Kladný operátor (Hilbertův prostor)

Kladný operátor v Hilbertově prostoru je lineární operátor takový, že pro kterýkoli z Hilbertových prostorů. Pro kladný operátor použijte zápis [1] . Někdy operátor null není klasifikován jako kladný operátor a je zapsán , pokud je operátor kladný, a pokud je kladný nebo nulový. [2] $A$ $(Ax, x) \ge 0$ $X$ $A\ge0$ $A>0$ $A$ $A\ge0$ $A$

Ohraničený kladný operátor je samoadjungovaný a jeho spektrum leží na kladné poloose , což je nutná a postačující podmínka [1] . Neohraničený kladný operátor je symetrický a připouští samoadjungované rozšíření, které je také kladným operátorem [3] [4] . $[0, \infty)$

Vlastnosti

Následující vlastnosti platí pro omezené lineární operátory .

Pokud operátor a reálné číslo , pak . $A\ge0$ $\alpha \ge 0$ $\alpha A\ge 0$
Pokud existuje také inverzní operátor , pak . $A\ge0$ $A^{{-1}}$ $A^{-1} \ge 0$
$A^* A \ge 0, \, AA^* \ge 0$ pro jakýkoli lineární operátor . Zejména pro jakýkoli samoadjungovaný operátor . Proto může jako příklad pozitivního operátoru posloužit jakýkoli projekční operátor [2] . $A$ $A^2 \ge 0$ $A$
Součin dvou permutabilních kladných operátorů je také kladný operátor [5] .
Pro kladný operátor a jakékoli prvky Hilbertova prostoru platí zobecněná Schwartzova nerovnost : $A$ $x, y$

|(A x, y)|^2 \le (A x, x) (Ay, y)

[6] .

Druhá odmocnina

Každý omezený kladný operátor má jedinečnou kladnou odmocninu , to znamená operátor takový, že . Pokud je operátor invertibilní , pak je také invertibilní. Druhá odmocnina zapadá s libovolným operátorem zaměnitelným s [7] [8] . $A$ $B$ $B^2 = A$ $A$ $B$ $B$ $A$

Polární expanze

Jakýkoli ohraničený lineární operátor v Hilbertově prostoru má rozklad , kde je kladný operátor a je částečná izometrie. Jestliže je normální operátor , pak operátor v polárním rozkladu je unitární . $T$ $T=UP$ $P$ $U$ $T$ $U$

Vztah objednávky

Na množině symetrických operátorů je zavedena relace částečného řádu : nebo je-li operátor kladný, jinými slovy, pro některý z Hilbertových prostorů . Tento vztah objednávky má následující vlastnosti. $A\ge B$ $B \le A$ $A-B$ $(A x, x) \ge (B x, x)$ $X$

Pokud a , tak . $A\ge B$ $C \ge D$ $A + C \ge B + D$
Pokud a , tak . $A\ge B$ $B \ge C$ $A \ge C$
Pokud a , tak . $A\ge B$ $c>0$ $c A \ge c B$
Libovolná monotónní ohraničená posloupnost symetrických operátorů konverguje k nějakému symetrickému operátoru [2] [6] .

Poloomezený operátor

Symetrický operátor se nazývá dolní poloomezený, pokud existuje reálné číslo takové, že $S$ $C$

(S x, x) \ge c(x, x)

pro jakýkoli z působnosti provozovatele ; největší ze všech hodnot , pro které tato nerovnost platí, se nazývá infimum operátoru . Horní semibounded operátor a jeho horní mez [9] jsou definovány podobně . $X$ $S$ $C$ $S$

Kladný operátor je speciálním případem operátoru semi-limitovaného níže. Na druhou stranu jakýkoli částečně omezený operátor může být vyjádřen jako kladný operátor pomocí jednoho z následujících vzorců: $P$

S = P + cI, \quad S = -P + cI,

kde je operátor identity [10] . $já$

Friedrichova expanze. Libovolný semi-omezený symetrický operátor (zejména kladný operátor) může být rozšířen na nějaký semi-omezený samoadjungovaný operátor a operátor bude mít stejnou (horní nebo dolní) mez jako [11] . $S$ $A$ $A$ $S$

Případ konečně-dimenzionálního prostoru

Symetrický operátor (operátor se symetrickou maticí ) v euklidovském prostoru se nazývá nezáporný , pokud pro nějaký . V tomto případě se kvadratická forma nazývá nezáporná a matice operátorů se nazývá nezáporná definitní . $S$ $R$ $(S x, x) \ge 0$ $x\v R$ $(S x, x)$ $S$

Symetrický operátor se nazývá kladně určitý if pro jakýkoli vektor z . V tomto případě se kvadratická forma a matice operátorů nazývají pozitivně definitní . $S$ $x \ne 0$ $R$ $(S x, x) > 0$ $(S x, x)$ $S$

Je možné určit, zda je matice kladná nebo nezáporná, definitní pomocí Sylvesterova kritéria [12] .

Příklad

Příkladem níže ohraničeného operátoru je operátor Sturm-Liouville

A u(x) = -(p(x)u'(x))' + q(x) u(x),

kde

p(x) \ge 0, \quad q(x) \ge q_0, \quad (0 \lex \le 1),

pokud je uvažována v prostoru $L_2(0; 1)$ , s odkazem na definiční obor funkce , dvakrát spojitě diferencovatelná a splňující podmínky $u(x)$

u(0) = 0, \quad u'(1) + hu(1) = 0,

kde je nějaká konstanta ; funkce jsou také považovány za spojité . Skutečně to lze ověřit přímým výpočtem $h\ge0$ $p(x), p'(x), q(x)$

(A u, u) = hp(1) |u(1)|^2 + \int\limits_0^1 p(x) |u'(x)|^2 dx + \int\limits_0^1 q(x ) |u(x)|^2 dx \ge \int\limits_0^1 q_0 |u(x)|^2 dx = q_0 (u, u).

Jestliže , pak je operátor kladný [11] . $q_0 \ge0$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Rudin U. Funkční analýza, 1975 , s.12.32.
↑ 1 2 3 Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Prvky funkcionální analýzy, 1965 , s. 317.
↑ Shulman V.S., Lomonosov V.I. Pozitivní operátor // Mathematical Encyclopedia : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie, 1984. - T. 4: Dobře - Slo. - 1216 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.
↑ Přísně vzato, v případě neomezeného operátoru se nerovnost v definici bere pro všechny z oboru symetrického operátoru , který je hustý v celém Hilbertově prostoru. $(A x, x) \ge 0$ $X$ $A$
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Prvky funkcionální analýzy, 1965 , s. 318.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 104.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Prvky funkcionální analýzy, 1965 , s. 320.
↑ Rudin W. Funkční analýza, 1975 , s.12.33.
↑ Akhiezer N. I., Glazman I. M. Teorie lineárních operátorů v Hilbertově prostoru, 1966 .
↑ Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 122.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 124.
↑ Gantmakher F. R. Teorie matice. - Ed. 2., doplňkový .. - M . : Nauka, Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1966.

Literatura

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Prvky funkcionální analýzy. - Ed. 2., přepracované .. - M . : Nauka, 1965. - 520 s.
Rudin W. Funkční analýza. - M .: Mir, 1975. - 444 s.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Přednášky o funkcionální analýze. — M .: Mir, 1979. — 592 s.
Akhiezer N. I. , Glazman I. M. Teorie lineárních operátorů v Hilbertově prostoru. - Ed. 2., revidovaný. a další .. - Věda, kap. vyd. fyzika a matematika lit., 1966. - 543 s.