Hölderova nerovnost

Hölderova nerovnost ve funkcionální analýze a příbuzných disciplínách je základní vlastností prostorů . $L^{p}$

Formulace

Nechť je prostor s mírou , a je prostor funkcí formy s konečným integrovatelným -tým stupněm. Potom je seminorma definována v druhém : $(X,\mathcal{F},\mu)$ $L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $f:X \to \mathbb{R}$ $p$

\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\vpravo)^{{1/ p}}

kde , se obvykle považuje za přirozené číslo. $p\geq 1$

Nechat , a , kde . Pak a $f \in L^p$ $g\in L^{q}$ $p,q\geq 1,\;1/p+1/q=1$ $f\cdot g\in L^{1}$

\|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}

Důkaz

Přeformulujme Hölderovu nerovnost tak, že normy vyjádříme pomocí odpovídajících integrálů.
Nechť je prostor s mírou , , měřitelný. Pak: Pro důkaz použijeme následující tvrzení ( Youngova nerovnost ): $X$ $\mu$ $E\podmnožina X$ $E$
$f\in L^{{p}},g\in L^{{q}},p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\ Šipka vpravo \int \limits _{E}|fg|\,d\mu <+\infty ,\;\int \limits _{E}\left|fg\right|\,d\mu \leq \left(\ int \limits _{E}|f|^{{p}}\,d\mu \right)^{{1/p}}\left(\int \limits _{E}|g|^{{q }}\,d\mu \right)^{{1/q}}$

$a,b\geq 0,p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Šipka doprava a^{{1/p}}b^{{1 /q}}\leq {\dfrac {a}{p}}+{\dfrac {b}{q}}$

Položme
$a={\dfrac {|f(x)|^{{p}}}{\int \limits _{E}|f|^{{p}}d\mu }}\quad b={\dfrac { |g(x)|^{{q))}{\int \limits _{E}|g|^{{q}}d\mu }}\quad I_{1}=\int \limits _{E }|f|^{{p}}d\mu >0\quad I_{2}=\int \limits _{E}|g|^{{q}}d\mu >0$

Aplikováním nerovnosti dostaneme:
$|f(x)g(x)|\leq I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}\left({\dfrac {|f(x)|^ {{p}}}{p\cdot I_{1}}}+{\dfrac {|g(x)|^{{q}}}{q\cdot I_{2}}}\right)$

Všimněte si, že pravá strana nerovnosti je sčítatelná nad množinou (proto následuje také součet levé strany). Integrováním nerovnosti přes , dostaneme: Hölderova nerovnost je prokázána. Poznámka: Pokud je nebo rovno 0, pak to znamená, že nebo jsou ekvivalentní nule na , a Hölderova nerovnost samozřejmě platí. $E$ $E$
$\int \limits _{E}|fg|\,d\mu \leq I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}\left({\dfrac {1 }{p}}+{\dfrac {1}{q}}\right)=I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}$

$I_1$ $já_{2}$ $F$ $G$ $E$

Speciální případy

Cauchyho-Bunyakovského nerovnost

Nastavením získáme Cauchyho-Bunyakovského nerovnost pro prostor . $p=q=2$ $L^{2}$

Euklidovský prostor

Uvažujme euklidovský prostor nebo . -norma v tomto prostoru má tvar: $E={\mathbb {R}}^{n}$ $\mathbb{C}^n$ $L^{p}$

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{{1/p}} ,\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{{\top }}

a pak

\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}\cdot y_{i}|\leq \left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}| x_{i}|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|y_{i}|^{q }\right)^{{1/q}},\;\forall x,y\in E

Mezerník l p

Nechť být počitatelná míra na . Pak je množina všech sekvencí taková, že: $X={\mathbb {N)),\,{\mathcal {F}}=2^{({\mathbb {N)))),\,m$ $\mathbb {N}$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$

\|x\|_{p}=\sum _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}|^{p}<\infty

volal . Hölderova nerovnost pro tento prostor má tvar: $l^{p}$

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{{n=1}}^{ {\infty }}|x_{n}|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left(\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }} |y_{n}|^{q}\right)^{{1/q}},\;\forall x\in l^{p},y\in l^{q}

Pravděpodobnostní prostor

Nechť je pravděpodobnostní prostor . Pak se skládá z náhodných proměnných s konečným momentem:, kde symbol označuje matematické očekávání . Hölderova nerovnost má v tomto případě tvar: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$ $p$ ${\mathbb {E}}\left[|X|^{p}\right]<\infty$ ${\mathbb {E}}$

{\mathbb {E}}|XY|\leq \left({\mathbb {E}}|X|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left({\mathbb {E }}|Y|^{q}\vpravo)^{{1/q}},\;\forall X\in L^{p},Y\in L^{q}

Viz také

Literatura

Sobolev S.L. Některé aplikace funkcionální analýzy v matematické fyzice. — 3. vyd. přepracované a doplněné. — M .: Nauka , 1988. — 336 s. — ISBN 5-02-013756-1 .
Vulikh B.Z. Krátký kurz teorie funkce reálné proměnné. - 2. vyd., přepracováno a doplněno. — M .: Nauka , 1973. — 352 s.