Knotový vzorec

Wickův vzorec je vzorec teorie pravděpodobnosti , který vyjadřuje matematické očekávání polynomu v souřadnicích Gaussova vektoru prostřednictvím prvků kovarianční matice . Jednou z jeho aplikací je spojení střední hodnoty polynomu ve stopách mocnin velké náhodné matice a rodů ploch získaných slepením daných polygonů s různými identifikacemi stran. [jeden]

Formulace

Teorém.

Dovolit být Gaussův vektor s nulovým matematickým očekáváním a být lineární funkce . Pak $(x_{1},\tečky ,x_{k})$ ${\displaystyle f_{1},\tečky ,f_{2n))$ ${\displaystyle x_{1},\tečky ,x_{k))$

E(f_{1}\cdot \dots \cdot f_{2n})=\sum \left(E(f_{p_{1}}f_{q_{1}})\right)\cdot \dots \cdot \left(E(f_{p_{n}}f_{q_{n}})\right),

kde se sčítání na pravé straně provádí přes všechny oddíly sady do párů s $\{1,\tečky ,2n\}$ $(p_{i},q_{i})$

{\displaystyle p_{1}<\tečky <p_{n},\quad \forall i\quad p_{i}<q_{i))

(tedy každý oddíl se počítá přesně jednou). [2]

Příklady

Abychom objasnili formulaci věty, uvedeme několik příkladů:

$E(x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4})=E(x_{1}\cdot x_{2})\cdot E(x_{3} \cdot x_{4})+E(x_{1}\cdot x_{3})\cdot E(x_{2}\cdot x_{4})+E(x_{1}\cdot x_{4}) \cdot E(x_{2}\cdot x_{3})$ $E(x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{6})=E(x_{1}\cdot x_ {2})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{3})\cdot E(x_ {2}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{4})\cdot E(x_{3}\cdot x_{2} \cdot x_{5}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{5})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{2}\cdot x_ {6})+E(x_{1}\cdot x_{6})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{2})$

Viz také

Wickův teorém pro funkcionální integrál

Odkazy

↑ A. Okounkov, Random Matrices and Random Permutations Archived 17. February 2022 at Wayback Machine , str. deset
↑ SK Lando, AK Zvonkin, Vložené grafy, poznámky ke kurzu Archivováno 18. září 2011 na Wayback Machine , Věta 3.3.8.