Legendreova proměna

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 30. srpna 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Legendreova transformace pro danou funkci je konstrukcí funkce , která je jejím Youngovým duálem. Pokud byla původní funkce definována na vektorovém prostoru , bude její Legendreova transformace funkcí definovanou na duálním prostoru , tedy na prostoru lineárních funkcionálů na prostoru . $f(x)$ $f^{*}(p)$ $PROTI$ $V^*$ $PROTI$

Motivace

Možná motivace se dá vyjádřit méně obecnou definicí. Legendreova transformace je substituce funkce a proměnné, ve které se stará derivace bere jako nová proměnná a stará proměnná se bere jako nová derivace.

Výraz pro diferenciál

df(x)=f'(x)\,dx

vzhledem k tomu, že , lze zapsat ve tvaru $d(xf')=f'\,dx+x\,df'$

d(xf'-f)=x\,df'.

Pokud to nyní přijmeme

F=xf'-f,\quad y=f'(x),

což je Legendreova transformace $(f,x)\to (F,y)$

dF(y)=F'(y)\,dy,\quad x=F'(y).

V tomto případě se nová proměnná rovná staré derivaci a stará proměnná se rovná nové derivaci: $y$ $X$

y=f'(x),\quad x=F'(y).

Definice se mohou lišit ve znaku . Pokud existuje více než jedna zdrojová proměnná , lze Legendrovu transformaci provést na jakékoli z nich. $F$ $X$

Definice

Analytická definice

Legendreova transformace funkce definované na podmnožině vektorového prostoru je funkce definovaná na podmnožině duálního prostoru vzorcem $F$ $M$ $PROTI$ $f^{*}$ $M^*$ $V^*$

f^{*}(p)=\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )},\quad p\in M ^{*}=\left\{p:\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )}<\infty \right\},

kde je hodnota lineárního funkcionálu na vektoru . V případě Hilbertova prostoru je to obvyklý skalární součin . Ve speciálním případě diferencovatelné funkce definované v , se přechod na adjungovanou funkci provádí podle vzorců $\langle p,x\rangle$ $p$ $X$ $\langle p,x\rangle$ ${\mathcal R}^{n}$

f^{*}(p)=\langle p,x\rangle -f(x),\quad p={\frac {\partial f}{\partial x))=\operatorname {grad} f ,

a je nutné vyjádřit z druhé rovnice. $X$ $p$

Geometrický smysl

Pro konvexní funkci je jejím epigrafem konvexní uzavřená množina , jejíž hranicí je graf funkce . Množina nosných nadrovin k epigrafu funkce je přirozenou doménou její definice její Legendreovou transformací , je -li nosná nadrovina (v našem případě tečna) k epigrafu, protíná osu v nějakém jediném bodě. Její -souřadnice se znaménkem mínus je hodnotou funkce . $f(x)$ $\operatorname {epi} f=\{(x,y)\mid y\geqslant f(x)\}$ $f(x)$ $f(x)$ $f^{*}(p).$ $p$ $y$ $y$ $f^{*}(p)$

Korespondence je jednoznačně definována v doméně, kde je funkce diferencovatelná . Potom je tečná nadrovina ke grafu v bodě . Inverzní korespondence je jednoznačně definována právě tehdy, když je funkce přísně konvexní. V tomto případě je jediným bodem kontaktu referenční nadrovina s grafem funkce $x\to p$ $f(x)$ $p$ $f(x)$ $X$ $p\to x$ $f(x)$ $X$ $p$ $f(x).$

Pokud je funkce diferencovatelná a přísně konvexní, je definována korespondence, která přiřadí diferenciál funkce nadrovině v bodě . Tato korespondence je jedna ku jedné a umožňuje nám přenést definiční obor funkce do prostoru kovektorů, což jsou diferenciály funkce . $f(x)$ $p(x)\leftrightarrow df(x),$ $p$ $f(x)$ $X$ $f^{*}(p)$ $V^{*},$ $f(x)$

V obecném případě libovolné nekonvexní funkce je zachován geometrický význam Legendreovy transformace. Na základě principu podpory je konvexní obal epigrafu průsečíkem poloprostorů definovaných všemi nosnými nadrovinami , takže pro Legendrovu transformaci je nezbytný pouze konvexní obal epigrafu . Případ libovolné funkce se tedy snadno redukuje na případ konvexní. Funkce ani nemusí být diferencovatelná nebo spojitá, její Legendreova transformace bude stále konvexní spodní polospojitá funkce. $\varphi$ $\varphi$

Vlastnosti

Fenchel-Moro teorém : pro správnou konvexní dolní semispojitou funkci f definovanou na reflexním prostoru je Legendreova transformace involutivní , tj . Je snadné vidět, že pokud je konvexním uzávěrem funkce f funkce g , pak f * = g *. To znamená, že pro nekonvexní funkci, jejíž konvexní uzávěr je vlastní funkcí, $f^{{**}}(x)=f(x)$ $f^{**}(x)=\jméno operátora {\overline {co)) f(x)$ , kde je konvexní uzávěr funkce f . $\operatorname {\overline {co}} f$
Young-Fenchelova nerovnost vyplývá přímo z analytické definice : $f(x)+f^{*}(p)\geqslant \langle p,x\rangle$ , a rovnosti je dosaženo pouze tehdy, je-li p = F ́( x ). ( Youngova nerovnost je často speciálním případem této nerovnosti pro funkci a > 1.) $F(x)=x^{a}/a$
V kalkulu variací (a na něm založeném Lagrangiánské mechanice ) se Legendreova transformace obvykle aplikuje na Lagrangiany akce v proměnné . Obraz Lagrangeova se stává hamiltoniánem akce H ( t , x , p ) a Euler-Lagrangeovy rovnice pro optimální trajektorie jsou transformovány do hamiltonovských rovnic . $L(t,x,{\tečka {x)))$ ${\tečka {x}}$
Na základě toho je snadné to ukázat . $p=\nabla _{x}f$ $\nabla _{p}f^{*}(p)=-x$

Příklady

Funkce napájení

Uvažujme Legendrovu transformaci funkce ( , ) definované na . V případě sudého n můžeme uvažovat . $f(x)=x^{n}$ $n>0$ $n\neq 1$ $\mathbb {R^{+}}$ $\mathbb {R}$

p(x)={\frac {df}{dx}}=n\cdot x^{n-1}.

Odtud vyjadřujeme , dostáváme $x=x(p)$

x(p)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {1}{n-1}}.

Celkem získáme Legendrovu transformaci pro mocninnou funkci :

f^{*}(p)=px-f(x)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {n}{n-1}}\cdot (n-1).

Je snadné zkontrolovat, že opakovaná Legendreova transformace dává původní funkci . $f(x)$

Funkce mnoha proměnných

Uvažujme funkci mnoha proměnných definovaných v prostoru následujícího tvaru: $\mathbb {R} ^{n}$

f(x)=\langle x,Ax\rangle +c.

$A$ reálná, pozitivně určitá matice, konstanta. Nejprve se přesvědčme, že duální prostor, na kterém je Legendreova transformace definována, se shoduje s . K tomu se musíme ujistit, že extrém funkce existuje . $C$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\phi =\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c$

\nabla _{x}\phi =p-2Ax,

\nabla _{x}\nabla _{x}\phi =-2A.

Díky kladné definitivnosti matice dostáváme, že extrémní bod je maximum. Pro každého tedy existuje supremum . Výpočet Legendreovy transformace se provádí přímo: $A$ $p$

f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.

Aplikace

Hamiltonovská mechanika

V Lagrangeově mechanice je systém popsán pomocí Lagrangeovy funkce. Pro typický problém vypadá funkce Lagrange takto:

L(q,u)={\frac {1}{2}}\langle u,Mu\rangle -V(q),

${\displaystyle (q,u)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n))$ , se standardním euklidovským bodovým součinem. Matrice je považována za skutečnou, pozitivně definitivní. V případě, že Lagrangian není degenerovaný v rychlostech, tzn. $M$

p=\nabla _{u}L(q,u)\neq 0,

můžete provést Legendrovu transformaci z hlediska rychlostí a získat novou funkci nazvanou Hamiltonian:

H(p,q)=pq'-L={\frac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).

Termodynamika

V termodynamice velmi často existují různé termodynamické funkce , jejichž diferenciál v nejobecnějším případě vypadá jako

dL=X\,dx+Y\,dy+Z\,dz+\ldots

Například diferenciál pro vnitřní energii vypadá takto:

dE=T\,dS-P\,dV.

Energie je zde prezentována jako funkce proměnných . Takové proměnné se nazývají přirozené. Například volná energie je získána jako Legendre transformace vnitřní energie: $S,V$

F=E-TS,

dF=-S\,dT-P\,dV.

Obecně platí, že pokud chceme přejít z funkce do funkce , měli bychom provést Legendreovu transformaci: $L=L(x,y,z,\ldots )$ $L=L(X,y,z,\ldots )$

L(X,y,z,\ldots )=L-xX,

dL(X,y,z,\ldots )=-x\,dX+Y\,dy+Z\,dz+\ldots

Teorie pole. Legendre funkční transformace

V kvantové teorii pole se velmi často používá Legendreova funkční transformace. Výchozím objektem jsou připojené Greenovy funkce, které jsou označeny , kde jsou některá externí pole. Následující funkce se nazývá Legendreova transformace nad polem A [1] : $W(A)$ $A$

\Gamma (\alpha )=W{\big (}A(\alpha ){\big )}-\int dx\cdot \alpha A.

Znak integrace se obvykle nepíše. je definováno následujícím výrazem [1] : $\alpha$

\alpha (x)={\frac {\delta {W}}{\delta {A(x)))},

$\delta$ znamená variační derivaci . Pomocí vlastnosti variační derivace lze snadno odvodit následující vztah spojující a . Opravdu: $W$ $\Gamma$

\delta (xy)={\frac {\delta A(x)}{\delta A(y)))=\int dz\,{\frac {\delta A(x)}{\delta \ alpha (z))){\frac {\delta \alpha (z)}{\delta A(y)))=-\int dz\,{\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)}}{\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y))).

Jinými slovy, funkcionály a , až do znaménka, jsou vzájemně inverzní. Symbolicky je to napsáno takto: $W_{2}={\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y)))$ $\Gamma _{2}={\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)))$

W_{2}\cdot \Gamma _{2}=-1.

Poznámky

↑ 1 2 Vasiliev A. N. Funkční metody v kvantové teorii pole a statistice. - Leningrad, 1976. - S. 81. - 295 s.

Literatura

Polovinkin E. S. , Balashov M. V. Prvky konvexní a silně konvexní analýzy Archivováno 1. dubna 2022 na Wayback Machine . — M.: FIZMATLIT, 2004. — 416 s. — ISBN 5-9221-0499-3 .
Vasiliev A. N. Funkční metody kvantové teorie pole a statistiky. - 1976. - 295 s.