Hamiltonova-Jacobiho rovnice

Ve fyzice a matematice je Hamiltonova - Jacobiho rovnice rovnicí tvaru

H\left(q_{1},\tečky ,q_{n};{\frac {\částečné S}{\částečné q_{1))},\tečky ,{\frac {\částečné S}{ \partial q_{n}}};t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.

Zde S označuje klasickou akci , je klasický hamiltonián a jsou zobecněné souřadnice. $H(q_{1},\tečky ,q_{n};p_{1},\tečky ,p_{n};t)$ $Qi}$

Přímo souvisí s klasickou (nekvantovou) mechanikou, ale dobře se hodí pro vytvoření spojení mezi klasickou mechanikou a kvantovou mechanikou , protože ji lze například získat téměř přímo ze Schrödingerovy rovnice v aproximaci rychle oscilujícího vlnová funkce (velké frekvence a vlnová čísla).

V klasické mechanice obvykle vzniká speciální kanonickou transformací klasického Hamiltoniánu , která vede k této nelineární diferenciální rovnici prvního řádu , jejíž řešení popisuje chování dynamického systému.

Hamiltonovu-Jacobiho rovnici je třeba odlišit od pohybových rovnic Hamiltonových a Eulerových-Lagrangeových . Přestože je tato rovnice z nich odvozena, jedná se o jedinou rovnici popisující dynamiku mechanického systému s libovolným počtem stupňů volnosti s , na rozdíl od 2 s Hamiltonových rovnic a s Euler-Lagrangeových rovnic.

Hamilton-Jacobiho rovnice pomáhá elegantně vyřešit Keplerovu úlohu .

Kanonický převod

Hamiltonova-Jacobiho rovnice bezprostředně vyplývá ze skutečnosti, že pro jakoukoli generující funkci (bez zanedbání indexů) nabývají pohybové rovnice stejný tvar pro a za následující transformace: $S(q,p',t)$ $H(q,p,t)$ $H'(q',p',t)$

(1)\quad {\frac {\partial S}{\partial q}}=p,\quad {\frac {\partial S}{\partial p'}}=q',\quad H' =H+{\frac {\částečné S}{\částečné t)).

Stávají se nové pohybové rovnice

(2)\quad {\frac {\partial H'}{\partial q'}}=-{\frac {dp'}{dt)),\quad {\frac {\partial H'}{ \partial p'}}={\frac {dq'}{dt}}.

Hamiltonova-Jacobiho rovnice vychází ze specifické generující funkce S , díky níž je Hʹ identické s nulou. V tomto případě všechny jeho deriváty zmizí a

(3)\quad {\frac {dp'}{dt))={\frac {dq'}{dt))=0.

V primárním souřadnicovém systému je tedy systém dokonale stacionární ve fázovém prostoru . Dosud jsme však neurčili, jakou generující funkcí S je dosaženo transformace do primárního souřadnicového systému. Využíváme toho

H'(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t))=0.

Protože rovnice (1) dává , můžeme psát $p=\partial S/\partial q,$

H\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q)),t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t))=0,

což je Hamiltonova-Jacobiho rovnice.

Řešení

Hamiltonova–Jacobiho rovnice se často řeší separací proměnných . Do rovnice nechť vstoupí nějaká souřadnice (pro definitivnost si povíme ) a jí odpovídající hybnost ve tvaru $q_{1}$ ${\frac {\partial S}{\partial q_{1))}$

{\frac {\partial S}{\partial t))+H\left(f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1)) }\right),q_{2},\tečky ,q_{n},{\frac {\částečné S}{\částečné q_{2))},\tečky ,{\frac {\částečné S}{\částečné q_{n}}}\right)=0.

Pak můžete dát

f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1))}\right)=\alpha _{1},

{\frac {\partial S}{\partial q_{1))}=g_{1}(q_{1},\alpha _{1}),

kde je libovolná konstanta, je inverzní funkce a řešte Hamiltonovu-Jacobiho rovnici s méně proměnnými. Pokud proces může pokračovat ve všech proměnných, pak řešení rovnice bude mít tvar $\alpha_{1}$ $g_{1}$

S=-\int H(\alpha _{1},\tečky ,\alpha _{n})\,dt+\int g_{1}(q_{1},\alpha _{1})\ ,dq_{1}+\int g_{2}(q_{2},\alpha _{1},\alpha _{2})\,dq_{2}+\ldots +\int g_{n}(q_ {n},\alpha _{1},\tečky ,\alpha _{n})\,dq_{n}+k,

kde jsou libovolné konstanty, je integrační konstanta. Připomeňme, že v tomto případě je funkcí koncového bodu . Protože akce definuje kanonickou transformaci hamiltonovského systému, jeho derivace s ohledem na souřadnice jsou v novém souřadnicovém systému momenty, takže je třeba je zachovat: $\alpha_i$ $k$ $S$ $(q_{1},\dots ,q_{n})$

\beta _{i}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{i))}(\mathbf {q} ,\alpha _{1},\tečky ,\alpha _{ n},t).

Spolu s rovnicemi hybnosti to určuje pohyb systému.

Také, jestliže v holonomickém systému se stupni volnosti tvarpotenciální energieatvarenergiekinetickámá [1] . $s$ $T={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}({\dot {q}}_{m}^{2}),$ $\Pi ={\frac {1}{f}}f\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m}),$ $f=\sum _{m=1}^{s}F_{m}(q_{m}),$

Viz také

Poznámky

↑ Butenin, 1971 , str. 167.

Literatura

Článek ve fyzické encyklopedii
Gantmakher F. R. Přednášky o analytické mechanice . 2. vydání - M .: Nauka, 1966.
Dobronravov VV Základy analytické mechaniky . - M .: Vyšší škola, 1976.
Landau L. D., Lifshitz E. M. Mechanika. - 5. vydání, stereotypní. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 s. — („Teoretická fyzika“, svazek I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Lanczos K. Variační principy mechaniky . — M.: Fizmatgiz. 1965.
Leach JW klasická mechanika . - M .: Zahraniční. literatura, 1961.
Pavlenko Yu.G. Přednášky o teoretické mechanice. — M.: FIZMATLIT, 2002. — 392 s.
Pars L. A. Analytická dynamika . — M.: Nauka, 1971.
Butenin NV Úvod do analytické mechaniky. - M. : Nauka, 1971. - 264 s.