Semikontinuální funkce
Polospojitost v počtu je slabší vlastností funkce než spojitost. Funkce je v bodě nižší polospojitá, pokud hodnota funkce v blízkých bodech není o mnoho menší než hodnota funkce v něm. Funkce je horní polospojitá v bodě, pokud hodnoty funkce v blízkých bodech výrazně nepřekračují hodnoty funkce v něm.
Definice
- O funkci se říká, že je dolní (horní) polospojitá, pokud je dolní (horní) polospojitá pro všechny .
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![M\podmnožina X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9c93bbbf6912b1930f1053e33a673a5a74c521)
![x_{0}\v M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ffbdb59406dc64aa6769cecf0e9ee109d181119)
Vlastnosti
- Funkce je nižší polospojitá právě tehdy, když je množina otevřena ve standardní topologii reálné čáry pro libovolný
![a\in \mathbb{R} .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d8ec83fa9b414f3a72cb56cc841b8b76e22bec)
- Dovolit jsou dvě nižší (horní) polospojité funkce. Pak je jejich součet také spodní (horní) polospojitý.
![f+g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d94a24abd865f6f9fd67a7df7e531cae1c769b3)
- Limita monotónně rostoucí (klesající) posloupnosti dolních (horních) polospojitých funkcí v bodě je dolní (horní) polospojitá funkce v . Přesněji, nechť je dána posloupnost dolních (horních) polospojitých funkcí taková, že Pak, pokud limita existuje, je dolní (horní) polospojitá.
![x_{0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
![x_{0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
![f_{n}:X\to {\mathbb {R)],\;n\v {\mathbb {N))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1462b53287b3ca24df948ab71c61212e750b8fc)
![f_{{n+1}}(x)\geq (\leq )f_{n}(x)\;\forall n\in {\mathbb {N}}\;\forall x\in X.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da3496f5b208caf0e7feabbe7ddfff9f334696d)
![\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{n}(x)=f(x)\;\forall x\in X,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8b0a6bae26192f033e6dcce091c58655a6faff)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
- Jestliže a existují semi-spojité funkce, v uvedeném pořadí, zdola a shora, v tomto pořadí, a celý prostor je splněn, pak existuje spojitá funkce , takže
![u:X\to {\mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c6a711da2134fc5e6d2ad196ba631188618d6c)
![v:X\to {\mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2727a18caaf0fbf2afa0597b892a7a1e6d75d337)
![-\infty <v(x)\leq u(x)<\infty ,\;x\in X,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f881f67e8a8b70da2be9feabdbd9b9ab5398d7cd)
![f:X \to \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669fa4832da4b0b229d77eadb270e95188f2eb10)
![v(x)\leq f(x)\leq u(x),\;x\v X.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83df7d8c76b64509b10b3ff1d03ba3b9e95a86c6)
- ( Weierstrassova věta ) Nechť je dána kompaktní podmnožina Potom spodní (horní) polospojitá funkce dosáhne svého minima (maxima) na .
![K\podmnožina X.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed68e2f4528e0d5119fb037917b303cddcc9a60)
![f:K\to \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787c6a930bbb2e3641e507f1b31c1ceb591eb832)
![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
Příklady
Literatura
- Natanson I.P., Teorie funkcí reálné proměnné , 3. vyd., M., 1974;
- Sachs S, Teorie integrálu , přel. z angličtiny, M., 1949.