Greenovy teplotní funkce

Teplotní Greenovy funkce jsou určitou modifikací Greenových funkcí pro kvantově mechanické systémy s nenulovou teplotou. Jsou vhodné pro výpočet termodynamických vlastností systému a obsahují také informace o spektru kvazičástic a o slabě nerovnovážných kinetických jevech.

V systémech s interakcí lze sestrojit odpovídající diagramovou techniku pro teplotní Greenovy funkce. Tato technika je široce používána ke studiu fázových přechodů ( supravodivost , supratekutost , Curieův bod) v různých systémech. Studium takových systémů je netriviální úkol. Model neinteragujících částic je nevhodný pro popis samotného mechanismu přechodu a stavu pod bodem přechodu. Zde hraje rozhodující roli mezičásticová interakce. Účtování takové interakce značně komplikuje použitý matematický aparát. Aparát teplotních Greenových funkcí lze vyvinout ve dvou ekvivalentních formulacích: pomocí kvantově mechanických operátorů nebo metodou funkčních integrálů. Jednou z výhod posledně jmenovaného způsobu je absence problémů nekomutativnosti operátorů polí a různých druhů řazení. [jeden]

Přístup operátora

Definice teploty Greenovy funkce

Operátory Matsubara v „Heisenbergově reprezentaci“ zavádíme pomocí vztahů [2] : ${\hat {\Psi ))$

{\hat {\Psi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{\klobouk {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})},

{\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}} )}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}.

Obecněji řečeno, tito operátoři mohou mít spinové indexy. V těchto vzorcích je skutečná proměnná , takže operátory a nejsou hermitovsky konjugované, je chemický potenciál systému, je hamiltonián systému a je operátorem počtu částic. Operátoři a Hermitian-adjoint polní operátoři v zastoupení Schrödenger . Je vidět, že „Heisenbergova reprezentace“ Matsubarových operátorů se liší od skutečné Heisenbergovy reprezentace změnou druhé , tedy formálně to lze chápat jako přechod do imaginárního času . Teplota Greenova funkce je definována takto: $\tau$ $\tau \in(0,1/T)$ ${\hat {\Psi ))(\tau ,\mathbf {r} )$ ${\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )$ $\mu$ ${\klobouk {H}}$ ${\hat {N}}=\int d\mathbf {r} {\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} ){\hat {\psi }} (\mathbf { r} )$ ${\hat {\psi ))(\mathbf {r} )$ ${\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} )$ $t\rightarrow -i\tau$

G(\tau ,\mathbf {r} _{1};\tau ',\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{e^{\frac {( {\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}T_{\tau }{\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} _{1}){\hat {\Psi }}(\tau ',\mathbf {r} _{2})\right\}}{Tr\left\{e^{\frac {({\hat { H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}\right\}}},

kde symbol znamená " - chronologizace" - uspořádání operátorů zleva doprava v sestupném pořadí . V případě Fermiho částic vede permutace operátorů ke změně společného znaménka. [3] Pomocí této funkce můžete vypočítat počet částic jako funkci chemického potenciálu nebo chemický potenciál jako funkci koncentrace a teploty: ${\displaystyle T_{\tau ))$ $\tau$ $\tau$ $N=\pm \int d\mathbf {r} G(\tau ,\mathbf {r} ;\tau +0,\mathbf {r} ).$

Případ volných částic

Hamiltonián volného systému, vyjádřený pomocí Schrödingerových operátorů pole, má tvar [4] :

\quad {\hat {H_{0}}}=\int {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}\left(-{\frac {\Delta }{2m }}\right){\hat {\psi }}(\mathbf {r} )d\mathbf {r} ,

v sekundární kvantizační reprezentaci bude také zapsán takto:

{\hat {H_{0}}}=\sum \varepsilon _{0}(\mathbf {p} ){\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}{\ klobouk {a}}_{\mathbf {p} },\quad \varepsilon _{0}(\mathbf {p} )=p^{2}/2m,

což vyplývá z definice -operátorů: ${\hat {\psi ))$

{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum e^{i\mathbf {p} \mathbf {r} } {\hat {a}}_{\mathbf {p} },\qquad {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}={\frac {1}{\sqrt {V} }}\součet e^{-i\mathbf {p} \mathbf {r} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}.

Teplota Greenova funkce volných částic v reprezentaci hybnost-"čas":

G(\mathbf {p} ,\tau ,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left(\Theta ( \tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right),

tady $\xi _{0}(\mathbf {p} )=\varepsilon _{0}(\mathbf {p} )-\mu ,\quad \beta =1/T.$

Interagující částice

Předpokládejme, že vnější pole na soustavu částic nepůsobí a mezičásticové interakce jsou párového charakteru. Hamiltonián systému reprezentujeme ve tvaru: Představme si Matsubarovy operátory v reprezentaci interakce pomocí relací [5 ] ${\hat {H}}={\klobouček {H}}_{0}+{\hat {H}}_{int}.$

{\hat {\Phi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}}) }{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})},

{\hat {\Phi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N)))}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat { N)))}.

Porušená část Hamiltoniánu vyjádřená pomocí — operátorů má tvar: ${\klobouček {\Phi ))$

{\hat {H}}_{int}={\frac {1}{2}}\int \int d\mathbf {r_{1}} d\mathbf {r_{2}} {\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{1}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\mathbf {r_{1}} ,\tau )U(\mathbf {r_ {1}} -\mathbf {r_{2}} ){\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{2}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\ mathbf {r_{2}} ,\tau ).

Pomocí stejných operátorů lze definovat teplotní Greenovu funkci:

G(\tau _{1},\mathbf {r} _{1};\tau _{2},\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{ e^{({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})\beta }T_{\tau }{\hat {\Phi }}(\tau _{1}, \mathbf {r} _{1}){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\tau _{2},\mathbf {r} _{2})S(\beta )\right\} }{Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{T}}S(\beta )\right\} }},

S(\beta )=T_{\tau }\exp {\left(-\int \limits _{0}^{\beta }{\hat {H))_{int}(\tau )d \tau\right)}.

Takový zápis umožňuje rozšířit exponenciálu o poruchu a vypočítat teplotní Greenovu funkci ve formě řady a každý člen řady lze graficky znázornit ve formě diagramu.

Pravidla techniky teplotních diagramů. koordinační reprezentace.

	Prvky grafu		Analytický výraz
	titul	obraz	Analytický výraz
jeden	plná čára		$G_{0}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\tau _{1}-\tau _{2})$
2	plná čára		$G_{0}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\tau _{2}-\tau _{1})$
3	Vlnovka		${\mathfrak {U}}(x_{1}-x_{2})=U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\delta (\tau _ {1}-\tau _{2})$
čtyři	Nakreslete všechny spojené topologicky neekvivalentní diagramy s 2n vrcholy a dvěma vnějšími konci, kde se v každém vrcholu sbíhají dvě plné čáry a jedna vlnovka.
5	Integrace se provádí přes souřadnice ( ) každého vrcholu. $d^{4}z=d\mathbf {r} d\tau$
6	Výsledný výraz se vynásobí , n je řád diagramu, F je počet uzavřených fermionových smyček v něm. ${\displaystyle (-1)^{n+F))$

Pomocí těchto pravidel znázorníme korekci prvního řádu v poruchách teplotní Greenovy funkce interagujících částic. Abychom toho dosáhli, musíme se omezit na lineární člen v expanzi exponentu. Poté, s ohledem na Wickovu větu , nakreslíme všechny spojené (libovolné dva body na diagramu mohou být spojeny čárou) diagramy prvního řádu:

Odpovídající analytický výraz, například pro diagram 2, bude zapsán takto:

Diag_{2}(xy)=-\iint d^{4}zd^{4}wG_{0}(xz)G_{0}(zw)G_{0}(wy){\mathfrak {U }}(zw).

Pro výpočty se ukazuje souřadnicová reprezentace jako nepohodlná, proto je snazší formulovat celou techniku diagramu v impulzně-frekvenční reprezentaci za použití obvyklých pravidel Fourierovy analýzy . V této reprezentaci bude mít analytické vyjádření uvažovaného diagramu tvar:

Diag_{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=-{\frac {T}{(2\pi )^{3}}}\sum \limits _{\omega _ {m}}\int d\mathbf {p} _{1}G_{0}^{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})G_{0}(\mathbf {p} _{ 1},\omega _{m}){\mathfrak {U}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1},\omega _{n}-\omega _{m}),

kde Greenova funkce volného systému má tvar [6] :

G_{0}(\mathbf {p} ,\omega _{n})={\frac {1}{i\omega _{n}-\varepsilon _{0}(\mathbf {p} ) +\mu}},

\omega _{n}=(2n+1)\pi T

- pro fermiony,

\omega _{n}=2n\pi T

- pro bosony. Pravidla techniky teplotních diagramů. Pulse-frekvenční reprezentace.

	Prvky grafu		Analytický výraz
	titul	obraz	Analytický výraz
jeden	plná čára		$G_{0}(\mathbf {p} ,\omega _{n})$
3	Vlnovka		${\mathfrak {U}}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=U(\mathbf {p} )$
čtyři	Spojte čáry diagramu s vnějšími impulsy a frekvencemi. Hybnost a frekvence vnitřních čar v každém vrcholu musí splňovat zákony zachování $\sum \mathbf {p} =0,\sum \omega =0$
5	Integrace se provádí přes všechny nezávislé impulsy a sčítání se provádí přes frekvence.
6	Výsledný výraz se vynásobí , k je řád diagramu, F je počet uzavřených smyček v diagramu a s je spin částice. $(-1)^{k}{\frac {T^{k}}{(2\pi )^{3k}}}(2s+1)^{F}(\mp )^{F}$

V nejjednodušším případě (L. Landau) může být potenciál nabrán ve tvaru , který odpovídá nulovému interakčnímu poloměru. Graficky to odpovídá smrštění dvou bodů, které jsou spojeny vlnovkou v jeden. $U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\sim \delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}) ,,$

Metoda funkční integrace

Při přechodu od klasické statistické mechaniky ke kvantové mechanice je integrace přes kanonicky konjugované proměnné nahrazena stopou , tedy součtem nad stavy. [7] Partiční funkce kvantového systému s hamiltonovským operátorem je tedy definována jako $p,q$ ${\klobouk {H}}$

Z=Tre^{-\beta {\hat {H))}=\sum \limits _{n}{\langle n\vert e^{-\beta {\hat {H))}\vert n\rangle }.

Je vidět, že člen pod součtovým znaménkem je podobný maticovému prvku evolučního operátoru až do nahrazení . Tento prvek matice je dán Feynman-Katzovým vzorcem [8] : $t\rightarrow -i\beta$

\langle q_{2}\vert e^{-it{\hat {H))}\vert q_{1}\rangle =\int \prod \limits _{t}{\frac {dp(t )dq(t)}{2\pi }}\exp {\left(i\int \limits _{0}^{t}\left(p{\tečka {q}}-H(p,q)\ right)dt\right)}.

Věnujme pozornost tomu, že veličiny ve funkcionálním integrálu jsou klasické funkce a v dalších výpočtech není problém s komutačními vztahy. Udělejme Wickovu rotaci v tomto vzorci a identifikujme , pak se výrazy pro partiční funkci transformují do tvaru: $p,q,H(p,q)$ $q\sim \psi (x,\tau ),p\sim i\psi ^{+}(x,\tau )$

Z=\int \limits _{BC}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}e^{-S_{\beta )),\qquad BC= {\begin{cases}\psi (x,\tau )=\psi (x,\tau +\beta ),&{\text{Bose))\\\psi (x,\tau )=-\psi ( x,\tau +\beta ),&{\text{Fermi}}\end{cases}},

kde působení teplotní teorie se integrace provádí přes pole s odpovídajícími okrajovými podmínkami (BC) V případě ideálního plynu ${\displaystyle S_{\beta ))$

S_{\beta }^{0}=\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} \psi ^{+}(x,\tau )\ left(\partial _{\tau }+{\frac {\Delta }{2m}}-\mu \right)\psi (x,\tau ).

Párovou interakci lze vzít v úvahu ve formě členu typu hustota-hustota [9]

S_{\beta }^{int}={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )U(\mathbf {x} -\mathbf {x'} )\psi ^{+}(x',\ tau )\psi (x',\tau).

Jak bylo uvedeno výše, objekty nejsou operátory polí. V případě fermionů jsou to Grassmannovy funkce, což je dědictví antisymetrie fermionových vlnových funkcí. $\psi (x,\tau ),\psi ^{+}(x,\tau )$

Definice teploty Greenova funkce

Greenovu funkci definujeme jako průměr součinu několika polí s váhou . [10] Párová korelační funkce je tedy dána výrazem $\exp(-S_{\beta })$

G(x,x',\tau ,\tau ')=\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\frac {1 }{Z}}\int \limits _{BC}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}\psi ^{+}(x,\tau )\psi ( x',\tau )e^{-S_{\beta )),\quad S_{\beta }=S_{\beta }^{0}+S_{\beta }^{int}.

Pro správnou definici tohoto objektu, jak lze ukázat, potřebujeme další definici $G(x,x',\tau =\tau ')=G(x,x',\tau =\tau '+0).$

Případ volných částic

Vypočítejme Greenovu funkci pro neinteragující částice. Jak známo [11] , k tomu je nutné najít jádro operátoru s přihlédnutím k okrajovým podmínkám, tedy vyřešit rovnici $\left(-\partial _{\tau }+{\hat {H}}_{1}\right)^{-1}$

\left(-\partial _{\tau }+{\hat {H}}_{1}\right)G_{0}(x,x',\tau ,\tau ')=\delta ( xx')\delta(\tau-\tau').

Rovnice je v zobrazení elementárně vyřešena $p-\tau$

G_{0}(\mathbf {p} ,\tau ,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left( \Theta (\tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right).

Jak je vidět, tato Greenova funkce se shoduje s Greenovou funkcí získanou pomocí Matsubara operátorů. Rozšíření této funkce o shodné „časy“ znamená, že funkce theta v nule je rovna nule.

Interagující částice

Uvažujme například bosony s mezičásticovou interakcí typu . $U(xx')=\lambda \delta (xx'),\lambda >0.$ $\lambda$

\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x' ,\tau ')\rangle }_{0}-{\frac {\lambda }{2}}\int \limits _{0}^{\beta }dt\int d\mathbf {y} {\langle \ psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\left(\psi ^{+}(y,\tau )\psi (y,\tau )\vpravo)^{2 }\rangle }_{0}+O(\lambda ^{2}).

Vytvořme odpovídající techniku diagramu

Pravidla techniky teplotních diagramů. koordinační reprezentace.

	Prvky grafu		Analytický výraz
	titul	obraz	Analytický výraz
jeden	Přejít		$\psi ^{+}(x,\tau )$
2	Tečka		$\psi (x,\tau )$
3	propagátor		${\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle }_{0}=G_{+,0}(x,x',\tau ,\tau ')$
čtyři	propagátor		${\langle \psi (x',\tau ')\psi ^{+}(x,\tau )\rangle }_{0}=G_{0,+}(x',x,\tau ',\tau )$
3	Vrchol		${\displaystyle \left(\psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )\right)^{2))$
5	Vynásobte každý vrchol číslem , kde n je řád diagramu, r je koeficient symetrie, počet topologicky ekvivalentních grafů. $(-\lambda /2)^{n}r/n!$
5	Integrace se provádí přes všechny souřadnice vrcholu.

Nakreslete v prvním řádu všechny spojené grafy

Existuje na to pouze jeden diagram . Odpovídající analytický výraz pro opravu $r=4$

Diag=-2\lambda \int \limits _{0}^{\beta }dt\int dyG_{+,0}(x,y,\tau ,t)G_{+,0}(y, y,t,t)G_{+,0}(y,x',t,\tau '),

tento výraz je přesně stejný, jaký byl získán dříve v metodě operátoru. Pro uvažovaný potenciál se dva diagramy 1 a 2 stávají ekvivalentními, proto pro získání příspěvku jedné smyčky je třeba výraz pro jeden z diagramů vynásobit 2. Samozřejmě je v tomto případě také rozumné přejít na reprezentace hybnosti. Pravidla pro konstrukci diagramů v reprezentaci hybnosti jsou stejná jako dříve.

Poznámky

↑ Ishihara A. Statistická fyzika. - M .: Mir, 1973. - S. 408.
↑ Abrikosov A. A., Gorkov L. P., Dzyaloshinsky I. E. Metody kvantové teorie pole ve statistické fyzice. - M . : Dobrosvet, KDU, 2006. - S. 153. - ISBN 5-98227-171-3 .
↑ Landau L.D., Lifshits E.M., Pitaevsky L.P. 2 // Statistická fyzika. - M .: Nauka, 1976. - S. 172.
↑ Haken X. Kvantová teorie pole pevných látek. - M .: Nauka, 1980. - S. 99.
↑ Abrikosov A. A., Gorkov L. P., Dzyaloshinsky I. E. Metody kvantové teorie pole ve statistické fyzice. - M . : Dobrosvet, KDU, 2006. - S. 166. - ISBN 5-98227-171-3 .
↑ Landau L.D., Lifshits E.M., Pitaevsky L.P. 9 // Statistická fyzika. - M .: Nauka, 1976. - S. 180.
↑ Vasiliev A.N. Funkcionální metody v kvantové teorii pole a statistice. - Leningrad: Leningrad. Univ., 1976. - S. 162.
↑ Vergeles S. Přednášky o kvantové elektrodynamice. - M. : Fizmatlit, 2008. - S. 7. - ISBN 978-5-9221-0892-8 .
↑ Komarova M.V., Nalimov M.Yu., Novozhilova T.Yu. Fázové přechody v kvantových systémech: supratekutost a supravodivost. Petrohrad: Fyzikální fakulta, St. Petersburg State University.
↑ Popov V. N. Kontinuální integrály v kvantové teorii pole a statistické fyzice. - M .: Atomizdat , 1976. - S. 31.
↑ Matukk R. Feynmanovy diagramy v problému mnoha těles. - M .: Mir, 1969. - S. 68.
↑ Vasiliev A. N. Skupina renormalizace kvantového pole v teorii kritického chování a stochastické dynamiky. - Petrohrad: PNPI, 1998. - S. 77. - ISBN 5-86763-122-2 .

Literatura

Zee E. Kvantová teorie pole v kostce. - M.-Iževsk: NIC "RHD", 2009. - ISBN 978-5-93972-770-9 .
Tsvelik AM Kvantová teorie pole ve fyzice kondenzovaných látek. - M. : FIZMATLIT, 2002. - ISBN 5-9221-0237-0 .
Zinn-Justin J. Kvantová teorie pole a kritické jevy. - Oxford: Clarendon Press, 2002. - ISBN 0-19-850923-5 .

Greenovy teplotní funkce

Přístup operátora

Definice teploty Greenovy funkce

Případ volných částic

Interagující částice

Metoda funkční integrace

Definice teploty Greenova funkce

Případ volných částic

Interagující částice

Poznámky

Literatura

Viz také