Cauchyho-Bunyakovského nerovnost

Cauchyho-Bunyakovského nerovnost spojuje normu a skalární součin vektorů v euklidovském nebo Hilbertově prostoru . Tato nerovnost je ekvivalentní trojúhelníkové nerovnosti pro normu. Zvláštní případ Hölderovy nerovnosti a Jensenovy nerovnosti [1] .

Cauchyho-Bunyakovského nerovnost je někdy, zejména v zahraniční literatuře, nazývána Schwartzova nerovnost a Cauchy-Bunyakovského-Schwartzova nerovnost , ačkoli Schwartzovy práce na toto téma se objevily až 25 let po dílech Bunjakovského [2] . Konečně-dimenzionální případ této nerovnosti se nazývá Cauchyova nerovnost a byl prokázán Cauchy v roce 1821 .

Formulace

Nechť je dán lineární prostor se skalárním součinem . Nechť je norma generovaná skalárním součinem, tj . . Pak pro všechny máme: $L$ $\langle x,\;y\rangle$ $\|x\|$ $\|x\|\equiv\sqrt{\langle x,\;x\rangle},\;\forall x\in L$ $x,\;y\v L$

|\langle x,\;y\rangle| \leqslant\|x\|\cdot\|y\|,

navíc je rovnosti dosaženo tehdy a jen tehdy, když jsou vektory a lineárně závislé ( kolineární , nebo je mezi nimi nula). $X$ $y$

Příklady

Důležitým speciálním případem, často používaným v teorii čísel, je případ, kdy se jeden z vektorů skládá výhradně z jedniček:

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1 }^{n}{1}}\right)\součet \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}=n\součet \limits _{i=1} ^{n}{{x_{i}}^{2}}

V prostoru komplexních čtvercových součtových sekvencí má Cauchyho-Bunyakovského nerovnost tvar: $l^2$

\left|\sum\limits_{k=1}^\infty x_k\bar{y}_k\right|^2\leqslant\left(\sum_{k=1}^\infty|x_k|^2\right) \cdot\left(\sum_{k=1}^\infty|y_k|^2\right),

kde označuje komplexní konjugaci . $\bar{y}_k$ $y_{k}$

V prostoru komplexních čtvercových integrovatelných funkcí má Cauchyho-Bunyakovského nerovnost tvar: $L^2(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$

\left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leqslant\left(\int\limits_X\left|f(x)\right| ^2\,\mu(dx)\right)\cdot\left(\int\limits_X\left|g(x)\right|^2\,\mu(dx)\right).

V prostoru náhodných proměnných s konečným druhým momentem má Cauchyho-Bunyakovského nerovnost tvar: $L^2(\Omega,\;\mathcal{F},\;\mathbb{P})$ $\mathrm{cov}^2(X,\;Y)\leqslant\mathrm{D}[X]\cdot\mathrm{D}[Y],$

kde je kovariance a je rozptyl .

\mathrm{cov}

\mathrm{D}

Pro dvě nezávislé náhodné proměnné a Cauchy-Bunyakovského nerovnost má tvar: $\xi$ $\eta$ $\left[\mathbf {M} (\eta \cdot \xi )\right]^{2}\leqslant \mathbf {M} \left[\eta ^{2}\cdot \xi ^{2} \right]=\mathbf {M} \eta ^{2}\cdot \mathbf {M} \xi ^{2}.$

Metody důkazu

Existuje jen několik zásadně odlišných přístupů k prokázání nerovnosti. Vzhledem k jeho univerzálnosti však lze stejné formální operace vedoucí k němu popsat různými termíny. Z tohoto důvodu někteří autoři prezentují nerovnost jako s extrémně vysokým množstvím důkazů. [3]

Pro usnadnění prezentace jsou v této části, pokud není uvedeno jinak, důkazy popsány pouze pro prostor konečné dimenze přes , tj. pro konečné sekvence , . $\mathbb {R}$ $(x_{1},\tečky ,x_{n})$ $(y_{1},\tečky ,y_{n})$

Kombinatorické (prostřednictvím permutační nerovnosti )

Jednovektorový případ

Nechte _ Rozšířením čtverce a provedením substituce lze druhou mocninu součtu rozdělit do bloků následovně: $y_{1}=\dots =y_{n}=1$ $t=ij$

{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i))}\right)}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{ n}\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{i}x_{j}}=\součet \limits _{t=0}^{n-1}{\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}x_{j+t}}}\right)}\ ,

kde zápisy odpovídají . Z permutační nerovnosti pro dvě kopie sekvence a permutace $x_{n+1},x_{n+2},\dots$ $x_{1},x_{2},\tečky$ $(x_{1},\tečky ,x_{n})$

\sigma _{t}(j):=((t+j-1)\mod {n})+1,\ \ \ t=0,\tečky ,n-1

z toho vyplývá, že každý z vnitřních součtů nepřesahuje . $\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2))$

Obecný případ

Pokud jsou všechna celá čísla, pak rozšířením součinů a použitím již osvědčeného speciálního případu pro výsledné členy získáme $y_{i}$ $x_{i}y_{i}=\pod závorkou {x_{i}+\tečky +x_{i}} _{y_{i}}$ $\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i))$

\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}\right)^{2}=\left(\sum \limits _{i=1 }^{n}{\underbrace {x_{i}+\tečky +x_{i}} _{y_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i =1}^{n}{y_{i))}\right)\left({\součet \limits _{i=1}^{n}{\závorka {x_{i}^{2}+\tečky +x_{i}^{2}} _{y_{i}}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right )\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ ,

Vydělením obou částí celými čísly lze získat stejnou nerovnost pro racionální a zobecnění pro libovolné reálné vyplývá z kontinuity sčítání a násobení . Toto tvrzení přesně odpovídá Cauchy-Bunyakovského nerovnosti pro posloupnosti $y_{i}$ $y_{i}$

{\displaystyle {x'}_{i}:=x_{i}{\sqrt {y_{i))))

{\displaystyle {y'}_{i}:={\sqrt {y_{i))))

Nerovnost pro libovolný , tedy vyplývá z možnosti zpětné substituce ${\displaystyle ({x'}_{i})_{i=1}^{n))$ $({y'}_{i})_{i=1}^{n}$

x_{i}:={\frac {{x'}_{i}}{{y'}_{i}}}

y_{i}:={y'}_{i}^{2}

Pravděpodobnostní (přes součet čtverců)

Nápad (na příkladu rozptylu)

Nejznámější implementací této metody je úvaha o rozptylu náhodné veličiny . Je zřejmé, že pokud hodnota nabývá nezáporných hodnot, pak její matematické očekávání bude také nezáporné, proto

\mathbb {E} \left[{({X-\mathbb {E} [X]})^{2}}\right]\geq 0

pro jakoukoli náhodnou veličinu . Vzhledem k linearitě matematického očekávání z toho vyplývá $X$

0\leq \mathbb {E} \left[{(X-\mathbb {E} [X])^{2}}\right]=\mathbb {E} \left[{X^{2} -2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}}\right]=\mathbb {E} [X^{2}]-2\mathbb {E} [X] \mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}

Nechte vše a . Pro náhodnou veličinu , která nabývá hodnoty s pravděpodobností , tato nerovnost znamená toto $y_{i}>0$ $B:=\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}$ $X$ $x_{i}$ ${\frac {y_{i}}{B}}$

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}{\frac {y_{i}}{B}}}}\right)^{2}=\ mathbb {E} [X]^{2}\leq \mathbb {E} [X^{2}]=\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}{ \frac {y_{i}}{B}}}\ ,

to znamená

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i))}\right)\leq B\sum \limits _{i=1}^{ n}{x_{i}^{2}y_{i}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\ součet \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ .

Cauchyho-Bunyakovského nerovnost lze tedy získat stejnou změnou proměnných jako v případě použití permutační nerovnosti.

Výklad a alternativní formy

Po změně proměnných bude mít matematické očekávání výše popsané veličiny tvar

\mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{n}({\frac {x_{i}}{y_{i}}}\cdot {\frac {y_ {i}^{2}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .

Pravděpodobnostní důkaz tedy v podstatě uvažuje součet

\sum \limits _{i=1}^{n}{\left(({\frac {x_{i}}{y_{i}}}-\sum \limits _{j=1}^ {n}{\left({{\frac {x_{j}}{y_{j}}}\cdot {\frac {y_{j}^{2}}{\sum \limits _{k=1} ^{n}{y_{k}^{2}}}}}\right)}}\right)^{2}{\frac {y_{i}^{2}}{\sum \limits _{j =1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .

Ze zřejmé (díky umocnění závorky) nezápornosti tohoto součtu je odvozen vztah mezi členy získaný otevřením závorky - dva ze tří takových členů jsou redukovány na jeden (liší se pouze konstantou) kvůli struktura vzorce. Změnou normalizace (dělením součty) zavedením faktorů do závorek a vynásobením konstanty je snadné vidět, že tento přístup je podobný použití více vizuálního součtu.

\sum \limits _{i=1}^{n}{{\left(({\frac {x_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{ j}y_{j))))-{\frac {y_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}\right) }^{2}}\ .

Nerovnice s takovými součty, zapsané bez odkazu na pravděpodobnostní definice, zůstávají správné bez podmínky z předchozí části. Zejména pro libovolný Hilbertův prostor, jak můžeme uvažovat o nerovnosti $y_{i}>0$ $\langle {x,y}\rangle \in \mathbb {R}$

0\leq \left\vert \left\vert {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{||x||^{2))}x}\right\vert \ vpravo\vert ^{2}\leq \left\langle {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x,y-{\frac { \langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x}\right\rangle =\langle {y,y}\rangle -2{\frac {\langle {x,y }\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}\langle {x,y}\rangle +{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2}}{\langle {x, x}\rangle ^{2))}\langle {x,x}\rangle =\langle {y,y}\rangle -{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2)){\ jazyk {x,x}\rangle }}\ ,

a kdy stačí vynásobit komplexním číslem tvaru , aby se vše zredukovalo na první případ. $\langle {x,y}\rangle \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ $X$ $e^{\varphi i},\varphi \in \mathbb {R}$

Podobným způsobem lze použít další, symetrický, součet, kde se po otevření závorek ruší dva krajní členy (získané kvadraturou) a ne krajní s centrálním:

\sum \limits _{i=1}^{n}{{\left(({\frac {x_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n} {x_{j}^{2}}}}}-{\frac {y_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2} }}}}}}\right)}^{2}}\ .

nebo, což je totéž,

\left\vert \left\vert {{\frac {x}{||x||}}-{\frac {y}{||y||}}}\right\vert \right\vert ^{2}\ .

Kromě pravděpodobnostního výkladu lze použití takových součtů popsat odhadem diskriminantu kvadratické rovnice nebo nerovností mezi geometrickým průměrem a aritmetickým průměrem . [čtyři]

Přímo (přes seskupení faktorů)

Další (vyžadující však nástroje předchozích dvou) nápad je reprezentovat nerovnost ve formě

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{j=1}^ {n}{x_{j}y_{j}}}\right)=\součet \limits _{i=1}^{n}\součet \limits _{j=1}^{n}{(x_{ i}y_{j})(x_{j}y_{i})}\leq \sum \limits _{i=1}^{n}\součet \limits _{j=1}^{n}{( x_{i}y_{j})^{2}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}\right)\left( {\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2))}\right)\ .

Tuto formu lze dokázat dvěma způsoby:

porovnání všech členů v jednom kroku, použití permutační nerovnosti pro dvě kopie množiny a permutace [5] ; $(x_{i}y_{j})_{(i,j)\in [1;n]^{2))$ $\sigma (i,j):=(j,i)$

porovnávání každého členu zvlášť, aplikování nerovnosti mezi geometrickým průměrem a aritmetickým průměrem pro dvě proměnné , což v podstatě odpovídá zohlednění součtu čtverců formy nebo normy odpovídajícího vektoru v tenzorovém součinu libovolných Hilbertových prostorů. [6] ${\displaystyle a=x_{i}y_{j},\ b=x_{j}y_{i))$ $\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i} )^{2}}$

Aplikace případu n=2 na součty

Nerovnici lze získat indukcí, jejímž krokem přejít od --tého členu je použít stejnou nerovnost pro dva členy. Induktivní předpoklad pro posloupnosti dává nerovnost $n$ $(n+1)$ ${\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{n))$ ${\displaystyle (y_{i})_{i=1}^{n))$

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\barva {červená}{x_{i}}\barva {modrá}{y_{i}}}\right)+ x_{n+1}y_{n+1}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\barva {červená}{x_{i}}^{2}}} \right)^{\frac {1}{2}}\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {modrá}{y_{i}}^{2}}} \right)^{\frac {1}{2}}+x_{n+1}y_{n+1}

A z případu sekvencí je to dobře vidět $n=2$ $\left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2 }},x_{n+1}}\right)$ $\left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2 }},y_{n+1}}\right)$

{\color {red}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1 }{2)))){\barva {modrá}{\levá({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\vpravo)^{ \frac {1}{2))))+{\color {červená}{x_{n+1}}\color {modrá}{y_{n+1}}}\leq \left({{\color { red}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\ barva {černá}{\cdot 2}}}}+{\barva {červená}{x_{n+1}}^{2}}}\pravá)\levá(({\barva {modrá}{\levá( {\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\color {black}{\ cdot 2))))+{\color {modrá}{y_{n+1}}^{2}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1 }{x_{i}^{2}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1}{y_{i}^{2}}}\right)

Nerovnice je tedy prokázána pro libovolnou indukcí se základem . Základ lze dokázat jakýmkoliv jiným způsobem (například pomocí nerovnosti ). [7] Existují také vizuální geometrické důkazy pro. [8] [9] $n$ $n=2$ $(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}\geq 0$ $n=2$

Literatura

Hui-Hua Wu, Shanhe Wu. Různé důkazy Cauchy-Schwarzovy nerovnosti // matematický časopis Octogon. - 2009. - Sv. 17 , iss. 1 . — S. 221–229 .

Poznámky

↑ Viz důkaz 11 ve Wu, 2009
↑ Bounjakowsky W. "Mémoires de l'Académie des sciences de St-Petersbourg. 7 série", 1859, t. 1, č. 9.
↑ Wu, 2009 .
↑ Viz důkazy 2 (pro ), 5 ve Wu, 2009 pro první součet a důkazy 3, 4, 8 tamtéž pro druhý. $x={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i))}{\sum \limits _{i=1}^{n}{ a_{i}^{2}}}}}$
↑ Viz důkaz 7 ve Wu, 2009 .
↑ Viz důkazy 1, 6 (pro případ ) a 12 (po rozšíření indukce, tj. sečtení různých ) ve Wu, 2009 . $n=2$ $S_{n+1}-S_{n}$
↑ Viz důkaz 6 ve Wu, 2009 .
↑ Přehled důkazů pro Cauchy-Bunyakovského nerovnost archivováno 25. srpna 2021 na Wayback Machine , (viz geometrické důkazy na str. 15-18) $n=2$
↑ Interaktivní demonstrace geometrického důkazu . Získáno 25. srpna 2021. Archivováno z originálu dne 25. srpna 2021. (neurčitý)