Slabá konvergence

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. července 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Slabá konvergence ve funkcionální analýze je druh konvergence v topologických vektorových prostorech .

Definice

Nechť být topologické pole , být topologický vektorový prostor nad polem a být duální prostor , sestávající ze všech spojitých lineárních funkcionálů na . Pak je slabá topologie prostoru nejslabší z topologií, ve kterých všechny lineární funkcionály, které jsou spojité v původní topologii tohoto prostoru, jsou spojité. $K$ $X$ $K$ $X^{*}$ $X$ $X$

Předbázi slabé topologie tvoří množiny

{\displaystyle V_{x,f,\varepsilon }=\{\,y\in X:|f(y)-f(x)|<\varepsilon \,\))

pro všechny , , a . $x\in X$ $f\in X^{*}$ $\varepsilon >0$

Jinými slovy, posloupnost prvků slabě konverguje k prvku , pokud pro jakýkoli spojitý lineární funkcionál konverguje posloupnost čísel k . $x_{n}\in X$ $x_{\infty }\in X$ $f\in X^{*}$ $\{f(x_{n})\}$ $f(x_{\infty })$

Slabá* topologie je topologie, jejíž předbáze je tvořena množinami $X^{*}$

{\displaystyle V_{f,x,\varepsilon }^{*}=\{\,g\in X^{*}:|g(x)-f(x)|<\varepsilon \,\))

pro všechny , , a . $x\in X$ $f\in X^{*}$ $\varepsilon >0$

Jinými slovy, posloupnost funkcí slabě* konverguje k funkci , pokud pro nějakou , posloupnost čísel konverguje k . $f_{n}\in X^{*}$ $f_{\infty }\in X^{*}$ $x\in X$ $f_{n}(x)$ $f_{\infty }(x)$

Poznámky

Konvergence ve vesmíru , definovaná svou původní topologií, je prý silná . $X$

Vlastnosti

Pokud posloupnost konverguje silně k nějakému prvku, pak konverguje k tomuto prvku také slabě.
V konečném- dimenzionálním euklidovském prostoru se koncepty silné a slabé konvergence shodují.
V případě, že je normovaný vektorový prostor, platí následující tvrzení. Slabě konvergentní posloupnost prvků je omezená, tedy pro nějaké kladné číslo . Posloupnost prvků slabě konverguje k prvku , pokud je omezený, a konverguje k pro každý spojitý lineární funkcionál z nějaké podmnožiny prostoru, jehož lineární rozpětí je všude husté v . $X$ $\{x_{n}\}\subset X$ $\|x_{n}\|\leq C$ $C$ $\{x_{n}\}\subset X$ $x_{0}\v X$ $\{f(x_{n})\}$ $f(x_{0})$ $X^{*}$ $X^{*}$
Banachova-Alaoglu-Bourbakiho věta . Uzavřená jednotková koule prostoruje kompaktní v topologii slabého* prostoru. $X^{*}$ $X^{*}$
Eberleinova-Shmulianova věta. Podmnožina Banachova prostoru je slabě kompaktní právě tehdy, když je slabě sekvenční kompaktní. $A$ $X$

Příklad

Nechť je prostor spojitých funkcí na intervalu s normou definovanou rovnoměrnou konvergencí (silnou konvergencí). Posloupnost funkcí slabě konverguje k funkci tehdy a jen tehdy, jsou-li splněny dvě podmínky: 1) je rovnoměrně ohraničená, tedy pro všechny pro nějaké kladné číslo a 2) konverguje k bodově, to znamená, že číselná posloupnost konverguje k pro jakýkoli . $X=C[a,b]$ $[a,b]$ $\{x_{n}(\cdot )\}$ $x_{0}(\cdot )$ $|x_{n}(t)|\leq C$ $t\in [a,b]$ $C$ $\{x_{n}(\cdot )\}$ $x_{0}(\cdot )$ $\{x_{n}(t)\}$ $x_{0}(t)$ $t\in [a,b]$

Literatura

Lyusternik L.A. , Sobolev V.I. Prvky funkcionální analýzy, - M.: Nauka, 1965.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Prvky teorie funkcí a funkcionální analýzy, - Libovolné vydání.
Rudin U. Funkční analýza, - M.: Mir, 1975.