g\in G$ $w\in W$ $\rho$ $G$ $W\subset V$ $\rho :G\to GL(V)$ $G$ $PROTI$ $\rho$

Notace a terminologie pro reprezentace skupiny

Prvky skupiny mohou být reprezentovány maticemi , i když výraz „zastoupený“ má v tomto kontextu specifický a přesný význam. Skupinová reprezentace je zobrazení z prvků skupiny na kompletní lineární skupinu matic. Nechť a , b , c ... označují prvky skupiny G s grupovým součinem, který není reflektován žádným symbolem, tedy ab je grupovým součinem a a b , což je také prvek grupy G. Znázornění označme písmenem D . Reprezentace prvku a se zapisuje jako

D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21 }&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2 }&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}

Podle definice skupinových reprezentací je reprezentace skupinového produktu převedena na násobení reprezentačních matic :

D(ab)=D(a)D(b)

Jestliže e je neutrální prvek skupiny (takže ), pak D ( e ) je matice identity , protože musíme mít $ae=ea=a$

D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)

a totéž pro ostatní prvky skupiny. Poslední dva výroky splňují požadavek, že D je grupový homomorfismus .

Rozložitelné a nerozložitelné reprezentace

Reprezentace je rozložitelná, pokud lze najít podobnou matici P pro transformaci podobnosti [2] :

D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P

který diagonalizuje libovolnou matici v pohledu do diagonálních bloků - každý z bloků je reprezentací skupiny nezávisle na sobě. Reprezentace D ( a ) a D′ ( a ) jsou považovány za ekvivalentní [3] . Reprezentaci lze rozložit na přímý součet k matic :

D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)} (a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1) }(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a)

takže D ( a ) je rozložitelné a obvykle se popisky rozkladových matic zapisují do závorek, jako D ( n ) ( a ) pro n = 1, 2, ..., k , i když někteří autoři píší číselné štítky bez závorek.

Rozměr D ( a ) se rovná součtu rozměrů bloků:

\dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^ {(k)}(a)]

Pokud to není možné, tedy , pak je zobrazení nerozložitelné [2] [4] . $k=1$

Příklady neredukovatelných reprezentací

Triviální reprezentace

Všechny skupiny mají jednorozměrné neredukovatelné triviální zastoupení. Obecněji řečeno, jakákoli jednorozměrná reprezentace je neredukovatelná kvůli absenci řádných netriviálních podprostorů. $G$

Neredukovatelné komplexní reprezentace

Neredukovatelné komplexní reprezentace konečné grupy G lze popsat pomocí výsledků z teorie znaků . Zejména jsou všechny takové reprezentace rozložitelné na přímý součet neredukovatelných reprezentací a počet neredukovatelných reprezentací skupiny se rovná počtu konjugačních tříd [5] . $G$ $G$

Neredukovatelné komplexní reprezentace jsou přesně dány zobrazeními , kde je -tá odmocnina jednoty . $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$ $1\mapsto\gamma$ $\gamma$ $n$

Dovolit být -rozměrná komplexní reprezentace se základem . Pak se rozkládá jako přímý součet neredukovatelných reprezentací $PROTI$ $n$ $S_{n}$ ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n))$ $PROTI$

V_{triv}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)

a ortogonální podprostor je dán vzorcem:

V_{std}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i =1}^{n}a_{i}=0\right\}

První neredukovatelná reprezentace je jednorozměrná a izomorfní k triviální reprezentaci . Druhá je rozměrová a je známá jako standardní zobrazení [5] .

S_{n}

n-1

S_{n}

Buďme skupinou. Regulární reprezentace grupy je volný komplexní vektorový prostor se základem se skupinovou akcí , označovaný jako Všechny neredukovatelné reprezentace se objevují v expanzi jako přímý součet ireducibilních reprezentací. $G$ $G$ $\{e_{g}\}_{g\in G}$ $g\cdot e_{g'}=e_{gg'}$ $\mathbb {C} G.$ $G$ $\mathbb {C} G$

Aplikace v teoretické fyzice a chemii

V kvantové mechanice a kvantové chemii , každý soubor degenerovaných eigenstates Hamiltonian operátora představuje vektorový prostor V reprezentovat skupinu symetrie Hamiltonian, “multiplet”, který je nejlépe studován přes redukci na neredukovatelné části. Notace neredukovatelné reprezentace vám proto umožňuje přiřadit štítky stavům a předvídat, jak se rozdělí , když budou nebo přejdou do jiného stavu ve V . V kvantové mechanice tedy neredukovatelné reprezentace skupiny symetrie systému částečně nebo úplně určují štítky pro energetické hladiny systému, což umožňuje stanovit pravidla výběru [6] .

Skupiny lži

Lorentzova skupina

Neredukovatelné reprezentace D ( K ) a D ( J ) , kde J je generátor rotace a K je generátor zesílení , lze použít ke konstrukci spinorové reprezentace Lorentzovy skupiny , protože souvisí se spinovými maticemi kvantové mechaniky . To umožňuje jejich použití k odvození relativistických vlnových rovnic [7] .

Viz také

Asociativní algebra

jednoduchý modul
Nerozložitelný modul
Reprezentace asociativní algebry

Skupiny lži

Reprezentace lži algebry
Teorie reprezentace skupin SU(2)
Teorie reprezentace skupin SL2(R)
Teorie reprezentace Galileovy grupy
Teorie reprezentace grupových difeomorfismů
Teorie reprezentace Poincarého grupy
Věta o vyšší hmotnosti

Poznámky

↑ Definice Konečně-dimenzionální vektorový prostor nad polem C vybavený pozitivně definitní hermitovskou formou se nazývá hermitovský prostor ( Nikitin 2010 ), ( Timofeeva 2017 )
↑ 12 Wigner , 1959 , s. 73.
↑ Tung, 1985 , str. 32.
↑ Tung, 1985 , str. 33.
↑ 12 Serre , 1977 .
↑ A Dictionary of Chemistry, Answers.com . Oxfordský slovník chemie. Získáno 20. března 2019. Archivováno z originálu dne 3. března 2016. (neurčitý)
↑ Jaroszewicz, Kurzepa, 1992 , str. 226–267.

Literatura

N.D. Nikitin. ALGEBRA A TEORIE ČÍSEL. — Penza, 2010.
N. V. Timofeeva. Lineární algebra. Moderní algebra. Část 2. - Jaroslavl: YarSU, 2017. - S. 52. - ISBN 978-5-8397-1118-1 .
Wigner EP teorie grup a její aplikace na kvantovou mechaniku atomových spekter. - Akademický tisk, 1959. - (Čistá a aplikovaná fyzika).
Tung W.K. Teorie grup ve fyzice . - World Scientific, 1985. - ISBN 978-997-1966-560 .
Jean-Pierre Serre. Lineární zobrazení konečných grup . - Springer-Verlag, 1977. - ISBN 978-0387901909 .
Tung W.K. Teorie grup ve fyzice . - World Scientific, 1985. - S. 32. - ISBN 978-997-1966-560 .
T. Jaroszewicz, PS Kurzepa. Geometrie časoprostorového šíření rotujících částic // Annals of Physics. - 1992. - T. 216 , čís. 2 . — S. 226–267 . - doi : 10.1016/0003-4916(92)90176-M . — .

Knihy

H. Weyl . Teorie grup a kvantová mechanika . - Courier Dover Publications, 1950. - S. 203. - ISBN 978048660269.
Boardman AD, O'Conner DE, Young PA Symmetry a její aplikace ve vědě. - McGraw Hill, 1973. - ISBN 978-0-07-084011-9 .
Heine V. Teorie grup v kvantové mechanice: úvod k jejímu současnému použití . - Dover, 2007. - ISBN 978-0-07-084011-9 .
Heine V. Teorie grup v kvantové mechanice: Úvod do jejího současného použití . - Courier Dover Publications, 1993. - ISBN 978-048-6675-855 .

Abers E. Kvantová mechanika. - Addison Wesley, 2004. - S. 425. - ISBN 978-0-13-146100-0 .
Martin BR, Shaw G. Částicová fyzika. — 3. — Manchester Physics Series, John Wiley & Sons. - S. 3. - ISBN 978-0-470-03294-7 .
Weinberg S. Kvantová teorie polí. - Cambridge University Press, 1995. - V. 1. - S. 230-231. - ISBN 978-0-521-55001-7 .
Weinberg S. Kvantová teorie polí. - Cambridge university Press, 1996. - V. 2. - ISBN 978-0-521-55002-4 .
Weinberg S. Kvantová teorie polí. - Cambridge university Press, 2000. - V. 3. - ISBN 978-0-521-66000-6 .
Penrose R. Cesta k realitě. - Vintage knihy, 2007. - ISBN 978-0-679-77631-4 .
Atkins PW Molekulární kvantová mechanika (části 1 a 2): Úvod do kvantové chemie. - Oxford University Press, 1970. - V. 1. - S. 125-126. - ISBN 978-0-19-855129-4 .

Články

Bargmann V., Wigner EP skupinová teoretická diskuse o relativistických vlnových rovnicích // Proc. Natl. Akad. sci. USA. - 1948. - T. 34 , čís. 5 . — S. 211–23 . - doi : 10.1073/pnas.34.5.211 . - . — PMID 16578292 .
Wigner E. O jednotných reprezentacích nehomogenní Lorentzovy skupiny // Annals of Mathematics. - 1937. - T. 40 , č. 1 . - S. 149 . - doi : 10.2307/1968551 . — . — .

Čtení pro další čtení

Artin, Michael Nekomutativní prsteny (1999). Získáno 20. března 2019. Archivováno z originálu dne 24. února 2021. (neurčitý)

Odkazy

Komise pro matematickou a teoretickou krystalografii, Letní školy matematické krystalografie . Získáno 20. března 2019. Archivováno z originálu 4. srpna 2016. (neurčitý)
van Beveren, Eef Několik poznámek k teorii grup (odkaz není k dispozici) (2012). Získáno 20. března 2019. Archivováno z originálu 20. května 2011. (neurčitý)
Teleman, Constantin Representation Theory (2005). Získáno 20. března 2019. Archivováno z originálu 21. září 2019. (neurčitý)
Finley Několik poznámek k Young Tableaux jako užitečné pro irps of su(n) . (neurčitý) (nedostupný odkaz)
Hunt Irredducible Representation (IR) Symmetry Labels (2008). Získáno 20. března 2019. Archivováno z originálu 15. února 2020. (neurčitý)
Dermisek, Radovan Representations of Lorentz Group (nedostupný odkaz) (2008). Získáno 20. března 2019. Archivováno z originálu 23. listopadu 2018. (neurčitý)
Maciejko, Joseph Representations of Lorentz and Poincaré groups (2007). Získáno 20. března 2019. Archivováno z originálu 25. října 2017. (neurčitý)
Woit, Peter Kvantová mechanika pro matematiky: Reprezentace skupiny Lorentz (2015). Získáno 20. března 2019. Archivováno z originálu dne 30. března 2019. (neurčitý) , viz kapitola 40
Drake, Kyle; Feinberg, Michael; Cech, David; Turetsky, Emma Reprezentace skupiny symetrie časoprostoru (2009). Získáno 20. března 2019. Archivováno z originálu 29. srpna 2017. (neurčitý)
Finley Lieova algebra pro skupiny Poincaré a Lorentz (odkaz nepřístupný) . Archivováno z originálu 17. června 2012. (neurčitý)
Bekaert, Xavier & Boulanger, Niclas (2006), Unitární reprezentace skupiny Poincaré v jakékoli dimenzi časoprostoru, arΧiv : hep-th/0611263 .
McGraw-Hill slovník vědeckých a technických termínů . Získáno 20. března 2019. Archivováno z originálu dne 3. března 2016. (neurčitý)

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Kleinová čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko skupiny J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace