Padé aproximace

Padéova aproximace je klasická metoda pro racionální aproximaci analytických funkcí , pojmenovaná po francouzském matematikovi Henri Padé . Metoda spočívá v reprezentaci funkce jako podílu dvou polynomů , jejichž koeficienty jsou určeny koeficienty expanze funkce v Taylorově řadě . Pro rozklad

f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\ldots

pomocí Padého aproximace lze optimálně zvolit koeficienty a získat přibližnou hodnotu $a_{i}$ $bi}$

{\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^ {M}}}.

Použití této jednoduché myšlenky a jejích zobecnění vedlo k mnoha výsledkům a stalo se téměř základní výzkumnou metodou.

Historie

Padéovo autorství je založeno na jeho disertační práci z roku 1892 [1] (kopie disertační práce je uložena v Cornell University Library ). V této práci studoval takové aproximace a uspořádal je do tabulky , přičemž věnoval velkou pozornost exponenciální funkci .

Definice

Nechť existuje expanze funkce v Taylorově mocninné řadě : $f(z)$

f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}z^{i},

kde jsou koeficienty řady. $c_{i}$

Aproximant Padé je racionální funkcí formy

[L/M]={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots + b_{M}z^{M}}},

jehož expanze v Taylorově řadě (se středem na nule) se shoduje s expanzí funkce , dokud je to možné. Funkce tohoto druhu má koeficienty v čitateli a - ve jmenovateli. Celá sada koeficientů je určena až do společného faktoru $f(z)$ $L+1$ $M+1$ .

Tabulka Pade

Zobecnění

Vícebodové přiblížení Padé
Baker-Gammelovy aproximace
Aproximace funkce více proměnných
Přibližné hodnoty Matrix Padé
Padé-Čebyševova aproximace
Padé-Fourierova aproximace

Numerické metody hledání

Poznámky

↑ H. Padé. Na základě přístupu k reprezentaci podle funkce zlomků rationnelles Thèse de Doctorat présentée à l'Université de la Sorbonne, 1892.

Bibliografie

George A. Baker, Jr.; Peter Graves-Morris. Padé Approximants = Padé aproximants / per. z angličtiny. E. A. Rakhmanova, S. P. Suetina; vyd. A. A. Gončar. — M .: Mir, 1986. — 502 s. - 6400 výtisků.

Odkazy

Eric W. Weisstein. Padé přibližně . matematický svět. Staženo: 1. srpna 2009.
Bochkanov S., Bystritsky V. Padé Aproximace (nepřístupný odkaz) . Knihovna algoritmů. Získáno 1. srpna 2009. Archivováno z originálu 15. prosince 2005. (neurčitý)
Buslaev VI Rekurentní vztahy a racionální aproximace . Celoústavový seminář "Matematika a její aplikace" Matematického ústavu. V. A. Steklov RAS (17. 4. 2008). - Nahrávání videa. Staženo: 1. srpna 2009. (neurčitý)
Kalyuzhny O., Kokovin V. Aplikace Padého aproximací na vibrace turbojetu . Datum přístupu: 2012-17-12. (Ruština)