Nula

0
nula
← −2 −1 0 1 2 → _ _
Binární	0
Osmičková	0
Hexadecimální	0
Mediální soubory na Wikimedia Commons

„Existují dvě formy: nula a nula . V terminologickém významu (zejména v nepřímých případech) se obvykle používá druhé, např.: rovná se nule, teplota zůstává na nule “ [1] .
"... odvozené přídavné jméno se obvykle tvoří od tvaru nula , např.: nultý poledník, nulová značka " [1] .

Nula ( 0 , nula z lat. nullus - žádné [2] ) je celé číslo , které po přičtení nebo odečtení od libovolného čísla nemění poslední [3] , to znamená, že dává výsledek rovný tomuto poslednímu ; vynásobením libovolného čísla nulou dostaneme nulu [4] .

The Big Explanatory Dictionary of Kuznetsov (2009) [5] uvádí obě formy slova: nula, nula - jako ekvivalent, i když existuje určitý rozdíl v použití. Zejména tvar nula se v terminologii používá častěji, zejména v nepřímých pádech, je také brán jako základ pro tvoření přídavného jména nula - podle toho se tvar nula častěji používá v nominativu (viz postranní panel) .

Nula hraje mimořádně důležitou roli v matematice a fyzice [6] .

Nula v matematice

Číslovka "nula" v matematice

Číslo "nula" je matematický znak vyjadřující absenci hodnoty tohoto bitu v zápisu čísla v poziční číselné soustavě . V současnosti se tento údaj téměř vždy označuje „0“ (podle indoarabského zápisu čísel). Číslice nula, umístěná napravo od jiné číslice, zvyšuje číselnou hodnotu všech číslic nalevo o číslici (např. v desítkové soustavě čísel násobí deseti). Porovnejte např. čísla 4 10 a 40 10 ; 4 16 a 40 16 (dolní index znamená základ číselné soustavy). Pojetí nuly se historicky objevilo jako speciální digitální symbol požadovaný při psaní čísel v poziční číselné soustavě . Tento symbol označoval absenci hodnoty v odpovídajícím bitu, což umožnilo nezaměnit např. záznamy $7,70,700.$

Číslo 0 je spojeno se zvláště jednoduchými znaky dělitelnosti celých čísel.

V desítkové soustavě čísel:

Číslo je dělitelné 10 právě tehdy, když končí nulou.
Číslo je dělitelné 100 právě tehdy, když končí dvěma nulami.

Podobné znaky dělitelnosti jsou k dispozici pro čísla 1000, 10000 atd.

Značky dělitelnosti spojené s číslem 0 v desítkové soustavě lze obzvláště snadno kombinovat se znaménky dělitelnosti 2 a 5, například:

Číslo je dělitelné 20 právě tehdy, když poslední číslice čísla je 0 a předposlední číslice je sudá.
Číslo je dělitelné 50 právě tehdy, když poslední číslice čísla je 0 a předposlední číslice je 0 nebo 5.

Podobné znaky dělitelnosti jsou k dispozici pro čísla 200, 500, 2000, 5000 atd.

Znaménka dělitelnosti spojená s číslem "0" v jiných číselných soustavách jsou podobná těm v desítkové soustavě. Konkrétně v jakékoli číselné soustavě se základem k je číslo dělitelné kn, pokud končí n nulami.

Číslo "nula" v matematice

Příslušnost k přirozeným číslům

Existují dva přístupy k definici přirozených čísel – někteří autoři řadí nulu mezi přirozená čísla [7] , jiní ne. V ruských školních učebních osnovách matematiky není obvyklé přidávat k přirozeným číslům nulu, i když to ztěžuje některé formulace (například je třeba rozlišovat mezi dělením se zbytkem a dělením celým číslem ). Za kompromis prameny někdy považují „rozšířenou přirozenou řadu“, včetně nuly [8] .

Množina všech přirozených čísel se obvykle označuje symbolem . Mezinárodní normy ISO 31-11 (1992) a ISO 80000-2 (2009) stanoví následující označení [9] : $\mathbb {N}$

$\mathbb {N}$ - přirozená čísla včetně nuly: . $\{0,1,2,3,4\tečky\}$
$\mathbb {N^{*}}$ - přirozená čísla bez nuly: . $\{1,2,3,4\tečky\}$

Stejně jako v ISO je zápis pro množinu přirozených čísel pevně stanoven v ruské GOST 2011: R 54521-2011, tabulka 6.1 [10] . Přesto se v ruských pramenech tato norma zatím nedodržuje - symbol v nich označuje přirozená čísla bez nuly a rozšířená přirozená řada se označuje např. atd. [8] $\mathbb {N}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{0))$

Základní vlastnosti nuly

0 je celé číslo .
Na číselné ose 0 odděluje kladná a záporná čísla .

Nula je sudé číslo, protože když je děleno 2, výsledkem je celé číslo : . $0/2=0$
Nula je bez znaménka . Lze použít konvence pro zápornou a kladnou infinitesimální hodnotu : , , ale nejde o čísla v obvyklém smyslu. $-0$ $+0$
Žádné číslo se po přičtení k nule nezmění : Odečtením nuly od libovolného čísla vznikne stejné číslo [11] : . $a+0=0+a=a.$ $a-0=a$
Vynásobením libovolného čísla nulou dostaneme nulu [11] :

a\cdot 0=0\cdot a=0.

Vydělením nuly libovolným nenulovým číslem dostaneme nulu:

0/a=0

a\neq 0.

Dělení nulou

Dělení nulou není možné v žádném oboru nebo kruhu , včetně polí reálných a komplexních čísel.

Pokud označíme , pak by podle definice mělo být dělení formálně , zatímco výraz , pro jakýkoli , se rovná nule. Jinými slovy, v žádném poli neexistuje žádný inverzní prvek pro nulu .

{\frac {a}{0}}=b

b\cdot 0=a

b\cdot 0

b

Dělení nulou nenulového komplexního čísla je možné na rozšířené komplexní rovině a jeho výsledkem je bod v nekonečnu.

Významy jednotlivých funkcí

Faktoriál nuly se podle dohody [12] rovná jedné: . S takovou dohodou bude identita pravdivá pro $0! = 1$ $n!=(n-1)!\cdot n$ $n=1.$
Výsledek zvýšení nuly na kladnou mocninu je nula: při . Zvyšovat nulu na jakoukoli zápornou moc nedává smysl. $0^{a}=0$ $a>0$
Výsledek zvýšení libovolného čísla (kromě nuly) na nulovou mocninu je roven jedné: . $a^{0}=1$
- Výraz ( nula až nula stupně ) je považován za nesmyslný [13] [14] [15] , tedy neurčitý. $0^{0}$

To je způsobeno skutečností, že funkce dvou proměnných v bodě má neredukovatelnou diskontinuitu .

x^{y}

\{0,0\}

Ve skutečnosti podél kladného směru osy , kde se rovná jedné, a podél kladného směru osy , kde se rovná nule.

X,

y=0,

Y,

x=0,

Více podrobností naleznete v článku Zero to the power zero . Nula v geometrii

Bod lze považovat za objekt s nulovou dimenzí .
Bod v rovině s jednou nulovou souřadnicí leží na odpovídající souřadnicové ose. Obě nulové souřadnice definují bod nazývaný počátek .
Bod v trojrozměrném prostoru s jednou nulovou souřadnicí leží na odpovídající souřadnicové rovině. Bod v trojrozměrném prostoru se také nazývá počátek, pokud jsou všechny jeho souřadnice nulové.
Podobná tvrzení platí pro prostor libovolné dimenze .
Na kružnici se pozice 0° a 360° shodují.

Nula v počtu

Při výpočtu limity vztahu , kde a , nastává taková situace, že přímá substituce dává výraz, jehož hodnota není definována. V procesu odhalování nejistot je možných sedm takových situací a ve čtyřech z nich je formálně přítomna nula: , , , . $(a/b)$ $a\rightarrow 0$ $b\rightarrow 0$ $(0/0)$ $\left({\frac {0}{0}}\right)$ $(0^{0})$ $(\infty ^{0})$ $(0\cdot\infty)$
Dobře definovaná situace je také možná, když se uvažuje jednostranná (pravá nebo levá) mez nekonečně malé hodnoty:

Pravý limit: _ nebo _ . $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty ,$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} +0}]{}}~{+\infty }$
Levý limit: _ nebo _ . $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty ,$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} -0}]{}}~{-\infty }$

Zobecnění (nula v obecné algebře)

Analog nuly může existovat v jakékoli množině, na které je definována operace sčítání; v obecné algebře se takový prvek někdy nazývá neutrální prvek , někdy aditivní nula , nejčastěji nula s ohledem na sčítání . Příklady takového prvku jsou nulový vektor a nulová matice . (Pokud je operace násobení definována na množině, lze jednotku násobení považovat za analog nuly nebo jednotku s ohledem na násobení , pokud existuje.)

Algebraické struktury vybavené jak sčítáním, tak násobením mohou také obsahovat analog nuly. Nulový prvek obsahuje libovolný prsten a jeho speciální případy - tělo a pole . Například matice čtvercové nulové velikosti je nulovým prvkem prstence čtvercové matice . Okruh polynomů má také nulový prvek - polynom s nulovými koeficienty nebo nulový polynom , . $n\krát n$ $M_{n}(R)$ $p(x)\ekviv 0$

Nula v informatice a výpočetní technice

Číslo "nula" v informatice a výpočetní technice

Naprostá většina počítačů je založena na binárním systému , to znamená, že jejich paměť obsahuje pouze nuly a jedničky. Nečíselná data používají standardní kódování – například logické pojmy TRUE a FALSE jsou obvykle kódovány jako 1 a 0 a Unicode byl vyvinut pro textová data v různých jazycích .

Při práci s počítačem z důvodu nebezpečí záměny čísla 0 s latinským nebo ruským písmenem O , což může způsobit vážné následky, bylo svého času doporučení [16] vyškrtnout nulu : . Někdy to udělali naopak: při programování na počítači Minsk-32 přeškrtli písmeno O a ne nulu [17] . Generátory znaků mnoha textových terminálů , video adaptérů a jehličkových tiskáren také při práci v textovém režimu vydávají nulu v přeškrtnutém tvaru (některé tiskárny měly vestavěné přepínače pro zapnutí a vypnutí režimu přeškrtnutí nuly) [18] [19] . Na displejích IBM 3270 bylo číslo 0 zobrazeno s tečkou uprostřed. Vizuální rozlišení mezi číslem 0 a písmenem O zůstává důležitým požadavkem pro jednoprostorová písma . V proporcionálních fontech je písmeno O znatelně širší než nula, takže přeškrtnutí obvykle není vyžadováno. $\emptyset$

Přeškrtnutá nula nemá samostatný znak Unicode; lze jej získat jako znak U+0030 bezprostředně následovaný U+FE00, výsledek však závisí jak na aktuálním písmu, tak na prohlížeči. Někdy se místo toho používají podobně vypadající symboly pro skandinávské písmeno (Ø), prázdnou sadu (∅) nebo průměr (⌀). Některá písma OpenType obsahují speciální možnost zero-strike, pro kterou existuje speciální možnost v CSSfont-feature-settings: zero .

Číslo "nula" v informatice a výpočetní technice

V počítačích existuje pojem „ nula stroje “ - jedná se o číslo s plovoucí desetinnou čárkou a takové záporné pořadí, které počítač vnímá jako nulu.

Další rys reprezentace dat v informatice: v mnoha programovacích jazycích se prvky datového pole nečíslují od obvyklé jednotky, ale od nuly, takže popis skutečného M(n) znamená .array Platforma Microsoft .NET Framework sjednotil tento standard a dokonce přeložil Visual Basic , který původně používal číslování od jedné. $M_{0},M_{1}\tečky M_{n-1}.$

V SQL databázích může mít pole speciální hodnotu NULL , což neznamená nulu, ale nedefinovanou hodnotu. Jakýkoli výraz obsahující hodnotu NULL má za následek hodnotu NULL.

V matematice ; to znamená, že představují stejné číslo, neexistují žádné oddělené kladné a záporné nuly. V některých počítačových formátech (například ve standardu IEEE 754 nebo v dopředném a zpětném kódu ) však existují dvě různé reprezentace nuly: kladné (s kladným znaménkem) a záporné; podrobnosti viz −0 (programování) . Tyto rozdíly však neovlivňují výsledky výpočtů. $-0=+0=0$ $-0,+0$

Desetinná reprezentace	Binární reprezentace (8 bitů)
Desetinná reprezentace	rovný	zadní	další
+0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
-0	1 000 0000	1111 1111	0000 0000

Historie nuly

Historie čísla 0

Číslo 0 se objevilo současně s příchodem pozičního (místního) číslování - desítkové v Indii a šestinásobné v Babylóně.

Starověký východ

Babylonští matematici označovali šestinásobnou nulu, nejprve mezeru a pak speciální klínové písmo „dvojitý klín“; předpokládá se, že poslední odznak používali Babyloňané asi od roku 300 př. Kr. e. a jejich sumerští učitelé to pravděpodobně udělali ještě dříve. Symbol „dvojitého klínu“ babylonských mudrců však nikdy neměl samostatný význam a byl vnímán nikoli jako číslo, ale jako absence čísla; navíc nebylo nikdy umístěno na konec číselného záznamu, takže řekněme čísla 2 a 120 (2×60) bylo nutné rozlišovat podle kontextu [20] [21] .

Číslo 0 chybělo v římském, řeckém a čínském systému číslování. Tento údaj byl vynechán tím, že některým symbolům byly přiřazeny hodnoty velkých čísel. Například číslo 100 v řeckém číselném systému bylo označeno písmenem Ρ, v římském jazyce - písmenem C, v čínštině - hieroglyfem 百.

Mayové a Inkové

Mayská říše existovala na poloostrově Yucatán asi od roku 300 př. E. do roku 900 našeho letopočtu E. Mayové používali nulu ve své vigesimální číselné soustavě téměř o tisíciletí dříve než Indové, ale pouze kněžími a pouze pro potřeby kalendáře (v běžném životě Mayové používali systém hieroglyfických pěti) [22] . První dochovaná stéla s datem mayského kalendáře je datována 7.16.3.2.13, 6. Ben 16 Shul, tedy 8. prosince 36 př. Kr. E.

Je zvláštní, že nekonečno bylo také označeno stejným znakem mayské matematiky , protože neznamenalo nulu v evropském smyslu slova, ale „počátek“, „důvod“ [23] . Počítání dnů v měsíci v mayském kalendáři začalo nultým dnem, který se nazýval Ahau .

V incké říši Tahuantinsuyu byl k zaznamenávání číselných informací použit uzlový systém quipu, založený na pozičním desítkovém číselném systému. Čísla od 1 do 9 byla označena uzly určitého typu, nula - přeskočením uzlu v požadované poloze. V moderní kečuánštině je nula označena kečuánským slovem ch'usaq (dosl. „nepřítomný“, „prázdný“), ale jaké slovo používali Inkové k označení nuly při čtení quipu, není dosud jasné, protože např. v některé z prvních kečuánských španělštiny ( Diego González Holguín , 1608) a prvních aymarsko-španělských ( Ludovico Bertonio , 1612) neměly shodu pro španělské „cero“ – „nula“.

Indie

V Indii se číslo „nula“ nazývalo sanskrtským slovem śūnyaḥ („prázdnota“; „nepřítomnost“) a bylo široce používáno v poezii a posvátných textech. Bez nuly by byl desetinný poziční zápis čísel vynalezený v Indii nemožný . První znak pro nulu se nachází v indickém „ bakhshali manuskriptu “ z roku 876 n. l. vypadá jako tlustá tečka nebo vyplněný kruh, později nazývaný śūnya-binduḥ „bod prázdnoty“ [24] [25] .

Od Indů přes Araby, kteří číslu 0 říkali ṣifr (odtud slova figura , šifra a italsky nula , nula ), se dostalo do západní Evropy [26] .

Evropa

Ve Vídni je uložena ručně psaná aritmetika z 15. století, získaná v Konstantinopoli ( Istanbul ), ve které se používají řecké číselné znaky spolu s označením nuly s tečkou [27] . V latinských překladech arabských pojednání z 12. století se znak nuly (0) nazývá kruh - circulus . V příručce Sacrobosco , která měla velký vliv na výuku aritmetiky v západních zemích , sepsaná v roce 1250 a přetištěná v mnoha zemích, se nula nazývá „ thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili “ - theta nebo teka , nebo kruh , nebo postava , nebo znamení ničeho . Pojem nulla figura – žádné znamení – se objevuje v ručně psaných latinských překladech a úpravách arabských děl z 12. století. Termín nulla se nachází v rukopise Nicolase Schuqueta z roku 1484 a v prvním tištěném tzv. (podle místa vydání) Trevize aritmetice (1478) [28] .

Od počátku 16. století se v Německu a dalších zemích hojně používalo slovo „nula“ , nejprve jako cizí slovo a v latinské gramatické podobě, postupně však nabývá podoby charakteristické pro tento národní jazyk.

Rusko

Leonty Magnitsky ve své " Aritmetice " nazývá znak 0 "číslice nebo nic" (první strana textu); na druhé stránce v tabulce, kde je každá číslice uvedena jménem, se 0 nazývá „ žádná “. Na konci 18. století, ve druhém ruském vydání „ Zkratky prvních základů matematiky “ od X. Wolfa ( 1791 ), se nule také říká číslo . V matematických rukopisech 17. století, používajících indické číslice, se 0 nazývá „zapnuto “ kvůli své podobnosti s písmenem o [29] .

Historie čísla "nula"

Přestože v egyptské číselné soustavě neexistuje číslo 0 , egyptští matematici již ze střední říše (začátek 2. tisíciletí př. n. l.) místo něj používali hieroglyf nfr („krásný“), což také znamenalo začátek odpočítávání v r. schémata chrámů, pyramid a hrobek [30] .

V čínských záznamech čísel také chybí číslo „nula“, k označení čísla „nula“ používají znak 〇 – jeden z „ hieroglyfů císařovny Wu Zetian “.

Ve starověkém Řecku nebylo číslo 0 známé. V astronomických tabulkách Claudia Ptolemaia byly prázdné buňky označeny symbolem ο (písmeno omicron , z jiné řečtiny οὐδέν - nic ); je možné, že toto označení ovlivnilo vzhled čísla „nula“, ale většina historiků uznává, že indičtí matematici vynalezli desetinnou nulu .

V Evropě byla po dlouhou dobu 0 považována za konvenční symbol a nebyla uznávána jako číslo; ještě v 17. století Wallis napsal: "Nula není číslo." V aritmetických spisech bylo záporné číslo interpretováno jako dluh a nula jako situace úplného zmaru. K úplnému vyrovnání jeho práv s jinými čísly přispěla zejména díla Leonharda Eulera .

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 D. E. Rosenthal . Průvodce pravopisem, výslovností, literární úpravou. Kapitola X. Pravopis číslovek. Archivováno 12. ledna 2015 na Wayback Machine M.: CheRo, 1999.
↑ Encyklopedický slovník mladého matematika, 1985 .
↑ Nula // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3. - S. 1082.
↑ Zero // Velký encyklopedický slovník . — 2000. (Ruština)
↑ Velký výkladový slovník ruského jazyka. Ch. vyd. S. A. Kuzněcov. První vydání: Petrohrad: Norint, 1998.
↑
Nejdůležitější číslo je nula. Byl to geniální nápad udělat něco z ničeho, dát tomu jméno a vymyslet pro to symbol.
— Van der Waerden B. L. Věda probuzení. Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka. - M.: Fizmatlit, 1959. - S. 77.
↑ Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. Historické kořeny elementární matematiky (anglicky) . - Courier Dover Publications , 1976. - S. 254-255. - ISBN 0-486-13968-9 . , Výňatek ze stran 254—255 Archivováno 10. května 2016 na Wayback Machine
↑ 1 2 Potapov M. K., Alexandrov V. V., Pasichenko P. I. Algebra a analýza elementárních funkcí. - M. : Nauka, 1981. - S. 9. - 560 s.
↑ Mezinárodní standard 80000-2:2009. Část 2 . Lidé NCSU COE . Staženo 12. 8. 2019. Archivováno z originálu 28. 2. 2019. (neurčitý)
↑ GOST R 54521-2011 Statistické metody. Matematické symboly a znaky pro použití v normách (reissue) z 24. listopadu 2011 - docs.cntd.ru. docs.cntd.ru _ Získáno 14. ledna 2022. Archivováno z originálu dne 9. července 2021. (neurčitý)
↑ 1 2 Savin A.P. Encyklopedický slovník mladého matematika / komp. A. P. Savin. - M .: "Pedagogika", 1989. - S. 219.
↑ Tsypkin A. G. Příručka matematiky pro střední školy / Ed. S. A. Štěpánová. - 3. vyd. - M. : Nauka, 1983. - S. 415. - 480 s.
↑ Jaká je síla čísla Archivováno 28. července 2021 na Wayback Machine // Školní matematika, internetový zdroj.
↑ Proč je číslo s mocninou 0 rovno 1? Archivní kopie ze dne 2. dubna 2015 na Wayback Machine // Naukolandiya, internetový zdroj.
↑ Funkce napájení Archivováno 2. dubna 2015 na Wayback Machine // Great Soviet Encyclopedia. - M .: Sovětská encyklopedie 1969-1978.
↑ Brich Z. S., Voyush V. I., Degtyareva G. S., Kovalevich E. V. Programming in Assembler Language of the ES Computer. — M .: Statistika, 1976. — 296 s. - S. 13-14, 19.
↑ Kulakovskaya V.P., Romanovskaya L.M., Savchenko T.A., Feldman L.S. Kobol Computer Minsk-32. Příspěvek pro zaměstnance výpočetních středisek. - M. : Statistika, 1973. - 284 s.
↑ Bryabrin V. M. Software pro osobní počítače. 3. vyd. — M .: Nauka , 1990. — 272 s. — ISBN 5-02-014824-5 . - S. 17, 113-114.
↑ Smirnov N. N. Software pro osobní počítače. - L .: Mashinostroenie, 1990. - 272 s. — ISBN 5-217-00029-5 . - S. 13, 80-81.
↑ Lamberto Garcia del Cid. Zvláštní čísla jiných kultur → 116 // Pozoruhodná čísla. Nula, 666 a další bestie. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 116. - 159 s. — (Svět matematiky). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
↑ Beránek, Evelyn (31. srpna 2014), Podívej, mami, žádná nula! , Scientific American , Roots of Unity , < http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2014/08/31/look-ma-no-zero/ > Archivováno 17. října 2014 na Wayback Machine
↑ Menninger K. Historie čísel. Čísla, symboly, slova . - M. : ZAO Tsentrpoligraf, 2011. - S. 469 -470. — 543 str. — ISBN 9785952449787 .
↑ Laura Laurencich-Minelli. Podivuhodná představa o mezoamerickém a andském „objektu nula“ a logika číselných bohů Inků . Archivováno z originálu 23. července 2012. (neurčitý)
↑ Rozruch kolem nuly . Získáno 19. září 2017. Archivováno z originálu 20. září 2017. (neurčitý)
↑ Mnoho povyku pro nic : staroindický text obsahuje nejstarší symbol nuly . The Guardian (14. září 2017). Získáno 19. září 2017. Archivováno z originálu 20. listopadu 2017.
↑ Lamberto Garcia del Cid. Zvláštní čísla jiných kultur → 116 // Pozoruhodná čísla. Nula, 666 a další bestie. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 115. - 159 s. — (Svět matematiky). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
↑ „Zentralblatt für Mathematik“, duben 1957, sdělení českého historika matematiky G. Vettera.
↑ Depman, 1965 , str. 89.
↑ Depman, 1965 , str. 90.
↑ Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (třetí vydání) (anglicky) . — Princeton University Press , 2011. — S. 86 . - ISBN 978-0-691-13526-7 .

Literatura

Depman I. Ya. Historie aritmetiky . - 2. vydání, přepracované. - M . : Vzdělávání, 1965. - 417 s.
Lamberto Garcia del Cid. První přirozená čísla a jejich hodnota → 0 je nejednoznačné číslo // Pozoruhodná čísla. Nula, 666 a další bestie. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 14-15. — 159 str. — (Svět matematiky). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
Nula // Encyklopedický slovník mladého matematika / Komp. A. P. Savin. - M . : Pedagogika , 1985. - S. 219 . — 352 s.
V bezpečí, Charlesi. Nula. Životopis nebezpečného nápadu = Zero: Životopis nebezpečného nápadu. - Neoklasika, AST, 2014. - 288 s. - ISBN 978-5-17-083294-1 .
Kaplan, Robert. Nic, co je. Přírodní historie nuly . - Oxford: Oxford University Press, 2000. - 226 s. — ISBN 0-19-512842-7 .
Wellsi, Davide. 0 // Tučňákův slovník zvědavých a zajímavých čísel . - Penguin Books, 1986. - S. 23-26 . — 229 s. — ISBN 0-14-008029-5 .

Odkazy

Historie nuly
Proč nemůžete dělit nulou?
Symbolika čísel (nula) /S. Curius / "Time Z" č. 2/2007
O srovnání pojmů "nula" a "nic" Smirnov OA - Vědecká sekce MEPhI-2003.
Vlastnosti čísla nula
JJ O'Connor, E. F. Robertson. Historie Nuly . MacTutor historie archivu matematiky . School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Skotsko (listopad 2000). (neurčitý)

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Velký Rus Britannica (online) Brockhaus
V bibliografických katalozích	BNF : 12089393x GND : 4368215-7 J9U : 987007534242405171 LCCN : sh85149761 NKC : ph323412

Numerické soustavy
Počitatelné sady	Přirozená čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ celá čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ racionální ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebraické ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Období Vypočitatelný Aritmetický
Reálná čísla a jejich rozšíření	Skutečné ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplexní ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ čtveřice ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyova čísla (oktávy, osminky) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternions Dvojí Hyperkomplex Superreálné Hypermateriál nadreálný
Nástroje pro numerické rozšíření	Cayley-Dixonův postup Frobeniova věta Hurwitzova věta
Jiné číselné soustavy	kardinální čísla Řadové číslovky (překonané, řadové) p-adic Nadpřirozená čísla intervalová čísla
viz také	dvojitá čísla Iracionální čísla transcendentální čísla číselný paprsek Biquaternion

Celá čísla

Až 100
0 jeden 2 3 čtyři 5 6 7 osm 9 deset jedenáct 12 13 čtrnáct patnáct 16 17 osmnáct 19 dvacet 21 22 23 24 25 26 27 28 29 třicet 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 45 46 47 48 padesáti 51 52 53 54 55 56 57 60 61 62 63 64 66 68 69 70 71 72 73 74 76 77 78 79 80 81 82 83 85 87 88 89 90 91 92 95 97 98 99

100 a více