Nula

0
nula
−2 −1 0 1 2   →  _  _
Binární 0
Osmičková 0
Hexadecimální 0
 Mediální soubory na Wikimedia Commons

Nula ( 0 , nula z lat.  nullus  - žádné [2] ) je celé číslo , které po přičtení nebo odečtení od libovolného čísla nemění poslední [3] , to znamená, že dává výsledek rovný tomuto poslednímu ; vynásobením libovolného čísla nulou dostaneme nulu [4] .

The Big Explanatory Dictionary of Kuznetsov (2009) [5] uvádí obě formy slova: nula, nula  - jako ekvivalent, i když existuje určitý rozdíl v použití. Zejména tvar nula se v terminologii používá častěji, zejména v nepřímých pádech, je také brán jako základ pro tvoření přídavného jména nula  - podle toho se tvar nula častěji používá v nominativu (viz postranní panel) .

Nula hraje mimořádně důležitou roli v matematice a fyzice [6] .

Nula v matematice

Číslovka "nula" v matematice

Číslo "nula" je matematický znak vyjadřující absenci hodnoty tohoto bitu v zápisu čísla v poziční číselné soustavě . V současnosti se tento údaj téměř vždy označuje „0“ (podle indoarabského zápisu čísel). Číslice nula, umístěná napravo od jiné číslice, zvyšuje číselnou hodnotu všech číslic nalevo o číslici (např. v desítkové soustavě čísel násobí deseti). Porovnejte např. čísla 4 10 a 40 10 ; 4 16 a 40 16 (dolní index znamená základ číselné soustavy). Pojetí nuly se historicky objevilo jako speciální digitální symbol požadovaný při psaní čísel v poziční číselné soustavě . Tento symbol označoval absenci hodnoty v odpovídajícím bitu, což umožnilo nezaměnit např. záznamy

Číslo 0 je spojeno se zvláště jednoduchými znaky dělitelnosti celých čísel.

V desítkové soustavě čísel:

Podobné znaky dělitelnosti jsou k dispozici pro čísla 1000, 10000 atd.

Značky dělitelnosti spojené s číslem 0 v desítkové soustavě lze obzvláště snadno kombinovat se znaménky dělitelnosti 2 a 5, například:

Podobné znaky dělitelnosti jsou k dispozici pro čísla 200, 500, 2000, 5000 atd.

Znaménka dělitelnosti spojená s číslem "0" v jiných číselných soustavách jsou podobná těm v desítkové soustavě. Konkrétně v jakékoli číselné soustavě se základem k je číslo dělitelné kn, pokud končí n nulami.

Číslo "nula" v matematice

Příslušnost k přirozeným číslům

Existují dva přístupy k definici přirozených čísel  – někteří autoři řadí nulu mezi přirozená čísla [7] , jiní ne. V ruských školních učebních osnovách matematiky není obvyklé přidávat k přirozeným číslům nulu, i když to ztěžuje některé formulace (například je třeba rozlišovat mezi dělením se zbytkem a dělením celým číslem ). Za kompromis prameny někdy považují „rozšířenou přirozenou řadu“, včetně nuly [8] .

Množina všech přirozených čísel se obvykle označuje symbolem . Mezinárodní normy ISO 31-11 (1992) a ISO 80000-2 (2009) stanoví následující označení [9] :

  •  - přirozená čísla včetně nuly: .
  •  - přirozená čísla bez nuly: .

Stejně jako v ISO je zápis pro množinu přirozených čísel pevně stanoven v ruské GOST 2011: R 54521-2011, tabulka 6.1 [10] . Přesto se v ruských pramenech tato norma zatím nedodržuje - symbol v nich označuje přirozená čísla bez nuly a rozšířená přirozená řada se označuje např. atd. [8]

Základní vlastnosti nuly
  • Vydělením nuly libovolným nenulovým číslem dostaneme nulu:
v Dělení nulou Pokud označíme , pak by podle definice mělo být dělení formálně , zatímco výraz , pro jakýkoli , se rovná nule. Jinými slovy, v žádném poli neexistuje žádný inverzní prvek pro nulu . Významy jednotlivých funkcí
  • Faktoriál nuly se podle dohody [12] rovná jedné: . S takovou dohodou bude identita pravdivá pro
  • Výsledek zvýšení nuly na kladnou mocninu je nula: při . Zvyšovat nulu na jakoukoli zápornou moc nedává smysl.
  • Výsledek zvýšení libovolného čísla (kromě nuly) na nulovou mocninu je roven jedné: .
To je způsobeno skutečností, že funkce dvou proměnných v bodě má neredukovatelnou diskontinuitu . Ve skutečnosti podél kladného směru osy , kde se rovná jedné, a podél kladného směru osy , kde se rovná nule. Více podrobností naleznete v článku Zero to the power zero . Nula v geometrii
  • Bod lze považovat za objekt s nulovou dimenzí .
  • Bod v rovině s jednou nulovou souřadnicí leží na odpovídající souřadnicové ose. Obě nulové souřadnice definují bod nazývaný počátek .
  • Bod v trojrozměrném prostoru s jednou nulovou souřadnicí leží na odpovídající souřadnicové rovině. Bod v trojrozměrném prostoru se také nazývá počátek, pokud jsou všechny jeho souřadnice nulové.
  • Podobná tvrzení platí pro prostor libovolné dimenze .
  • Na kružnici se pozice 0° a 360° shodují.
Nula v počtu
  • Při výpočtu limity vztahu , kde a , nastává taková situace, že přímá substituce dává výraz, jehož hodnota není definována. V procesu odhalování nejistot je možných sedm takových situací a ve čtyřech z nich je formálně přítomna nula: , , , .
  • Dobře definovaná situace je také možná, když se uvažuje jednostranná (pravá nebo levá) mez nekonečně malé hodnoty:
  • Pravý limit: _ nebo _ .
  • Levý limit: _ nebo _ .
Zobecnění (nula v obecné algebře)

Analog nuly může existovat v jakékoli množině, na které je definována operace sčítání; v obecné algebře se takový prvek někdy nazývá neutrální prvek , někdy aditivní nula , nejčastěji nula s ohledem na sčítání . Příklady takového prvku jsou nulový vektor a nulová matice . (Pokud je operace násobení definována na množině, lze jednotku násobení považovat za analog nuly nebo jednotku s ohledem na násobení  , pokud existuje.)

Algebraické struktury vybavené jak sčítáním, tak násobením mohou také obsahovat analog nuly. Nulový prvek obsahuje libovolný prsten a jeho speciální případy - tělo a pole . Například matice čtvercové nulové velikosti je nulovým prvkem prstence čtvercové matice . Okruh polynomů má také nulový prvek - polynom s nulovými koeficienty nebo nulový polynom , .

Nula v informatice a výpočetní technice

Číslo "nula" v informatice a výpočetní technice

Naprostá většina počítačů je založena na binárním systému , to znamená, že jejich paměť obsahuje pouze nuly a jedničky. Nečíselná data používají standardní kódování – například logické pojmy TRUE a FALSE jsou obvykle kódovány jako 1 a 0 a Unicode byl vyvinut pro textová data v různých jazycích .

Při práci s počítačem z důvodu nebezpečí záměny čísla 0 s latinským nebo ruským písmenem O , což může způsobit vážné následky, bylo svého času doporučení [16] vyškrtnout nulu : . Někdy to udělali naopak: při programování na počítači Minsk-32 přeškrtli písmeno O a ne nulu [17] . Generátory znaků mnoha textových terminálů , video adaptérů a jehličkových tiskáren také při práci v textovém režimu vydávají nulu v přeškrtnutém tvaru (některé tiskárny měly vestavěné přepínače pro zapnutí a vypnutí režimu přeškrtnutí nuly) [18] [19] . Na displejích IBM 3270 bylo číslo 0 zobrazeno s tečkou uprostřed. Vizuální rozlišení mezi číslem 0 a písmenem O zůstává důležitým požadavkem pro jednoprostorová písma . V proporcionálních fontech je písmeno O znatelně širší než nula, takže přeškrtnutí obvykle není vyžadováno.

Přeškrtnutá nula nemá samostatný znak Unicode; lze jej získat jako znak U+0030 bezprostředně následovaný U+FE00, výsledek však závisí jak na aktuálním písmu, tak na prohlížeči. Někdy se místo toho používají podobně vypadající symboly pro skandinávské písmeno (Ø), prázdnou sadu (∅) nebo průměr (⌀). Některá písma OpenType obsahují speciální možnost zero-strike, pro kterou existuje speciální možnost v CSSfont-feature-settings: zero .

Číslo "nula" v informatice a výpočetní technice

V počítačích existuje pojem „ nula stroje “ - jedná se o číslo s plovoucí desetinnou čárkou a takové záporné pořadí, které počítač vnímá jako nulu.

Další rys reprezentace dat v informatice: v mnoha programovacích jazycích se prvky datového pole nečíslují od obvyklé jednotky, ale od nuly, takže popis skutečného M(n) znamená .array Platforma Microsoft .NET Framework sjednotil tento standard a dokonce přeložil Visual Basic , který původně používal číslování od jedné.

V SQL databázích může mít pole speciální hodnotu NULL , což neznamená nulu, ale nedefinovanou hodnotu. Jakýkoli výraz obsahující hodnotu NULL má za následek hodnotu NULL.

V matematice ; to znamená, že představují stejné číslo, neexistují žádné oddělené kladné a záporné nuly. V některých počítačových formátech (například ve standardu IEEE 754 nebo v dopředném a zpětném kódu ) však existují dvě různé reprezentace nuly: kladné (s kladným znaménkem) a záporné; podrobnosti viz −0 (programování) . Tyto rozdíly však neovlivňují výsledky výpočtů.

Desetinná
reprezentace
Binární reprezentace (8 bitů)
rovný zadní další
+0        0000 0000        0000 0000        0000 0000       
-0        1 000 0000        1111 1111       

Historie nuly

Historie čísla 0

Číslo 0 se objevilo současně s příchodem pozičního (místního) číslování - desítkové v Indii a šestinásobné v Babylóně.

Starověký východ

Babylonští matematici označovali šestinásobnou nulu, nejprve mezeru a pak speciální klínové písmo „dvojitý klín“; předpokládá se, že poslední odznak používali Babyloňané asi od roku 300 př. Kr. e. a jejich sumerští učitelé to pravděpodobně udělali ještě dříve. Symbol „dvojitého klínu“ babylonských mudrců však nikdy neměl samostatný význam a byl vnímán nikoli jako číslo, ale jako absence čísla; navíc nebylo nikdy umístěno na konec číselného záznamu, takže řekněme čísla 2 a 120 (2×60) bylo nutné rozlišovat podle kontextu [20] [21] .

Číslo 0 chybělo v římském, řeckém a čínském systému číslování. Tento údaj byl vynechán tím, že některým symbolům byly přiřazeny hodnoty velkých čísel. Například číslo 100 v řeckém číselném systému bylo označeno písmenem Ρ, v římském  jazyce - písmenem C, v čínštině  - hieroglyfem 百.

Mayové a Inkové

Mayská říše existovala na poloostrově Yucatán asi od roku 300 př. E. do roku 900 našeho letopočtu E. Mayové používali nulu ve své vigesimální číselné soustavě téměř o tisíciletí dříve než Indové, ale pouze kněžími a pouze pro potřeby kalendáře (v běžném životě Mayové používali systém hieroglyfických pěti) [22] . První dochovaná stéla s datem mayského kalendáře je datována 7.16.3.2.13, 6. Ben 16 Shul, tedy 8. prosince 36 př. Kr. E.

Je zvláštní, že nekonečno bylo také označeno stejným znakem mayské matematiky , protože neznamenalo nulu v evropském smyslu slova, ale „počátek“, „důvod“ [23] . Počítání dnů v měsíci v mayském kalendáři začalo nultým dnem, který se nazýval Ahau .

V incké říši Tahuantinsuyu byl k zaznamenávání číselných informací použit uzlový systém quipu, založený na pozičním desítkovém číselném systému. Čísla od 1 do 9 byla označena uzly určitého typu, nula - přeskočením uzlu v požadované poloze. V moderní kečuánštině je nula označena kečuánským slovem ch'usaq (dosl. „nepřítomný“, „prázdný“), ale jaké slovo používali Inkové k označení nuly při čtení quipu, není dosud jasné, protože např. v některé z prvních kečuánských španělštiny ( Diego González Holguín , 1608) a prvních aymarsko-španělských ( Ludovico Bertonio , 1612) neměly shodu pro španělské „cero“ – „nula“.

Indie

V Indii se číslo „nula“ nazývalo sanskrtským slovem śūnyaḥ („prázdnota“; „nepřítomnost“) a bylo široce používáno v poezii a posvátných textech. Bez nuly by byl desetinný poziční zápis čísel vynalezený v Indii nemožný . První znak pro nulu se nachází v indickém „ bakhshali manuskriptu “ z roku 876 n. l. vypadá jako tlustá tečka nebo vyplněný kruh, později nazývaný śūnya-binduḥ „bod prázdnoty“ [24] [25] .

Od Indů přes Araby, kteří číslu 0 říkali ṣifr (odtud slova figura , šifra a italsky  nula , nula ), se dostalo do západní Evropy [26] .

Evropa

Ve Vídni je uložena ručně psaná aritmetika z 15. století, získaná v Konstantinopoli ( Istanbul ), ve které se používají řecké číselné znaky spolu s označením nuly s tečkou [27] . V latinských překladech arabských pojednání z 12. století se znak nuly (0) nazývá kruh - circulus . V příručce Sacrobosco , která měla velký vliv na výuku aritmetiky v západních zemích , sepsaná v roce 1250 a přetištěná v mnoha zemích, se nula nazývá „ thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili “ - theta nebo teka , nebo kruh , nebo postava , nebo znamení ničeho . Pojem nulla figura  – žádné znamení – se objevuje v ručně psaných latinských překladech a úpravách arabských děl z 12. století. Termín nulla se nachází v rukopise Nicolase Schuqueta z roku 1484 a v prvním tištěném tzv. (podle místa vydání) Trevize aritmetice (1478) [28] .

Od počátku 16. století se v Německu a dalších zemích hojně používalo slovo „nula“ , nejprve jako cizí slovo a v latinské gramatické podobě, postupně však nabývá podoby charakteristické pro tento národní jazyk.

Rusko

Leonty Magnitsky ve své " Aritmetice " nazývá znak 0 "číslice nebo nic" (první strana textu); na druhé stránce v tabulce, kde je každá číslice uvedena jménem, ​​se 0 nazývá „ žádná “. Na konci 18. století, ve druhém ruském vydání „ Zkratky prvních základů matematiky “ od X. Wolfa ( 1791 ), se nule také říká číslo . V matematických rukopisech 17. století, používajících indické číslice, se 0 nazývá „zapnuto “ kvůli své podobnosti s písmenem o [29] .

Historie čísla "nula"

Přestože v egyptské číselné soustavě neexistuje číslo 0 , egyptští matematici již ze střední říše (začátek 2. tisíciletí př. n. l.) místo něj používali hieroglyf nfr („krásný“), což také znamenalo začátek odpočítávání v r. schémata chrámů, pyramid a hrobek [30] .

V čínských záznamech čísel také chybí číslo „nula“, k označení čísla „nula“ používají znak 〇 – jeden z „ hieroglyfů císařovny Wu Zetian “.

Ve starověkém Řecku nebylo číslo 0 známé. V astronomických tabulkách Claudia Ptolemaia byly prázdné buňky označeny symbolem ο (písmeno omicron , z jiné řečtiny οὐδέν  - nic ); je možné, že toto označení ovlivnilo vzhled čísla „nula“, ale většina historiků uznává, že indičtí matematici vynalezli desetinnou nulu .

V Evropě byla po dlouhou dobu 0 považována za konvenční symbol a nebyla uznávána jako číslo; ještě v 17. století Wallis napsal: "Nula není číslo." V aritmetických spisech bylo záporné číslo interpretováno jako dluh a nula jako situace úplného zmaru. K úplnému vyrovnání jeho práv s jinými čísly přispěla zejména díla Leonharda Eulera .

Viz také

Poznámky

  1. 1 2 D. E. Rosenthal . Průvodce pravopisem, výslovností, literární úpravou. Kapitola X. Pravopis číslovek. Archivováno 12. ledna 2015 na Wayback Machine M.: CheRo, 1999.
  2. Encyklopedický slovník mladého matematika, 1985 .
  3. Nula // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3. - S. 1082.
  4. Zero // Velký encyklopedický slovník . — 2000.
  5. Velký výkladový slovník ruského jazyka. Ch. vyd. S. A. Kuzněcov. První vydání: Petrohrad: Norint, 1998.
  6. Nejdůležitější číslo je nula. Byl to geniální nápad udělat něco z ničeho, dát tomu jméno a vymyslet pro to symbol.

    Van der Waerden B. L. Věda probuzení. Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka. - M.: Fizmatlit, 1959. - S. 77.
  7. Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. Historické kořeny elementární matematiky  (anglicky) . - Courier Dover Publications , 1976. - S. 254-255. - ISBN 0-486-13968-9 . , Výňatek ze stran 254—255 Archivováno 10. května 2016 na Wayback Machine
  8. 1 2 Potapov M. K., Alexandrov V. V., Pasichenko P. I. Algebra a analýza elementárních funkcí. - M. : Nauka, 1981. - S. 9. - 560 s.
  9. Mezinárodní standard 80000-2:2009. Část 2 . Lidé NCSU COE . Staženo 12. 8. 2019. Archivováno z originálu 28. 2. 2019.
  10. GOST R 54521-2011 Statistické metody. Matematické symboly a znaky pro použití v normách (reissue) z 24. listopadu 2011 - docs.cntd.ru. docs.cntd.ru _ Získáno 14. ledna 2022. Archivováno z originálu dne 9. července 2021.
  11. ↑ 1 2 Savin A.P. Encyklopedický slovník mladého matematika / komp. A. P. Savin. - M .: "Pedagogika", 1989. - S. 219.
  12. Tsypkin A. G. Příručka matematiky pro střední školy / Ed. S. A. Štěpánová. - 3. vyd. - M. : Nauka, 1983. - S. 415. - 480 s.
  13. Jaká je síla čísla Archivováno 28. července 2021 na Wayback Machine // Školní matematika, internetový zdroj.
  14. Proč je číslo s mocninou 0 rovno 1? Archivní kopie ze dne 2. dubna 2015 na Wayback Machine // Naukolandiya, internetový zdroj.
  15. Funkce napájení Archivováno 2. dubna 2015 na Wayback Machine // Great Soviet Encyclopedia. - M .: Sovětská encyklopedie 1969-1978.
  16. Brich Z. S., Voyush V. I., Degtyareva G. S., Kovalevich E. V. Programming in Assembler Language of the ES Computer. — M .: Statistika, 1976. — 296 s.  - S. 13-14, 19.
  17. Kulakovskaya V.P., Romanovskaya L.M., Savchenko T.A., Feldman L.S. Kobol Computer Minsk-32. Příspěvek pro zaměstnance výpočetních středisek. - M. : Statistika, 1973. - 284 s.
  18. Bryabrin V. M. Software pro osobní počítače. 3. vyd. — M .: Nauka , 1990. — 272 s. — ISBN 5-02-014824-5 .  - S. 17, 113-114.
  19. Smirnov N. N. Software pro osobní počítače. - L .: Mashinostroenie, 1990. - 272 s. — ISBN 5-217-00029-5 .  - S. 13, 80-81.
  20. Lamberto Garcia del Cid. Zvláštní čísla jiných kultur → 116 // Pozoruhodná čísla. Nula, 666 a další bestie. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 116. - 159 s. — (Svět matematiky). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
  21. Beránek, Evelyn (31. srpna 2014), Podívej, mami, žádná nula! , Scientific American , Roots of Unity , < http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2014/08/31/look-ma-no-zero/ > Archivováno 17. října 2014 na Wayback Machine 
  22. Menninger K. Historie čísel. Čísla, symboly, slova . - M. : ZAO Tsentrpoligraf, 2011. - S.  469 -470. — 543 str. — ISBN 9785952449787 .
  23. Laura Laurencich-Minelli. Podivuhodná představa o mezoamerickém a andském „objektu nula“ a logika číselných bohů Inků . Archivováno z originálu 23. července 2012.
  24. Rozruch kolem nuly . Získáno 19. září 2017. Archivováno z originálu 20. září 2017.
  25. ↑ Mnoho povyku pro nic : staroindický text obsahuje nejstarší symbol nuly  . The Guardian (14. září 2017). Získáno 19. září 2017. Archivováno z originálu 20. listopadu 2017.
  26. Lamberto Garcia del Cid. Zvláštní čísla jiných kultur → 116 // Pozoruhodná čísla. Nula, 666 a další bestie. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 115. - 159 s. — (Svět matematiky). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
  27. „Zentralblatt für Mathematik“, duben 1957, sdělení českého historika matematiky G. Vettera.
  28. Depman, 1965 , str. 89.
  29. Depman, 1965 , str. 90.
  30. Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (třetí vydání)  (anglicky) . — Princeton University Press , 2011. — S.  86 . - ISBN 978-0-691-13526-7 .

Literatura

Odkazy