Nilpotentní prvek

Nilpotentní prvek je prvkem prstenu , jehož určitá síla mizí.

Zvažování nilpotentních prvků se často ukazuje jako užitečné v algebraické geometrii , protože umožňují získat čistě algebraické analogy řady pojmů typických pro analýzu a diferenciální geometrii ( nekonečně malé deformace atd.).

Termín zavedl Benjamin Pierce ve své práci o klasifikaci algeber [1] .

Definice

Prvek x kruhu R je považován za nilpotentní , pokud existuje kladné celé číslo n takové, že [2] . $x^{n}=0$

Minimální hodnota , pro kterou platí tato rovnost, se nazývá index nilpotence prvku . $n$ $A$

Příklady

Tato definice může být aplikována zejména na čtvercové matice . Matice

A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

je nilpotentní, protože . Více podrobností v článku Nilpotentní matrice .

A^{3}=0

V kvocientovém kruhu Z / 9Z je třída ekvivalence 3 nulpotentní , protože 3 2 je shodné s 0 modulo 9.
Předpokládejme, že dva prvky aab v kruhu R splňují podmínku . Pak je prvek nilpotentní, protože . Příklad pro matice ( jako aab ) : $ab=0$ $c=ba$ $c^{2}=(ba)^{2}=b(ab)a=0$

A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix)),\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix)).

Zde .

AB=0,BA=B

Prstenec split-quaternion obsahuje kužel nilpotentních prvků.

Podle definice je jakýkoli prvek nil- pologrupy nilpotentní.

Vlastnosti

Žádný nilpotentní prvek nemůže být invertibilní (kromě triviálního prstence {0}, který má jediný prvek 0 = 1 ). Všechny nenulové nilpotentní prvky jsou nulové dělitele .

Matice nxn A s prvky z pole je nilpotentní právě tehdy, když je její charakteristický polynom . $t^{n}$

Pokud je prvek x nilpotentní, pak je to invertibilní prvek, protože to vyplývá z: $1-x$ $x^{n}=0$ $(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.$

Obecněji, součet invertibilního prvku a nilpotentního prvku je invertibilním prvkem, pokud dojíždějí.

Komutativní kroužky

Nilpotentní prvky komutativního prstence tvoří ideál , který je důsledkem Newtonova binomu . Tento ideál je nilradikálem prstenu. Jakýkoli nilpotentní prvek v komutativním prstenu je obsažen v jakémkoli primárním ideálu tohoto prstenu, protože . Je tedy obsažen v průsečíku všech hlavních ideálů. $R$ ${\mathfrak {N}}$ $X$ $\mathfrak{p}$ $x^{n}=0\in {\mathfrak {p))$ ${\mathfrak {N}}$

Pokud prvek není nilpotentní, můžeme lokalizovat pomocí mocnin : a získat nenulový kruh . Prvotní ideály lokalizovaného prstence přesně odpovídají těmto primárním ideálům prstence c [3] . Protože jakýkoli nenulový komutativní kruh má maximální ideál , který je prvočíslo, žádný nenilpotentní prvek není obsažen v nějakém prvočíslu. Pak je přesně průsečík všech prvočísel [4] . $X$ $X$ $S=\{1,x,x^{2},...\}$ $S^{-1}R$ $\mathfrak{p}$ $R$ ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$ $X$ ${\mathfrak {N}}$

Charakteristika podobná Jacobsonovu radikálu a anihilaci primárních modulů je dostupná pro nilradikál - nilpotentní prvky kruhu R jsou přesně ty, které anihilují všechny domény integrity do kruhu R. Vyplývá to ze skutečnosti, že nulový radikál je průsečíkem všech prvotních ideálů.

Nilpotentní prvky algebry lži

Nechť je Lie Algebra . Pak se prvek nazývá nilpotentní, pokud je v a je nilpotentní transformací. Viz také Jordanův rozklad v Lie algebře . $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ $\operatorname {ad} x$

Nilpotence ve fyzice

Operand Q , který podmínku splňuje, je nilpotentní. Grassmannova čísla , která umožňují reprezentaci fermionových polí pomocí dráhových integrálů , jsou nilpotentní, protože jejich čtverec mizí. Náboj BRST je důležitým příkladem ve fyzice . $Q^{2}=0$

Lineární operátory tvoří asociativní algebru a poté kruh, to je speciální případ původní definice [5] [6] . Obecněji, vezmeme-li v úvahu výše uvedené definice, operátor Q je nilpotent, pokud existuje takový, že (nulová funkce). Pak je lineární zobrazení nilpotentní právě tehdy, když má na nějaké bázi nilpotentní matici. Dalším příkladem je vnější derivace (opět s ). Oba příklady jsou propojeny supersymetrií a Morseovou teorií [7] , jak ukazuje Edward Witten v uznávaném článku [8] . $n\in \mathbb {N}$ $Q^{n}=0$ $n=2$

Elektromagnetické pole rovinné vlny bez zdrojů je nilpotentní, pokud je vyjádřeno v termínech algebry fyzického prostoru [9] . Obecněji řečeno, technika mikroaditivity používá nilpotentní infinitesimály a je součástí hladké infinitesimální analýzy .

Algebraické nilpotenty

Dvourozměrná duální čísla obsahují nilpotentní prostor. Mezi další algebry a čísla, které obsahují nilpotentní prostory, patří rozdělené kvaterniony (coquaternions), rozdělené oktaniony , biquaterniony a komplexní oktaniony . $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ $\mathbb {C} \otimes \mathbb {O}$

Viz také

Idempotentní prvek
Unipotentní prvek
Zmenšený prsten
Nil-ideal

Poznámky

↑ Milies, Sehgal, 2002 , str. 127.
↑ Encyklopedie matematiky, 1977-1985 .
↑ Matsumura, 1970 , s. 6.
↑ Atiyah, MacDonald, 1994 , s. 5.
↑ Peirce, 1870 .
↑ Milies, Sehgal, 2002 .
↑ Rogers, 2000 , str. 3703–3714.
↑ Witten, 1982 , str. 661–692.
↑ Rowlands, 2007 .

Literatura

Matematická encyklopedie / I. M. Vinogradov. - M .: Sovětská encyklopedie, 1977-1985.

Cesar Polcino Milies, Sudarshan R. Sehgal. Úvod do skupinových kroužků. - Dordrecht, Boston, Londýn: Kluwer Academic Publishers, 2002. - ISBN 978-1-4020-0238-0 .
Hideyuki Matsumura. Kapitola 1: Elementární výsledky // Komutativní algebra. - W. A. Benjamin, 1970. - ISBN 978-0-805-37025-6 .
Atiyah MF, MacDonald IG Kapitola 1: Prsteny a ideály // Úvod do komutativní algebry. - Westview Press, 1994. - ISBN 978-0-201-40751-8 .
- Atiyah M., McDonald I. Úvod do komutativní algebry. - Moskva: Mir, 1972.
Peirce B. Lineární asociativní algebra. — 1870.
A. Rogers. Topologická částice a Morseova teorie // Třída. Quantum Grav. - 2000. - Vydání. 17 . - doi : 10.1088/0264-9381/17/18/309 .
E. Witten. Supersymetrie a Morseova teorie // J.Diff.Geom. - 1982. - Vydání. 17 .
Rowlands P. Zero to Infinity: The Foundations of Physics. - London: World Scientific, 2007. - ISBN 978-981-270-914-1 .