Znak (matematika)

Znaménko reálného čísla v aritmetice umožňuje rozlišit záporná od kladných čísel ; Tradičně se znaménko označuje znaménkem plus (kladná čísla) nebo znaménkem mínus (záporná) před napsáním čísla. Pokud není zadáno plus ani mínus, je číslo považováno za kladné. Nula jako speciální číslo nemá žádné znaménko.

Příklady zápisu číslic: Poslední číslo nemá znaménko a je tedy kladné. $+36{,}6;\ {-}273;\ 142.$

Plus a mínus označují znaménko pro čísla, ale ne pro doslovné proměnné nebo algebraické výrazy. Například ve vzorcích symboly plus a mínus neurčují znaménko výrazu, kterému předcházejí, ale znaménko aritmetické operace, takže znaménko výsledku může být libovolné, určuje se až po výpočtu výrazu . $-t;\ a+b;\ -(a^{2}+b^{2})$

Kromě aritmetiky se pojem znaménka používá v jiných odvětvích matematiky, včetně nenumerických matematických objektů (viz níže). Pojem znamení je také důležitý v těch odvětvích fyziky, kde jsou fyzikální veličiny rozděleny do dvou tříd, podmíněně nazývaných pozitivní a negativní - například elektrické náboje , teplota , pozitivní a negativní zpětná vazba , nadmořská výška , různé síly přitažlivosti a odpuzování. V ekonomii vám znak umožňuje rozlišit zisk od ztráty, kladný zůstatek kreditní karty od záporného atd.

Znak čísla

Kladná a záporná čísla

Reálné číslo se nazývá kladné, pokud je větší než nula, a záporné , pokud je menší. Kladná čísla se zapisují se znaménkem plus nebo bez znaménka, záporná čísla se znaménkem mínus [1] .

Nule není přiřazeno žádné znaménko, to znamená a v aritmetice je to stejné číslo [1] . V teorii limit matematické analýzy se význam symbolů a může lišit, viz o tomto Záporná a kladná nula . V informatice se nemusí shodovat ani počítačové kódování dvou nul ( celočíselný typ ), viz přímý kód . $+0$ $-0$ $+0$ $-0$

V souvislosti s výše uvedeným je zavedeno několik dalších užitečných termínů:

Číslo je nezáporné , pokud je větší nebo rovno nule.
Číslo je nekladné, pokud je menší nebo rovno nule.
Kladná nenulová čísla a záporná nenulová čísla jsou někdy (pro zdůraznění, že jsou nenulová) nazývána „přísně kladná“ a „přísně záporná“.

Stejná terminologie se někdy používá pro skutečné funkce . Například funkce se nazývá pozitivní , pokud jsou všechny její hodnoty kladné, nezáporné , pokud jsou všechny její hodnoty nezáporné atd. Také se říká, že funkce je kladná/záporná na daném intervalu jejího definice..

Pro komplexní čísla pojem znaménka čísla neexistuje, protože pro ně není definováno, jak porovnávat čísla o více/méně .

Notace

Množina kladných reálných čísel je označena jako . $\mathbb {R} _{>0}$
Množina nezáporných reálných čísel je označena jako . ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geqslant 0))$
Množina záporných reálných čísel je označena jako . $\mathbb {R} _{<0}$
Množina nekladných reálných čísel je označena jako . ${\displaystyle \mathbb {R} _{\leqslant 0))$

Funkce znaménka sgn(x)

Funkce znaménka (vyslov: signum of x ) je často užitečná jako indikátor znaménka čísla. Tato funkce je definována následovně: $y=\operatorname {sgn}(x)$

\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1\quad (x<0),\\~~\,0\quad (x=0),\\~~\,1 \quad (x>0).\end{cases}}

Jinými slovy, funkce je stejná pro kladný argument, pro záporný argument a nula pro nulový argument. Funkce je také poskytována v řadě programovacích jazyků . $jeden$ $-jeden$

Příklad použití funkce najdete v článku Druhá odmocnina#Komplexní čísla .

Modul (absolutní hodnota) čísla

Pokud z čísla vypadne znaménko, výsledná hodnota se nazývá modul nebo absolutní hodnota čísla , označuje se Příklady: $X$ $X$ $|x|.$ $|3|=3;\ |{-3}|=3.$

Pro všechna reálná čísla platí následující vlastnosti. $a,b$

Vzorec pro rozklad čísla na znaménko a modul: $a=\operatorname {sgn}(a)\cdot |a|$
Modul libovolného čísla je vždy nezáporný a tehdy a jen tehdy $|a|=0$ $a=0.$
Moduly opačných čísel jsou stejné: $|{-a}|=|a|.$
$-|a|\leqslant a\leqslant |a|.$
$|a+b| \leqslant |a|+|b|$ ( trojúhelníková nerovnost ).

Znak nenumerických objektů

Znak úhlu

Hodnota úhlu na rovině se považuje za kladnou, pokud se měří proti směru hodinových ručiček, v opačném případě je záporná. Dva případy rotace jsou klasifikovány podobně :

rotace v rovině - například rotace o (-90 °) je ve směru hodinových ručiček;
rotace v prostoru kolem orientované osy je obecně považována za pozitivní, pokud je splněno „ pravidlo gimlet “ , jinak je považována za negativní.

Směrová cedule

V analytické geometrii a fyzice jsou pokroky podél dané přímky nebo křivky často podmíněně rozděleny na pozitivní a negativní. Takové rozdělení může záviset na formulaci problému nebo na zvoleném souřadnicovém systému. Například při výpočtu délky oblouku křivky je často vhodné přiřadit této délce znaménko mínus v jednom ze dvou možných směrů.

Přihlásit se výpočetní technika

nejvýznamnější bit
0	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	=	127
0	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	0	=	126
0	0	0	0	0	0	jeden	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	jeden	=	jeden
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	=	−1
jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	0	=	−2
jeden	0	0	0	0	0	0	jeden	=	−127
jeden	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
K vyjádření znaménka celého čísla většina počítačů používá dvojkový doplněk .

Celé číslo uložené v paměti počítače může být se znaménkem nebo bez znaménka (v druhém případě je považováno za kladné). Čísla se znaménkem používají jeden z bitů jako kód znaménka (obvykle 0 kóduje kladné číslo, 1 kóduje záporné číslo), pro čísla bez znaménka jsou všechny bity stejné. Většina počítačů používá dvojkový doplněk k reprezentaci znaménka a hodnoty celých čísel , i když lze nalézt i přímý kód .

Reálná čísla jsou uložena a zpracována jako čísla s pohyblivou řádovou čárkou , to znamená, že obsahují mantisu a exponent čísla a každá z těchto částí je opatřena kouskem svého znaménka.

Diskrétní matematika

V kombinatorice se znaménko permutace určuje – kladné, pokud je permutace sudá, a záporné, pokud je permutace lichá. Touto definicí je splněno obvyklé pravidlo znamének pro součin (složení) permutací : plus plus a mínus mínus dávají plus, plus mínus a mínus plus dají mínus.

V teorii grafů jsou uvažovány orientované a znaménkové grafy , ve kterých každá hrana odpovídá směru nebo znaménku (kladnému nebo zápornému).

Fyzika

Mnoho fyzikálních veličin je rozděleno do dvou tříd, běžně nazývaných pozitivní a negativní.

Příklady .

Podle historické tradice se elektrický náboj elektronu nazývá záporný a elektrický náboj protonu kladný.
Teplotní znak závisí na zvolené teplotní stupnici . V Kelvinově stupnici je teplota vždy nezáporná, ve Celsiově stupnici jsou teploty nad Kelviny považovány za kladné a pod - záporné. ${\displaystyle +273^{\circ ))$
V optice je optická mohutnost čoček , které sbírají světelné paprsky, považována za pozitivní a negativní, pokud se rozptylují.
Výška nad hladinou moře .

Další použití

Existuje číselný systém znaménko-číslice , ve kterém každá číslice čísla může mít kladné nebo záporné znaménko.

V teorii míry je definován pojem zobecněná míra se znaménkem („ nábojem “), která může mít kladné nebo záporné hodnoty.

Znaménko lze přiřadit bodu v nekonečnu na rozšířené číselné ose .

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Příručka elementární matematiky, 1978 , str. 111-113.

Literatura

Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky. — M .: Nauka, 1978.