Jednostranný limit

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. dubna 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Jednostranná limita v matematické analýze - limita numerické funkce , implikující "přiblížení" k limitnímu bodu na jedné straně. Takové limity se nazývají levá limita (nebo levá limita ) a pravá limita ( pravá limita ).

Definice

Nechť je na nějaké číselné množině dána numerická funkce a číslo je limitním bodem definičního oboru . Existují různé definice pro jednostranné limity funkce v bodě , ale všechny jsou ekvivalentní. $M\subset \mathbb {R}$ $f\dvojtečka M\to \mathbb{R}$ $A$ $M$ $f \left( x \right)$ $A$

Heineho jednostranný limit

Číslo se nazývá pravostranná mez ( pravá mez , pravá mez ) funkce v bodě , pokud pro libovolnou posloupnost bodů větší než , která sama konverguje k , odpovídající posloupnost hodnot funkce konverguje k . $A\in \mathbb{R}$ $f \left( x \right)$ $A$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $A$ $A$ $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $A$ $\lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\ dvojtečka \left(\forall k\in \mathbb {N} \Šipka doprava x_{k}>a\vpravo)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Šipka doprava \lim _{n \to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A$
Číslo se nazývá levá mez ( levá mez , levá mez ) funkce v bodě , pokud pro jakoukoli posloupnost bodů menší než , která sama konverguje k , odpovídající posloupnost hodnot funkce konverguje k . [jeden] $A\in \mathbb{R}$ $f \left( x \right)$ $A$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $A$ $A$ $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $A$ $\lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \Šipka doprava x_{k}<a\vpravo)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Šipka doprava \lim _{ n\to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A$

Jednostranná Cauchyova mez

Číslo se nazývá pravostranná limita ( pravá limita , pravá limita ) funkce v bodě , pokud pro libovolné kladné číslo je nalezeno kladné číslo , které mu odpovídá , takže nerovnost platí pro všechny body z intervalu . $A\in \mathbb{R}$ $f \left( x \right)$ $A$ $\varepsilon$ $\delta$ $X$ $\left(a,a+\delta\right)$ $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$ $\lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0\colon ~\forall x\in \left(a,a+\delta \right)\Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$
Číslo se nazývá levá limita ( levá limita , levá limita ) funkce v bodě , pokud je pro libovolné kladné číslo nalezeno kladné číslo , které mu odpovídá , takže nerovnost platí pro všechny body z intervalu . [jeden] $A\in \mathbb{R}$ $f \left( x \right)$ $A$ $\varepsilon$ $\delta$ $X$ $\left(a-\delta ,a\right)$ $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$ $\lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0\ dvojtečka ~\forall x\in \left(a-\delta ,a\right)\Šipka doprava \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$

Jednostranný limit jako limit podél filtru

Jednostranná limita je speciální případ obecného konceptu limity funkce podél filtru . Let a potom množinové systémy $M\subset {\mathbb {R}),$ $a \in M'.$

{\mathfrak {B}}_{+}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}

{\mathfrak {B}}_{-}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}

jsou filtry . Limity podél těchto filtrů jsou stejné jako odpovídající jednostranné limity:

\lim \limits _{{{\mathfrak {B}}_{+}}}f(x)\equiv \lim \limits _{{x\to a+}}f(x);

\lim \limits _{{{\mathfrak {B}}_{-}}}f(x)\ekviv \lim \limits _{{x\to a-}}f(x).

Notace

Pravý limit je obvykle označen některou z následujících metod: $\lim \limits _{{x\to a+}}f(x),\ \ \lim \limits _{{x\to+0}}f(x),\ \ \lim _{{x\downarrow a}}f(x),\ \ \lim _{{x\searrow a}}f(x);$
Podobně pro limity na levé straně jsou akceptovány následující zápisy: $\lim \limits _{{x\to a-}}f(x),\ \ \lim \limits _{{x\to-0}}f(x),\ \ \lim _{{x\ nahoru a}}f(x),\ \ \lim _{{x\nearrow a}}f(x).$
Používají se také následující zkratky:
- $f\left(a+\right)$ a pro správný limit; $f\left(a+0\right)$
- $f\left(a-\right)$ a pro levý limit. $f\left(a-0\right)$

Kdy zmenšit zápis, místo a píší většinou a, resp. $a=0$ $\lim \limits _{x\to 0+0}f(x)$ $\lim \limits _{x\to 0-0}f(x)$ $\lim \limits _{x\to +0}f(x)$ $\lim \limits _{x\to -0}f(x)$

Vlastnosti

Hlavní vlastnosti jednostranných limit jsou totožné s vlastnostmi běžných limit a jsou speciálními případy vlastností limit podél filtru.
Pro existenci (oboustranné) limity funkce je nutné a postačující , aby obě jednostranné limity existovaly a byly si navzájem rovné. [jeden]

Příklady

Číselná funkce identity
- $f\left(x\right)=x$
- Doména: $\mathbb {R}$
- Pravý limit: $\forall a\in \mathbb{R} \colon \lim _{{x\to a+0}}x=a$
- Levý limit: $\forall a\in \mathbb{R} \colon \lim _{{x\to a-0}}x=a$
- Pravý a levý limit jsou stejné, takže existuje obvyklý limit: $\forall a\in \mathbb{R} \colon \lim _{{x\to a}}x=a$
Po částech definovaná funkce
- $f\left(x\right)={\begin{cases}x^{2},&x<3\\11-\left(x-3\right)^{2},&x>3\end{cases} }$
- Doména: $\mathbb{R} \setminus \left\{3\right\}$
- Pravý limit: $\lim _{{x\to 3+0}}f\left(x\right)=11$
- Levý limit: $\lim _{{x\to 3-0}}f\left(x\right)=9$
- Pravý a levý limit se liší, takže v bodě neexistuje žádný obvyklý limit $x=3$
funkce sgn(x).
- $f\left(x\right)={\begin{cases}0,&x=0\\{\frac {x}{\left|x\right|}},&x\neq 0\end{cases}}$
- Doména: $\mathbb {R}$
- Pravý limit: $\lim _{{x\to 0+0}}\jméno operátora{sgn} \left(x\right)=+1$
- Levý limit: $\lim _{{x\to 0-0}}\jméno operátora{sgn} \left(x\right)=-1$
- Pravý a levý limit se liší, takže v bodě neexistuje žádný obvyklý limit $x=0$

Viz také

Funkční limit

Poznámky

↑ 1 2 3 V. A. Iljin , V. A. Sadovničij , Bl. H. Sendov . Kapitola 3. Teorie limit // Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova . - 3. vyd. , revidováno a doplňkové - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 105 - 121. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .