Čisté imaginární číslo

... (vybraný fragment se neomezeně opakuje)
i -3 = i
i - 2 = -1
i −1 = − i
i 0 = 1
i 1 = i
i 2 = -1
i 3 = − i
i 4 = 1
i 5 = i
i 6 = -1
i n = i m , kde m ≡ n mod 4

Čistě imaginární číslo je komplexní číslo s nulovou reálnou částí . Někdy se pouze takovým číslům říká imaginární čísla, ale termín se používá i pro označení libovolných komplexních čísel s nenulovou imaginární částí [1] . Termín „imaginární číslo“ navrhl v 17. století francouzský matematik René Descartes [2] , zpočátku měl tento termín pejorativní význam, protože taková čísla byla považována za fiktivní nebo zbytečná, a teprve po pracích Leonharda Eulera a Carla Gausse získal tento koncept uznání ve vědecké komunitě.

Definice

Dovolit být komplexní číslo, kde a jsou reálná čísla . Čísla nebo a nebo se nazývají příslušně reálné a imaginární (podobně jako v angličtině real, imaginary ) části . $z=x+iy$ $X$ $y$ $x=\Re(z)$ $\operatorname {Re}~z$ $y=\já (z)$ $\operatorname {Im}~z$ $z$

If , then se nazývá čistě imaginární číslo. $x=0$ $z$
Jestliže , pak je reálné číslo . $y=0$ $z$

Historie

Starověký řecký matematik a inženýr Heron z Alexandrie [3] [4] jako první ve svých dílech zmínil imaginární čísla , ale pravidla pro provádění aritmetických operací (zejména násobení ) na nich zavedl Rafael Bombelli v roce 1572 . Bombelliho koncept předchází podobnou práci Gerolama Cardana . V 16.-17. století byla imaginární čísla většinou vědecké komunity považována za fiktivní nebo zbytečná (podobně, jak byl ve své době vnímán pojem nula ). Zejména René Descartes, zmiňující imaginární čísla ve svém základním díle „ Geometrie “, použil termín „imaginární“ v pejorativním smyslu [5] [6] . Použití imaginárních čísel se rozšířilo až za prací Leonharda Eulera (1707-1783) a Carla Friedricha Gausse (1777-1855). Geometrický význam komplexních čísel jako bodů v rovině poprvé popsal Kaspar Wessel (1745-1818) [7] .

V roce 1843 rozšířil irský matematik William Hamilton myšlenku osy imaginárních čísel v rovině na čtyřrozměrný kvaternionový prostor , ve kterém jsou tři rozměry analogické s imaginárními čísly v komplexním poli.

S rozvojem konceptu okruhu polynomů v teorii faktorových okruhů se koncept imaginárního čísla stal smysluplnějším a byl dále rozvíjen v konceptu j - bikomplexních čísel , jejichž druhá mocnina je rovna +1 . Tato myšlenka se objevila v článku z roku 1848 anglického matematika Jamese Cockla 8] .

Geometrická interpretace

V rovině komplexních čísel jsou imaginární čísla na svislé ose kolmé k ose reálného čísla . Jedním ze způsobů, jak geometricky interpretovat imaginární čísla, je vzít v úvahu standardní číselnou řadu , kde kladná čísla jsou vpravo a záporná čísla vlevo. Prostřednictvím bodu 0 na ose x lze nakreslit osu y s "kladným" směrem nahoru; „kladná“ imaginární čísla narůstají ve velikosti směrem nahoru, zatímco „záporná“ imaginární čísla rostou ve velikosti směrem dolů. Tato vertikální osa se často nazývá „imaginární osa“ a označuje se i ℝ , , nebo ℑ . $\scriptstyle \mathbb {I}$

V tomto znázornění odpovídá násobení -1 otočení o 180 stupňů od počátku. Násobení i odpovídá otočení o 90 stupňů v "kladném" směru (tj. proti směru hodinových ručiček) a rovnice i 2 = −1 se interpretuje tak, že pokud použijeme dvě otočení o 90 stupňů kolem počátku, výsledkem je jedno otočení o 180 stupňů. stupně. Otočení o 90 stupňů v "negativním" směru (tedy ve směru hodinových ručiček) však také vyhovuje této interpretaci. To odráží skutečnost, že − i je také řešením rovnice x 2 = −1 . Obecně platí, že násobení komplexním číslem je analogické otáčení kolem počátku argumentu komplexního čísla a následnému škálování podle jeho velikosti.

Odmocniny záporných čísel

Při práci s imaginárními čísly, což jsou hlavní hodnoty odmocnin záporných čísel , je třeba dávat pozor . Například takový matematický sofismus : [9]

6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)))\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)( 3i)=6i^{2}=-6.

Někdy se to píše takto:

-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (sofismus) }}{=}}{\sqrt {(- 1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.

Podobný matematický sofismus vzniká, když proměnné v rovnosti nemají odpovídající omezení. V tomto případě rovnost selže, protože obě čísla jsou záporná. To lze ukázat jako ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$

{\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}} {\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},

kde x i y jsou nezáporná reálná čísla.

Viz také

Poznámky

↑ Komplexní číslo // " Matematická encyklopedie " / Šéfredaktor I. M. Vinogradov. - M. : "Sovětská encyklopedie", 1982. - T. 3. - S. 708. - 1183 s. - (51 [03] M34).
↑ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe. Matematická analýza : Aproximace a diskrétní procesy . — ilustrovaný. - Springer Science & Business Media , 2004. - S. 121. - ISBN 978-0-8176-4337-9 . Výňatek ze strany 121
↑ Hargittai, István. Pětinásobná symetrie (neopr.) . — 2. - World Scientific , 1992. - S. 153. - ISBN 981-02-0600-3 .
↑ Roy, Stephen Campbell. Komplexní čísla : mřížková simulace a aplikace zeta funkce . - Horwood, 2007. - S. 1. - ISBN 1-904275-25-7 .
↑ René Descartes, Discourse de la Méthode ... (Leiden, (Nizozemsko): Jan Maire, 1637), kniha citována: Geometrie , kniha 3, s. 380. Ze str. 380: „Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque rovnice; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui odpovídá a celles qu'on představit si, comme encore qu'on en puisse imaginr trois en celle cy, x 3 - 6xx + 13x - 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." („Navíc, jak pravé kořeny, tak nepravdivé [kořeny] nejsou vždy skutečné; ale někdy existují pouze imaginární [čísla]; to znamená, že v každé rovnici lze vždy reprezentovat tolik, kolik jsem řekl; ale někdy neexistuje žádná taková velikost , což odpovídá tomu, co si lze představit, stejně jako v této [rovnici], x 3 - 6xx + 13x - 10 = 0, kde pouze jeden kořen je skutečný a rovná se 2, a ve vztahu k dalším dvěma, ačkoli se jeden zvětšuje, nebo je zmenší nebo znásobí způsobem, který jsem právě vysvětlil, nikdo je nedokáže odlišit od imaginárních [hodnot].“)
↑ Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8 .
↑ Rozenfeld, Boris Abramovič. Kapitola 10 // Historie neeuklidovské geometrie: vývoj konceptu geometrického prostoru (anglicky) . - Springer, 1988. - S. 382. - ISBN 0-387-96458-4 .
↑ Cockle, James (1848) „O určitých funkcích připomínajících kvaterniony a o nové imaginárně v algebře“, London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine , řada 3, 33:435-9 a Cockle (1849) „O nové imaginárně v algebře “, Filosofický časopis 34:37-47
↑ Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of "i" [druhá odmocnina z mínus jedna ] . - Princeton University Press , 2010. - S. 12. - ISBN 978-1-4008-3029-9 . Výňatek ze strany 12

Literatura

Fikhtengolts G.M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. 2. - 810 s.
Nahin, Paul. Imaginární příběh: Příběh druhé odmocniny z −1 (anglicky) . - Princeton: Princeton University Press , 1998. - ISBN 0-691-02795-1 .

Odkazy

Jak lze ukázat, že imaginární čísla skutečně existují? (Angličtina)
V naší době : Imaginární čísla
Program 5Numbers 4
Proč používat imaginární čísla? (Angličtina)

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština Skvělý norský Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4588957-0