Teorie poruch kvantového pole ve statistické fyzice

Teorie poruch kvantového pole ve statistické fyzice je metoda pro studium interagujících systémů ve statistické fyzice založená na technikách původně vyvinutých pro potřeby fyziky elementárních částic. Teorie poruch (PT) je založena na postupném zvažování poruchy, která je považována za malou. V nulovém kroku je toto rušení zcela eliminováno, což odpovídá idealizovanému volnému (bez rušení) systému. V dalším kroku se bere v úvahu korekce na nulovou aproximaci, již lineární v poruchách, ve druhém kroku kvadratická korekce atd. Samozřejmě tímto způsobem nelze zohlednit podíl všech zakázek na vypočtené hodnotě. Obvykle jsou omezeny na několik prvních podmínek expanze a získají dobrou shodu s experimentálními daty. Pro upřesnění výpočtů je nutné vzít v úvahu následující expanzní podmínky. TV se velmi úspěšně používá v metodě dráhových integrálů [1] [2]

Úvod

Důležitým předmětem ve statistické fyzice je úplná korelační funkce . Ve formalismu dráhových integrálů je n-bodová korelační funkce definována jako [3]

G_{k}(x_{1},...,x_{n})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi \phi (x_{1})...\phi (x_ {n})e^{{-S}}}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S(\phi )))}},

zde , je Hamiltonián uvažovaného systému, je Boltzmannova konstanta , je absolutní teplota a je náhodné pole parametru řádu (například odchylka hustoty systému od průměru). Všimněte si, že se tomu někdy říká „akce“, ale neměla by být zaměňována se skutečnou akcí . Korelační funkce lze přímo měřit v experimentech, například na rozptylu světla kolísáním hustoty $S(\phi )={\frac {H(\phi )}{k_{B}T}}$ $H(\phi)$ $k_B$ $T$ $\phi (x)$ $S(\phi)$

Celá fyzika systému je dána typem a vlastnostmi . Nejdůležitějším modelem ve statistické fyzice je model , který je popsán akcí tvaru: $S(\phi)$ $\phi^4$

S(\phi )=\int dx\left({\frac {c(\nabla \phi (x))^{2}}{2}}+{\frac {\tau {\phi (x)}^ {2}}{2}}+{\frac {g{\phi (x)}^{4}}{4!}}\right)

předpokládá se, že všechny parametry jsou zde analytickými funkcemi teploty. Tento model dobře popisuje chování kapalin a par v blízkosti kritického bodu, chování magnetů v blízkosti Curieho bodu atd.

Pro výpočet korelačních funkcí je nutné vypočítat odpovídající dráhový integrál s danou akcí nebo generujícím funkcionálem . Je jasné, že v obecném případě to není možné. Přesné analytické vyjádření lze získat pouze pro děje, které jsou v poli kvadratické, tedy v případě Gaussova rozdělení . Z tohoto důvodu je zde použita metoda TV. Drobnou odchylkou v uvažované teorii je termín . $g\phi ^{4}$

Problém nekonečna

Malost poruchy umožňuje rozšířit mocniny exponenciály vazebné konstanty g a dále počítat dráhové integrály s kvadratickým Hamiltoniánem. Takové výpočty jsou založeny na aplikaci Wickovy věty a Feynmanových pravidel . Pomocí nich zvažte 2bodovou korelační funkci:

G_{2}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_{1}) \phi (x_{2})\sum _{{j=0}}^{{\infty }}{\frac {1}{j!)}}{\left(-\int dx{\frac {g \ phi ^{4}}{4!}}\right)}^{j}}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S_{0}}}\sum _{{j = 0}^{{\infty }}{\frac {1}{j!)}}{\left(-\int dx{\frac {g\phi ^{4}}{4!}}\vpravo )} ^{j}}}.

V TV nultého řádu ve vazebné konstantě získáme korelační funkci volné teorie:

G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_ {1})\phi (x_{2})}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S_{0}}}}},

v prvním řádu v g máme:

G_{2}^{1}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_ {1})\phi (x_{2})\left(-\int dx{\frac {g\phi ^{4}}{4!}}\right)}{\int {\mathfrak {D}} \phi e^{{-S_{0}}}}}},

pak korelační funkce v takové lineární aproximaci bude:

G_{2}(x_{1},x_{2})=G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})+G_{2}^{1}(x_{1}, x_{2})+O(g^{2})

Všechny korekce jsou sestaveny z propagátoru volné teorie a interakčního členu . V reprezentaci hybnosti první korekce v g odpovídá termínu: $G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})$ $g\phi ^{4}$

G_{2}^{1}(p)=-{\frac {g}{2}}G_{2}^{0}(p)\int {\frac {d^{4}k}{(2 \pi )^{3}}}G_{2}^{0}(k)

, kde

G_{2}^{0}(k)={\frac {1}{ck^{2}+\tau }}.

Je vidět, že tento integrál se při velkých pulzech rozbíhá - UV (ultrafialová) - divergence. Pokud zavedeme parametr cutoff, tedy omezíme oblast integrace podmínkou , pak . Je tedy jasné, že již při prvním kroku TV se objevují nekonečné výrazy. Obecně platí, že nekonečna se mohou objevit nejen v důsledku UV divergencí integrálů, ale také v důsledku IR divergencí (při malých momentech), kolineárních divergencí (díky rovnoběžnosti momentů) atd. Lze je regulovat pomocí některých parametrů, např. příklad . V důsledku toho se vypočítané výrazy stanou závislými na těchto neznámých parametrech regularizace. Je však možné předefinovat původní pole a poplatky tak, aby odpověď neobsahovala regularizer. Technicky se to provádí přidáním protitermů k původní (základní) akci, které závisejí na parametru regularizace a účtují a ruší všechny regularizované členy v každém pořadí v g, takže odpovědi jsou konečné. Teorie s takto opravenou akcí se nazývá renormalizovaná. Ukazuje se, že ne vždy je možné teoreticky snížit rozdíly. Pokud je počet divergentních příspěvků konečný, pak je teorie superrenormalizovatelná, je-li jejich počet nekonečný, ale mohou být zrušeny v každém pořadí, pak je teorie renormalizovatelná, pokud to nelze udělat, je teorie nerenormalizovatelná. Model je superrenormalizovatelný v prostorových dimenzích menších než 4, ve 4 dimenzích je renormalizovatelný, v prostoru vyšších dimenzí nelze zrušit všechna nekonečna. Obecně platí, že příslušnost teorie k jedné nebo druhé kategorii je určena rozměrem náboje. $|k|\leqslant \Lambda$ $G_{2}^{1}(p)\sim {\Lambda }^{2}$ $\lambda$ $\phi ^{4}$

Dalším způsobem, jak zregulovat, je posunout rozměr prostoru . V tomto přístupu mají divergentní části integrálů tvar pólů v parametru . Přidání protiterminů k základní akci je ekvivalentní roztažení počátečních (seed) parametrů: $4\rightarrow 4-\epsilon$ $\epsilon$

\phi (x)\rightarrow Z_{{\phi }}\phi (x),g\rightarrow g\mu ^({\epsilon }}Z_{g},\tau \rightarrow \tau Z_{{\tau } }.

Při výpočtu je nejvhodnější schéma minimálního odčítání nebo schéma MS (z Minimal Substractions). Veličiny jsou v něm funkcemi bezrozměrného g (rozměr g je „převzat“ renormalizační hmotou ) a . Tyto veličiny mají strukturu $Z_{{\phi )),Z_{g},Z_{{\tau }}$ $\mu$ $\epsilon$

Z(g,\epsilon )=1+\součet _{{n=1}}^({\infty }}g^{n}\součet _{{i=1}}^{{n}}{\ epsilon }^{{-i}}a_{{ni}},

kde jsou číselné faktory [4] [5] . $a_{{ni}}$

Konvergence řad

Po renormalizaci poskytuje každý termín televizního seriálu konečný příspěvek. Dalším problémem, který je třeba vyřešit, je konvergence výsledné řady.

Je jasné, že konečnost každého příspěvku neznamená konečnost televizního seriálu. Chcete-li určit poloměr konvergence, můžete použít d'Alembertův znak :

R=\lim _{{N\rightarrow \infty }}{\frac {C_{N}}{C_{{N+1}}}},

zde jsou expanzní koeficienty nějaké veličiny v řadě v g. To znamená, že k určení poloměru konvergence stačí znát asymptotické chování at , tedy asymptotické chování vysokých řádů (HTO). $C_{N}$ $C_{N}$ $N\arrowarrow \infty$

Uvažujme plnou n-bodovou korelační funkci jako funkci náboje g. Jeho řadová expanze v g má tvar:

G_{n}(x_{1},...,x_{n},g)=\součet _{{N=0}}^{{\infty }}g^{N}G_{n}^{ N}(x_{1},...,x_{n}),

a expanzní koeficienty za předpokladu analytičnosti jsou určeny vzorcem : $G_{n}(g)$

G_{n}^{N}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }{\frac {G_{n}(g)}{g^{{N+ 1 }}}}dg.

Toto zobrazení vám umožňuje použít metodu průchodu na studium WUA. Konečný výraz pro AVP expanzních koeficientů n-bodové korelační funkce je:

G_{n}^{N}(x_{1},...,x_{n})=c(n)N!N^{{b(n)}}a^{N}(1+O( 1/N))F(x_{1},...,x_{n}),

veličiny c(n), b(n) závisí pouze na n, a je konstanta a jsou to některé funkce. Je vidět, že o nějakém sbližování televizních seriálů není třeba hovořit. Ve většině případů jsou televizní seriály asymptotické. [6] [7] $F(x_{1},...,x_{n})$

Dekompozice kritických indexů

Navzdory skutečnosti, že výskyt odchylek v UV záření v TV vede k určitým potížím, tato situace má také pozitivní stránku. Jak je již známo, při rozměrové regularizaci mají renormalizační konstanty Z strukturu pólů v . Ukazuje se, že zbytky na jednoduchých pólech renormalizačních konstant obsahují všechny informace o kritickém chování modelu, tedy o chování v okolí kritického bodu. Kritické indexy přímo souvisí s anomálními rozměry, které jsou určeny těmito zbytky: . V tomto přístupu jsou kritické indexy konstruovány jako segmenty řad z hlediska parametru [8] . Jak ukazuje analýza ATP takové expanze, koeficienty těchto řad mají stejnou asymptotiku (a, b(n), c(n se samozřejmě liší) jako n-bodové korelační funkce. Přímé sčítání takových expanzí proto nedává žádný smysl, protože další člen má větší přínos než předchozí. Faktorárně divergentní řady však lze také sčítat v zobecněném smyslu a získat poměrně dobré výsledky a do konečných výsledků bychom měli dát , pokud nás zajímají trojrozměrné systémy, nebo dvourozměrný případ. Všimli jsme si, že kritické exponenty byly původně vypočteny v rámci Landauovy teorie středního pole a byly ve špatné shodě s experimentem. Přístup renormalizační skupiny ( -expanze) umožňuje vypočítat kritické exponenty s dobrou přesností [9] . $\epsilon$ $\eta =2\gamma _{{\phi }}(g_{*}),1/\nu =2+\gamma _{{\tau }}(g_{*})$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon=1$ $\epsilon=2$ $\epsilon$

Borelská sumace poruchových řad

Nyní se zaměřme na metodu, která umožňuje sčítat faktorově divergentní řady.

Předpokládejme nějakou funkci

Q(z)=\sum _{{k=0}}^{{\infty }}Q_{k}z^{k}

má WUA typu . Pak je Borelova funkce funkce funkcí $Q_{k}\sim k!k^{b}{(-a)}^{k}$ $B z)$ $Q(z)$

B(z)=\sum _{{k=0}}^{{\infty }}B_{k}z^{k}

takové, že

B_{k}={\frac {Q_{k}}{(k+b_{0})!}},

Q(z)=\int \limits _{{0}}^{{\infty }}e^{{-t}}t^{{b_{0}}}B(zt)dt.

Platnost tohoto tvrzení je založena na Watsonově větě [10] [11] , která platí za podmínky, že funkce Q(z) je analytická v nějakém sektoru v komplexní rovině proměnné z. V kvantové teorii pole a statistické fyzice zpravidla neznáme předem analytické vlastnosti funkce, pro kterou konstruujeme TV řadu, takže použitelnost Watsonovy věty zůstává v pochybnost. Uvažujme funkci jako funkci komplexní proměnné z. Z definice jeho expanzních koeficientů vyplývá, že odpovídající WUA bude mít tvar: $B z)$

B_{k}\sim {(-a)}^{k}k^{{b-b_{0}}}.

Z toho vyplývá, že v kružnici řada konverguje k funkci $|z|<1/a$

B(z)={\frac {r_{1}}{{(1+az)}^{{b-b_{0}+1}}}}+r_{2},

kde jsou konstanty. Všimněte si, že integrační obrys protíná kružnici konvergence řady a přesahuje oblast analytičnosti , proto je pro výpočet hodnoty nutné sestrojit analytická pokračování za oblast konvergence. Taková rozšíření lze konstruovat několika způsoby. Jednou z nich je Padéhoova aproximační metoda . Dalším požadavkem na aproximaci je absence pólů na integrační ose. Druhou metodou je metoda konformních zobrazení [12] $\r_{1},r_{2}$ $B z)$ $B z)$ $Q(z)$ $B z)$

Resumační postup tedy spočívá v přechodu na konvergentní řadu, výpočtu jejího součtu a inverzní transformaci na původní hodnotu. Pokud tuto metodu aplikujeme na obyčejné konvergentní řady se součtem S, pak po Borelově součtu dostaneme stejnou odpověď S.

Jako příklad jsou uvedeny hodnoty některých kritických exponentů získaných resumací - expanze (pěti smyčky) ( ), vysokoteplotní expanze (HT) a experimentálně (E) pro izotropní feromagnet: $\epsilon$ $\epsilon$

Je vidět, že všechny metody pro výpočet kritických exponentů dávají v rámci chyby stejný výsledek. Navzdory skutečnosti, že televizní seriály jsou asymptotické a formálně malý expanzní parametr se ve skutečnosti ukazuje jako řádově a dokonce větší než jednota, výsledky výpočtu jsou naprosto objektivní. Ověření poruchové QED pro takové veličiny, jako je Lambův posun nebo anomální magnetický moment, poskytuje rekordní přesnost shody mezi teorií a experimentem. Standardní model elektroslabých interakcí fyziky elementárních částic také demonstruje úžasnou shodu mezi výpočty poruchové teorie a experimentálními výsledky. Přes veškerou svou účinnost je však TV omezena ve svém rozsahu použitelnosti. Tato omezení jsou spojena jak s nárůstem složitosti výpočtů smyček v každém následném řádu TV, tak se zásadním rozdílem mezi poruchovými a neporuchovými spektry teorie. V QCD není možné vyjít se samotnými poruchovými výpočty kvůli přítomnosti fenoménu omezení a velké hodnotě vazebné konstanty v infračervené oblasti.

Viz také

Poznámky

↑ Popov V.N. Dráhové integrály v kvantové teorii pole a statistické fyzice. — M .: Atomizdat , 1976.
↑ Schroeder D., Peskin M. Úvod do kvantové teorie pole. - Iževsk: RHD, 2001. - ISBN 5-93972-083-8 .
↑ A. N. Vasiliev. Funkcionální metody v kvantové teorii pole a statistice. - Leningrad: Leningrad. un-t, 1976. - S. 1976.
↑ Vasiliev A. N. Skupina renormalizace kvantového pole v teorii kritického chování a stochastické dynamiky. - Petrohrad: PNPI, 1998. - S. 77. - ISBN 5-86763-122-2 .
↑ John C. Collins. Renormalizace . – Cambridge. - Cambridge University Press: Cambridge University Press, 1984. - S. 62 . — ISBN 0-521-24261-4 .
↑ Lipatov L.N. Divergence řad poruchové teorie a semiklasické teorie // ZhETF. - 1977. - T. 72 . - S. 411 .
↑ Brezin E., Le Guillou JC, Zinn-Justin J. Perturbační teorie ve velkém řádu. I. Interakce // Phys. Rev. D. - 1977. - T. 15 , č. 1544 . $\phi ^{{2N}}$
↑ Ma Sh. Moderní teorie kritických jevů. - Colorado: Westview Press, 2000. - S. 172. - ISBN 978-0738203010 .
↑ Patashinsky A. Z., Pokrovsky V. L. Fluktuační teorie fázových přechodů. — M.: Nauka, 1982. — S. 347.
↑ Reed M., Simon B. 4 // Metody moderní matematické fyziky Analýza operátorů. - California: Academic Press, 1978. - S. 50. - ISBN 978-0125850049 .
↑ H. Hardy. Divergentní řada. New York: Chelsea Pub. Co., 1991. - ISBN 978-0821826492 .
↑ Zinn-Justin J. Kvantová teorie pole a kritické jevy. - Oxford: Clarendon Press, 1996. - S. 997. - ISBN 978-0198509233 .

Literatura

Itsikson K, Zyuber Zh. B. Kvantová teorie pole. Svazek 1. Svazek 2 .. - M . : Mir, 1987.
Zee E. Kvantová teorie pole v kostce. - Výzkumné centrum "RCHD", 2009.
Wilson K. Renormalizační skupina a kritické jevy: Nobelova přednáška. — 1982.