Lineární forma

Lineární forma, lineární funkcionál (používají se také termíny 1-form , covector , covariant vector ) je lineární zobrazení působící z vektorového prostoru přes pole do pole . Podmínka linearity spočívá ve splnění následujících dvou vlastností: $L$ $K$ $K$

\Phi (f+g)=\Phi (f)+\Phi (g),

\Phi (\alpha f)=\alpha \,\Phi (f)

pro libovolné dva vektory a libovolné . Lineární forma (lineární funkcionál) je tedy speciálním případem konceptu lineárního operátora působícího z jednoho vektorového prostoru do jiného vektorového prostoru: uvažovaného nad stejným polem . Konkrétně v případě lineárního tvaru (lineárního funkcionálu) vektorový prostor . $f,g\in L$ $\alpha \v K$ $L_{K}\to M_{K}$ $K$ $M_{K}=K$

Termín lineární forma se obvykle používá v algebře a algebraické geometrii, nejčastěji mluvíme o konečněrozměrných vektorových prostorech. Z algebraického hlediska je lineární forma speciálním případem obecnějšího pojetí k -formy pro k= 1.

Termín lineární funkcionál je běžný ve funkcionální analýze a nejčastěji mluvíme o nekonečně-dimenzionálních vektorových prostorech, jejichž prvky jsou funkcemi té či oné třídy, a termín funkcionál zdůrazňuje, že se uvažuje funkce (mapa). argument, jehož jsou funkce. Nejčastěji používaná pole jsou nebo . $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Příklady

Příklady lineárních forem pro konečné-dimenzionální vektorové prostory :

Nejjednodušším příkladem lineární formy je lineární homogenní funkce jedné reálné nebo komplexní proměnné:

y=kx.

Skalárním součinem argumentu a libovolného vektoru je lineární forma:

\Phi (\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} =a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\tečky +a_{n }x_{n}.\qquad(*)

Navíc v případě jakéhokoli konečněrozměrného prostoru mají všechny lineární formy na něm tvar . To umožňuje identifikovat každou lineární formu s vektorem a tato korespondence je jedna ku jedné.

L

(*)

\Phi (\mathbf {x} )

{\mathbf {a} }\in L

Příklady lineárních funkcionálů pro prostory funkcí :

Nechť se prostor skládá z funkcí , které jsou na množině spojité . Pak pro jakýkoli výraz a jeden definuje lineární funkcionály na . $L$ $f(x)$ $\Omega$ $x_{i}\in \Omega$ $\Phi (f)=f(x_{0})$ $\Phi (f)=\alpha _{1}f(x_{1})+\alpha _{2}f(x_{2})$ $L$
Nechť se prostor skládá z funkcí , které jsou na množině n -krát spojitě diferencovatelné . Výraz $L$ $f(x)$ $\Omega$

\Phi (f)=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(x_{i }),\quad x_{i}\in \Omega ,

definuje lineární funkcionál na .

L

Jedním z nejdůležitějších příkladů lineárního funkcionálu je skalární součin argumentového vektoru a nějakého fixovaného vektoru :. Ve funkcionální analýze se často uvažuje o vektorových prostorech sestávajících z integrovatelných funkcí a skalární součin je dán pomocí integrálu (obvykle se používá Lebesgueův integrál ). V tomto případě má výše uvedený vzorec pro lineární funkcionál tvar $f\in L$ $\phi \in L$ $\Phi (f)=\langle f,\phi \rangle$

\Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)\phi (x)d\omega

. Takové lineární funkcionály se používají například v definici Fourierovy transformace .

Nechť je lineární operátor mapující vektorový prostor do sebe , který se skládá z funkcí integrovatelných na nějaké množině . Pak ten výraz $A\dvojtečka L\to L$ $L$ $\Omega$

\Phi (f)=\int _{\Omega }Af(x)\phi (x)d\omega

. definuje lineární funkcionál na prostoru . Příklady takových lineárních funkcionalí:

L

\Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)d\omega

\Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)\phi (x)d\omega

\Phi (f)=\int _{\Omega }{\Bigl (}\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\frac {d^{i}f} {dx^{i))}(x){\Bigr )}\,d\omega

Vlastnosti

Množina všech lineárních forem na vektorovém prostoru je sama o sobě vektorovým prostorem s ohledem na operace sčítání a násobení prvky z pole . Tento prostor se nazývá dual to a je označen [1] . Vektory duálního prostoru se obvykle nazývají covektory . V kvantové mechanice je také zvykem používat pro označení vektorů původního prostoru a covektory termíny bra vectors a ket vectors. $L$ $K$ $L$ ${\displaystyle L^{\ast ))$
Je-li dimenze (konečná), pak při zvolení určité báze v prostoru se libovolný lineární tvar zapíše do tvaru , kde vektor a množina koeficientů jednoznačně určují tento tvar. Forma je dána množinou jeho souřadnic v nějakém základě konjugovaného prostoru , který se nazývá reciproký nebo duální vůči základu . Tedy [2] . $\dim L=n$ $L$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ ${\displaystyle \Phi (x)=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n))$ ${\displaystyle x=x_{1}e_{1}+\cdots +x_{n}e_{n))$ $a_{i}$ $\Phi (x)$ $a_{i}$ ${\displaystyle L^{\ast ))$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $\dim L^{*}=n$
Pokud je dimenze konečná, pak je izomorfní , ale v nekonečně dimenzionálním případě tomu tak není. V případě konečných rozměrů je druhý duální prostor přirozeně identifikován s původním prostorem [3] . V nekonečně-dimenzionálním případě je podmínka, že prostor je izomorfní , spíše netriviální, takové prostory se nazývají reflexivní [4] . $\dim L$ ${\displaystyle L^{\ast ))$ $L$ ${\displaystyle (L^{\ast })^{\ast ))$ $L$ $L$ ${\displaystyle (L^{\ast })^{\ast ))$
Jádrem lineární formy (lineární funkcionál) je vektorový podprostor. Pokud je prostor konečnorozměrný, pak jádro lineárního tvaru, které není identicky nulové, je nadrovina v . Zejména pro jádro lineární formy , kde , je rovina v trojrozměrném prostoru a koeficienty jsou souřadnicemi normálového vektoru roviny. $L$ $L$ $\dim L=3$ $\Phi (x)=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=0$ $|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|\neq 0$ $a_{i}$

Související pojmy

Při studiu nekonečněrozměrných funkčních prostorů hrají zvláštní roli spojité lineární funkcionály , jinak nazývané zobecněné funkce . Vlastnost spojitosti lineárního funkcionálu závisí na třídě funkcí (prostoru), na kterou působí. Je tedy snadné vidět, že některé z výše uvedených funkcionálů nejsou spojité , když působí na nespojité funkce (takové příklady lze snadno uvést). Avšak na oddělitelných prostorech — tedy v nejběžnějším a konstruktivně rozvinutém případě — jsou všechny spojité.
Reesova věta o reprezentaci říká, že každý spojitý lineární funkcionál v Hilbertově prostoru může být reprezentován podobným způsobem prostřednictvím skalárního součinu s nějakým prvkem tohoto prostoru. $(*)$
Pomocí zobecněných funkcí , zejména Diracovy delta funkce a jejích derivátů, lze mnoho lineárních funkcionálů, zejména z těch, které jsou uvedeny jako příklady výše, reprezentovat jako integrální funkcionály , například:

\Phi (f)=f(1)-f(0)=\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-1)f(x)dx-\int _{ -\infty }^{+\infty }\delta (x-0)f(x)dx=\int _{-\infty }^{+\infty }(\delta (x-1)-\delta (x ))f(x)dx

. V obvyklé abstraktní definici zobecněné funkce je definována jednoduše jako spojitý lineární funkcionál (v tradičním smyslu a notaci je funkcionál generován implikovanou integrací se zobecněnou funkcí).

Viz také

Literatura

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineární algebra a geometrie, - M.: Nauka, 1986.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie, Fizmatlit, Moskva, 2009.
Lyusternik L.A. , Sobolev V.I. Prvky funkcionální analýzy, - M.: Nauka, 1965.
Kantorovich L. V. , Akilov G. P. , Funkční analýza, 1. vydání, M., 1977.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - Jakékoli vydání.

Poznámky

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. - ch. III, § 3.7. — M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. - ch. III, s. 131. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. - ch. III, s. 132. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýza. - Jakékoli vydání.