Minkowského nerovnost

Minkowského nerovnost je trojúhelníková nerovnost pro prostory funkcí s integrovatelnou mocninou. $p$

Formulace

Nechť je prostor s mírou a funkcemi , tedy kde , a integrál je chápán ve smyslu Lebesgue . Pak a navíc: $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f,g\in L^{{p))(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $\int \limits _{X}|f|^{p}\,d\mu <\infty ,\;\int \limits _{X}|g|^{p}\,d\mu <\infty$ $p\geq 1$ $f+g\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$

\left(\int \limits _{X}|f(x)+g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}\leq \left( \int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\vpravo)^{1/p}+\left(\int \limits _{X}|g(x )|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}.

Důkaz

Nejprve dokážeme, že je sčítatelný na . Představme si množiny: . Přejděme k důkazu Minkowského nerovnosti: můžeme na ně aplikovat Hölderovu nerovnost : Tedy: Vydělte levou a pravou stranu . Nerovnost byla prokázána. Poznámka: V případě, kdy je nerovnost zřejmá, protože napravo jsou nezáporná čísla.

$f,g\in L^{{p}}(E)\Šipka doprava |f+g|^{{p}}$ $E$

$E_{1}=E[|f|\geq |g|]\quad E_{2}=E[|f|<|g|]$

$\int \limits _{E_{1}}|f+g|^{p}d\mu \leq \int \limits _{E_{1}}(|f|+|g|)^{ p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{1}}|f|^{p}d\mu .$
$\int \limits _{E_{2}}|f+g|^{p}d\mu \leq \int \limits _{E_{2}}(|f|+|g|)^{ p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{2}}|g|^{p}d\mu .$

$\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu =\int \limits _{E_{1}}|f+g|^{p}d\mu +\int \limits _{E_{2}}|f+g|^{p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{1}}|f|^{p}d\mu + 2^{p}\int \limits _{E_{2}}|g|^{p}d\mu <\infty .$

$\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu =\int \limits _{E}|f+g||f+g|^{p-1}d\ mu \leq \int \limits _{E}|f||f+g|^{p-1}d\mu +\int \limits _{E}|g||f+g|^{p-1 }d\mu ;$

$|f|\in L^{{p}},|f+g|^{{p-1}}=|f+g|^{{p/q}}\in L^{{q}}\ šipka vpravo$

$\int \limits _{E}|f||f+g|^{p-1}d\mu \leq (\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu ) ^{1/p}(\int \limits _{E}|f+g|^{(p-1)q}d\mu )^{1/q}=(\int \limits _{E}| f|^{p}d\mu )^{1/p}(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu )^{1-1/p},$
$\int \limits _{E}|g||f+g|^{p-1}d\mu \leq (\int \limits _{E}|g|^{p}d\mu ) ^{1/p}(\int \limits _{E}|f+g|^{(p-1)q}d\mu )^{1/q}=(\int \limits _{E}| g|^{p}d\mu )^{1/p}(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu )^{1-1/p}.$

$\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \leq (\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu )^{1/p }(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu )^{1-1/p}+(\int \limits _{E}|g|^{p}d\ mu )^{1/p}(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu )^{1-1/p}.$

$(\int \limits _{E}|f+g|^{{p}}d\mu )^{{1-1/p}}$

$(\int \limits _{E}|f+g|^{{p}}d\mu )^{{1-1/p}}=0$

Poznámka

Minkowského nerovnost ukazuje, že v lineárním prostoru lze zavést normu : $L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$

\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{ 1/p},

což z něj udělá normovaný a tedy metrický prostor .

Speciální případy

Euklidovský prostor

Uvažujme euklidovský prostor nebo . -norma v tomto prostoru má tvar: $E={\mathbb {R}}^{n}$ $\mathbb{C}^n$ $L^{p}$

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}, \;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top },

a pak

\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\ suma \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{i=1}^{n} |y_{i}|^{p}\vpravo)^{1/p},\;\forall x,y\v E.

Jestliže a , pak získáme klasickou trojúhelníkovou nerovnost z planimetrie a stereometrie . $n = 2,3$ $p=2$

Mezerník l p

Nechť být počitatelná míra na . Pak množina všech sekvencí taková, že $X={\mathbb {N)),\,{\mathcal {F}}=2^{({\mathbb {N)))),\,m$ $\mathbb {N}$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$

\|x\|_{p}=(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p})^{1/p}<\infty ,

volal . Minkowského nerovnost pro tento prostor má tvar: $l^{p}$

\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}+y_{n}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left( \sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{n=1}^{ \infty }|y_{n}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in l^{p}.

Pravděpodobnostní prostor

Nechť je pravděpodobnostní prostor . Pak se skládá z náhodných proměnných s konečným momentem:, kde symbol označuje matematické očekávání . Minkowského nerovnost má v tomto případě tvar: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$ $p$ ${\mathbb {E}}\left[|X|^{p}\right]<\infty$ ${\mathbb {E}}$

\left(\mathbb {E} |X+Y|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^ {1/p}+\left(\mathbb {E} |Y|^{p}\right)^{1/p}.

Literatura

Vulikh B.Z. Krátký kurz teorie funkce reálné proměnné. - 2. vyd., přepracováno a doplněno. — M .: Nauka , 1973. — 352 s.