Formulace kvantové teorie z hlediska dráhových integrálů

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 2. března 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Dráhová integrální formulace kvantové mechaniky je popisem kvantové teorie, která zobecňuje princip fungování klasické mechaniky . Nahrazuje klasickou definici jediné, jedinečné systémové trajektorie úplným součtem (funkčním integrálem) přes nekonečnou sadu možných trajektorií pro výpočet kvantové amplitudy. Metodologicky se formulace z hlediska dráhového integrálu blíží Huygens-Fresnelově principu z klasické vlnové teorie .

Formulace integrálu cesty byla vyvinuta v roce 1948 Richardem Feynmanem . Některé předběžné body byly vyvinuty dříve při psaní své disertační práce pod vedením Johna Archibalda Wheelera .

Tato formulace byla klíčová pro následující vývoj teoretické fyziky , protože je jasně symetrická v čase a prostoru (Lorentzova kovarianta). Na rozdíl od předchozích metod umožňuje dráhový integrál fyzikovi snadno se pohybovat z jedné souřadnice na druhou v kanonickém popisu stejného kvantového systému.

Cestovní integrál platí také pro kvantové a stochastické procesy a poskytl základ pro velkou syntézu ze 70. let, která kombinovala kvantovou teorii pole se statistickou teorií fluktuací pole blízko fázových přechodů druhého řádu . V tomto případě je Schrödingerova rovnice difúzní rovnicí s imaginárním difúzním koeficientem a dráhový integrál je analytickým pokračováním metody sčítání všech možných cest. Z tohoto důvodu byly dráhové integrály použity ke studiu Brownova pohybu a difúze o něco dříve, než byly zavedeny do kvantové mechaniky [1] .

Nedávno byla definice dráhových integrálů rozšířena tak, že kromě Brownova pohybu mohou popisovat i Levyho lety . Formulace v podmínkách integrálů Lévyho cesty vede ke zlomkové kvantové mechanice a zlomkovému rozšíření Schrödingerovy rovnice [2] .

Kvantový princip akce

V tradiční kvantové mechanice je Hamiltonián generátorem nekonečně malých (nekonečně malých) časových překladů (například v prostoru stavů kvantově mechanického systému). To znamená, že stav po nekonečně malém čase se liší od stavu v daném časovém okamžiku o hodnotu rovnou součinu působením Hamiltonova operátoru na tento stav. Pro stavy s určitou energií to vyjadřuje de Broglieho vztah mezi frekvencí a energií a obecný vztah je s ním v souladu s přihlédnutím k principu superpozice . $dt$ $-i$ $dt$

Ale Hamiltonian v klasické mechanice je odvozen z Lagrangian , který je více základní veličina podle speciální teorie relativity . Hamiltonián popisuje vývoj systému v čase, ale myšlenka času se mění při přechodu z jednoho referenčního rámce do druhého. Hamiltonián je tedy odlišný pro různé vztažné soustavy a v počáteční formulaci kvantové mechaniky není jeho Lorentzova invariance zřejmá.

Hamiltonián je funkcí souřadnic a hybnosti a z něj se určují souřadnice a hybnost v pozdějším časovém okamžiku. Lagrangian je funkcí souřadnic nyní a souřadnic o něco později (nebo ekvivalentně pro nekonečně malé časové intervaly je funkcí souřadnic a rychlosti). První a druhý jsou spojeny Legendreovou transformací a podmínkou, která definuje klasické pohybové rovnice, je podmínka minimální akce .

V kvantové mechanice je Legendreova transformace obtížně interpretovatelná, protože pohyb nesleduje určitou cestu. V klasické mechanice s časovou diskretizací

\varepsilon H=p{\big (}q(t+\varepsilon )-q(t){\big )}-\varepsilon L,

p={\frac {\partial L}{\partial {\tečka {q)))),

kde parciální derivace vzhledem k q ponechává q ( t + ε ) pevné. Inverzní Legendreova transformace:

\varepsilon L=p\varepsilon {\dot {q}}-\varepsilon H,

kde

{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p)),

a parciální derivace je nyní vzata s ohledem na p s q pevným .

V kvantové mechanice je stav superpozicí různých stavů s různými hodnotami q nebo různými hodnotami p a veličiny p a q lze interpretovat jako operátory bez dojíždění. Operátor p má určitou hodnotu pouze ve stavech, které nemají určité q . Pak si představíme dva stavy oddělené v čase a působíme na ně operátorem odpovídajícím Lagrangianu:

e^{i[p\{q(t+\varepsilon )-q(t)\}-\varepsilon H(p,q)]}.

Pokud jsou operace násobení v tomto vzorci považovány za násobení operátorů (nebo jejich matic), znamená to, že první faktor

e^{-ipq(t)}

a součet přes všechny stavy je integrován přes všechny hodnoty q ( t ) - je tedy provedena Fourierova transformace na proměnnou p ( t ). Tato akce se provádí na Hilbertově prostoru - přechod do proměnné p ( t ) v čase t .

Následuje násobitel

e^{-i\varepsilon H(p,q)},

popisující vývoj systému v nekonečně malém časovém intervalu.

A poslední násobitel v této interpretaci:

e^{ipq(t+\varepsilon )},

vyvolání změny báze zpět na q ( t ), ale později.

To se příliš neliší od obvyklé evoluce v čase: H obsahuje všechny dynamické informace – posouvá stav dopředu v čase. První a poslední část tvoří Fourierovu transformaci na střední proměnnou p ( t ) a zpět.

Hamiltonián je funkcí p a q , takže vystavení této veličiny a změna základu z p na q v každém kroku umožňuje vyjádřit prvek matice H jako jednoduchou funkci podél každé cesty. Tato funkce je kvantovou analogií klasické akce. Toto pozorování poprvé provedl Dirac .

Dirac později poznamenal, že je možné vzít druhou mocninu operátoru evoluce v S - reprezentaci:

e^{i\varepsilon S},

čímž se získá operátor evoluce od času t do času t + 2ε. Zatímco v H- reprezentaci je hodnota, která se sčítá přes mezistavy, nezřejmým prvkem matice, v S - reprezentaci je spojena s cestou. V limitu velkého stupně tohoto operátoru rekonstruuje kompletní vývoj mezi dvěma stavy: raným, který odpovídá pevným hodnotám souřadnic q (0), a pozdním, s pevným q ( t ). Výsledkem je součet po drahách, přičemž fází je kvantová akce.

Feynmanova interpretace

Diracova práce neposkytla přesný algoritmus pro výpočet součtů cest a neukázala, jak lze z tohoto přístupu odvodit Schrödingerovu rovnici nebo kanonické komutační vztahy. To udělal Feynman.

Feynman ukázal, že diracovské akční kvantum se ve většině zajímavých případů prostě rovná klasické akci, vhodně diskretizované. To znamená, že klasická akce je fáze probíhající v kvantové evoluci mezi dvěma pevnými koncovými body. Navrhl odvodit veškerou kvantovou mechaniku z následujících postulátů:

Pravděpodobnost události se získá jako druhá mocnina modulu komplexního čísla zvaného „amplituda“.
Amplituda se získá sečtením příspěvků všech historií v konfiguračním prostoru.
Příspěvek historie k amplitudě je úměrný , kde je Planckova konstanta , kterou lze nastavit rovnou jednotě výběrem systému jednotek, zatímco S je působení této historie dané časovým integrálem Lagrangianu podél odpovídající cesta. $e^{{iS/\hbar }}$ $\hbar$

Abychom našli celkovou pravděpodobnost amplitudy pro daný proces, musíme sečíst nebo integrovat amplitudu přes prostor všech možných historií systému mezi počátečním a konečným stavem, včetně historií, které jsou podle klasických standardů absurdní (například částice rychlosti na trajektoriích mohou překročit rychlost světla). Při výpočtu amplitudy jedné částice, která se za daný čas přesune z jednoho místa na druhé, je nutné zahrnout příběhy, ve kterých částice popisuje podivný vzorec, ve kterém částice "letí do vesmíru" a letí zpět, a tak na. Cestovní integrál považuje všechny tyto amplitudy příběhu za stejné co do velikosti (modulu), ale různé ve fázi (argument komplexního čísla). Příspěvky, které se podstatně liší od klasické historie, jsou potlačeny pouze zásahem do příspěvků z podobných dějin s opačnou fází (viz níže).

Feynman ukázal, že tato formulace kvantové mechaniky je ekvivalentní kanonickému přístupu ke kvantové mechanice, kdy je hamiltonián kvadratický v hybnosti. Amplituda vypočítaná podle Feynmanových principů také generuje Schrödingerovu rovnici pro Hamiltonián odpovídající danému ději.

Klasické principy jednání vedou k obtížím kvůli své idealitě: namísto předpovídání budoucnosti z počátečních podmínek předpovídají cestu k dané budoucnosti prostřednictvím kombinace počátečních a konečných podmínek, jako by systém nějak věděl, jaký by měl být stav. dovnitř přijít. Dráhový integrál vysvětluje klasický princip akce v podmínkách kvantové superpozice. Systém nemusí předem vědět, kam jde – dráhový integrál jednoduše vypočítá amplitudu pravděpodobnosti pro daný proces a trajektorie se ubírá všemi možnými směry. Po dostatečně dlouhé době však interferenční efekty zajistí, že pouze příspěvky ze stacionárních akčních bodů poskytují příběhy se smysluplnou pravděpodobností. Stacionární body působení odpovídají klasickým trajektoriím, takže systém se pohybuje v průměru po klasické dráze.

Přesné znění

Feynmanovy postuláty lze interpretovat následovně:

Časové krájení

Pro částici s hladkým potenciálem je dráhový integrál, který je v jednorozměrném případě součinem obyčejných integrálů, aproximován klikatými cestami. Když se částice přesune z polohy v určitém časovém okamžiku do bodu v , lze časovou sekvenci rozdělit na n malých segmentů s pevnou dobou trvání (jeden zbývající segment lze zanedbat, protože limit je nakonec uvažován ). Tento proces se nazývá časové krájení. ${\displaystyle x=x_{a))$ ${\displaystyle t=t_{a))$ ${\displaystyle x=x_{b))$ ${\displaystyle t=t_{b))$ ${\displaystyle t_{a}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}<t_{b))$ $t_{j}-t_{j-1},\ j=1,\tečky ,n$ $\varepsilon \equiv \Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}$ $n\to \infty$

Aproximace pro dráhový integrál je úměrná výrazu

\int \limits _{x_{1}=x_{a}}^{x_{1}=x_{b}}\ldots \int \limits _{x_{n}=x_{a}}^ {x_{n}=x_{b}}\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int \limits _{t_{a}}^{t_{b}}{\mathcal {L }}{\big (}x(t),v(t),t{\big )}\,dt\right)\,dx_{n}\ldots dx_{1},

kde je Lagrangian jednorozměrného systému v závislosti na prostorové proměnné x ( t ) a rychlosti a odpovídá poloze v j -tém časovém kroku, je-li časový integrál aproximován součtem n členů. ${\mathcal {L}}(x,v,t)$ $v={\dot {x}}(t)$ ${\displaystyle dx_{j))$

V limitě, jak n směřuje k nekonečnu, se tento výraz stává funkčním integrálem , který je (kromě nevýznamného faktoru) přímo součinem amplitud hustot pravděpodobnosti nalezení kvantově mechanické částice v počátečním stavu a v konečný stav . $\langle x_{a},t_{a}|x_{b},t_{b}\rangle$ ${\displaystyle t=t_{a))$ ${\displaystyle x=x_{a))$ ${\displaystyle t=t_{b))$ ${\displaystyle x=x_{b))$

Ve skutečnosti je klasický Lagrangian zvažovaného jednorozměrného systému , kde je Hamiltonián ( p je hybnost, rovná se podle definice, a výše uvedené „cik-cak“ odpovídá vzhledu termínů ${\mathcal L}$ ${\mathcal {L}}(x,{\tečka {x}},t)=p{\tečka {x}}-{\mathcal {H}}(x,p,t)$ $\mathcal H$ $p=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\tečka {x)),$

\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\,\varepsilon \cdot \sum _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}\left({\tilde {x}}_{j},{\tfrac {x_{j}-x_{j-1}}{\varepsilon }},j\right)\right),

kde je nějaký bod z odpovídajícího segmentu. Můžete například vzít střed segmentu: . ${\tilde x}_{j}\in [x_{{j-1}},x_{j}]$ ${\tilde {x}}_{j}={\tfrac {x_{j}+x_{j-1}}{2}}$

Na rozdíl od klasické mechaniky tedy nepřispívá pouze stacionární trajektorie, ale v podstatě všechny virtuální trajektorie mezi počátečním a koncovým bodem.

Feynmanova aproximace časové kvantizace však neexistuje pro nejdůležitější integrály kvantové mechanické dráhy pro atomy kvůli singularitě Coulombova potenciálu na nule. Teprve po nahrazení času t jiným parametrem závislým na cestě („pseudočas“) je singularita odstraněna a existuje aproximace časové kvantizace, která je přesně integrovatelná, protože ji lze vytvořit harmonickou jednoduchou transformací souřadnic, jak ukazuje İsmail Hakkı Duru a Hagen Kleinert v roce 1979 [3] . Kombinovaná aplikace transformace čas-"pseudočas" a transformací souřadnic je důležitou technikou pro výpočet mnoha integrálů dráhy a nazývá se Duru-Kleinertova transformace. $e^{2}/r$ $s=\int dt/r(t)$

Volná částice

V reprezentaci dráhového integrálu se kvantová amplituda pohybuje z bodu x do bodu y jako integrál přes všechny dráhy. U volné částice akční ( , ) integrál $m=1$ $\hbar = 1$

S=\int {{\dot {x}}^{2} \over 2}dt

lze explicitně nalézt.

Chcete-li to provést, je koncepčně výhodné začít bez faktoru i v exponentu, takže velké odchylky jsou kompenzovány malými čísly, nikoli zrušením kolísajících příspěvků:

K(xy;T)=\int _{{x(0)=x}}^{{x(T)=y}}e^{{-\int _{0}^{T}{{\dot {x}}^{2} \over 2}dt}}Dx.

Rozdělíme integrál na části:

K(x,y;T)=\int _{{x(0)=x}}^{{x(T)=y}}\Pi _{t}e^{{-{\frac 12}\ left({x(t+\varepsilon )-x(t) \over \varepsilon }\right)^{2}\varepsilon }}\,Dx,

kde Dx je interpretován jako konečný soubor integrací přes každý celočíselný faktor ε. Každý faktor v součinu je Gaussian jako funkce x ( t + ε ) se středem v x ( t ) s variací ε. Vícenásobné integrály jsou opakované konvoluce tohoto Gaussova G ε s jeho kopiemi v sousedních časech:

K(xy;T)=G_{\varepsilon }*G_{\varepsilon }*\tečky *G_{\varepsilon },

kde počet konvolucí je roven T /ε. Výsledek lze snadno získat použitím Fourierovy transformace obou stran, takže konvoluce se stanou násobeními:

{\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)^{{T \over \varepsilon }}.

Fourierova transformace Gaussova G je dalším Gaussiánem inverzní variace[ upřesnit ] :

{\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{{-\varepsilon {p^{2} \over 2}}},

a výsledek

{\tilde {K}}(p;T)=e^{{-T{p^{2} \over 2}}}.

Fourierova transformace dává K , a to je opět Gaussian s inverzní variací:

K(xy;T)\sim e^{{-(xy)^{2} \over 2T}}.

Konstanta proporcionality není ve skutečnosti definována přístupem mezičas, je definován pouze poměr hodnot různých konečných voleb. Musí být zvolena konstanta proporcionality, aby se zajistilo, že mezi každým ze dvou časových rozdělení bude časový vývoj kvantově mechanicky jednotný, ale názornějším způsobem, jak normalizaci opravit, je převzít integrál cesty jako popis stochastického procesu.

Výsledek má pravděpodobnostní interpretaci. Součet přes všechny trajektorie exponenciálního faktoru lze reprezentovat jako součet přes všechny trajektorie pravděpodobnosti volby dané trajektorie. Pravděpodobnost je součin přes každý segment pravděpodobnosti výběru daného segmentu, takže každý segment je pravděpodobnostně nezávisle vybrán. Skutečnost, že odpověď je Gaussův lineárně se šířící v čase, je centrální limitní věta, kterou lze interpretovat jako první historickou derivaci statistického integrálu cesty.

Pravděpodobnostní interpretace poskytuje přirozenou volbu normalizace. Cestovní integrál by měl být definován tak, aby:

\int K(xy;T)dy=1.

Tato podmínka normalizuje Gaussian a tvoří jádro, které splňuje rovnici difúze:

{d \over dt}K(x;T)={\nabla ^{2} \over 2}K.

Pro oscilující dráhové integrály, ty s i v čitateli, vytváří časové dělení pokřivené Gaussiany jako dříve. Nyní je však součin zakřivení singulární v nejmenším rozsahu, protože potřebuje pečlivé limity pro definování oscilačních integrálů. Aby byly faktory dobře definovány, nejjednodušším způsobem je přidat malou imaginární část k časovému členu ε. Pak stejný kroucený argument jako předtím dává propagačnímu jádru:

K(xy;T)\propto e^{i(xy)^{2} \over 2T}.

Což při stejné normalizaci jako předtím (nikoli normalizaci součtu a kvadrátu! tato funkce má divergentní normu) splňuje volnou Schrödingerovu rovnici

{d \over dt}K(x;T)={\rm {i}}{\nabla ^{2} \over 2}K.

To znamená, že jakákoli superpozice K také splní stejnou rovnici lineárně. Definování

\psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(xy;t)dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0 )=x}^{x(t)=y}e^{iS}Dx,

pak ψt splňuje volnou Schrödingerovu rovnici, stejně jako K:

{\rm {i}}{\partial \over \partial t}\psi _{t}=-{\nabla ^{2} \over 2}\psi _{t}.

Odkazy

↑ Kleinert, H. Gauge Fields in Condensed Matter . - Singapur: World Scientific, 1989. - Sv. I. - ISBN 9971-5-0210-0 . Archivováno z originálu 14. května 2006. Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Získáno 20. září 2009. Archivováno z originálu 14. května 2006. (neurčitý) Dostupné také online: Sv. Archivoval jsem 27. května 2008 na Wayback Machine .
↑ Laskin N. Frakční kvantová mechanika // Physical Review E. - 2000. - V. 62 . - S. 3135-3145 . - doi : 10.1103/PhysRevE.62.3135 . arXiv : 0811.1769 .
↑ I. H. Duru, H. Kleinert. Řešení dráhového integrálu pro atom H (anglicky) // Physics Letters B. - 1979. - Vol. 84 , iss. 2 . - S. 185-188 . - doi : 10.1016/0370-2693(79)90280-6 .

Viz také

Literatura

Simon B. Funkční integrace a kvantová fyzika. — Academic Press, 1979.
Berezin F. A. Druhá kvantizační metoda. — M .: Nauka, 1986. — 320 s.
Zinn-Justin J. Integrál kontinua v kvantové mechanice. - M. : Fizmatlit, 2010. - 360 s.
Lobanov Yu Yu.Přibližné funkční integrační metody pro numerické zkoumání modelů v kvantové fyzice (disertační práce pro titul doktora fyzikálních a matematických věd). - M. , 2009.
Polyakov A. M. Měřicí pole a struny. - Iževsk: RHD, 1999. - 316 s.
Popov VN Integrály kontinua v kvantové teorii pole a statistické mechanice. — M .: Atomizdat , 1976. — 256 s.
Slavnov AA, Faddeev LD Úvod do kvantové teorie kalibračních polí. - M. : Nauka, 1988. - 272 s.
Smolyanov O. G. , Shavgulidze E. T. Integrály kontinua. — M .: Nauka, 1990. — 150 s.
Feynman R., Hibs A. Kvantová mechanika a dráhové integrály. - M. : Mir, 1968. - 384 s.
Shestakova TP Metoda dráhového integrálu v kvantové teorii pole. Přednáškový kurz. - M . : Počítač In-t. issled., 2005. - 228 s. — ISBN 5-939724-07-8 .
Článek ve fyzické encyklopedii (A. A. Slavnov): http://femto.com.ua/articles/part_2/4433.html

Richard Feynman
Věda	Feynmanovy diagramy Feynmanův diagram s jednou smyčkou Feynman-Katzův vzorec Wheeler-Feynmanova absorpční teorie Bethe-Feynmanův vzorec Hellmann-Feynmanův teorém Feynmanův lomítko zápis Feynmanova parametrizace Formulace z hlediska dráhových integrálů Parton (částice) propagátor lepkavý korálek argument Teorie jednoelektronového vesmíru Kvantový buněčný automat Rogersova komise Feynmanova šachovnice Feynmanův bod Postřikovač Feynman ráčna Feynman-Smoluchowski
funguje	" Spousta místa dole " (1959) " Feynmanovy přednášky o fyzice " (1964) " Povaha fyzikálních zákonů " (1965) „ QED je zvláštní teorie světla a hmoty “ (1985) „ Samozřejmě žertujete, pane Feynmane! » (1985) „ Co tě zajímá, co si myslí ostatní? » (1988) " Feynmanova ztracená přednáška " (1997) " The Meaning of It All " (1999) " Potěšení z hledání věcí ven " (1999) „ Dokonale rozumné odchylky od zaběhnutého koleje “ (2005)
jiný	Vědecký kult nákladu " Quantum Man: Richard Feynman's Life in Science " (2011) Tuva nebo Busta! Feynmanova cena za nanotechnologie " Nekonečno " (film, 1996) " QED " (hra, 2001) " Challenger " (film, 2013)