Rozšířená číselná řada

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. října 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Rozšířená ( afinitně rozšířená ) číselná osa je množina reálných čísel doplněná dvěma body v nekonečnu : (kladné nekonečno) a (záporné nekonečno), tedy . Je třeba chápat, že to nejsou čísla a mají trochu jinou povahu, ale pro ně, stejně jako pro reálná čísla, je také definován vztah pořadí . Také samotné prvky jsou považovány za nerovné. [jeden] $\mathbb {R}$ $+\infty$ $-\infty$ ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty ;-\infty \}=[-\infty ;+\infty ]$ $-\infty ,+\infty$ $-\infty$ $+\infty$

V tomto případě se pro jakékoli reálné číslo podle definice předpokládá, že nerovnosti jsou splněny . V některých didaktických materiálech se termín "rozšířená číselná osa" používá ve vztahu k číselné ose prodloužené o jeden bod v nekonečnu , nesouvisí s reálnými čísly vztahem řádu, proto se někdy pro upřesnění používá čára s jedním nekonečnem. volal projektivně prodloužený , a se dvěma- affinely prodloužený . [2] $x \in \mathbb{R}$ $-\infty <x<+\infty$

Znaménko plus u prvku se často nevynechává jako u jiných kladných čísel, aby nedošlo k záměně s nekonečnem bez znaménka projektivně prodloužené číselné osy. Někdy se však znaménko stále vynechává a v takových případech se projektivní nekonečno obvykle označuje jako . $+\infty$ $\pm\infty$

Objednávka

Množina reálných čísel je lineárně uspořádána s ohledem na . Neexistují však žádné maximální a minimální prvky. Uvažujeme-li soustavu reálných čísel jako lineárně uspořádanou množinu, pak její rozšíření do soustavy spočívá právě v přidání maximálního ( ) a minimálního ( ) prvku. $\mathbb {R}$ $\leqslant$ $\mathbb {R}$ $\overline{\mathbb{R))$ $+\infty$ $-\infty$

Díky tomu má každá neprázdná množina v systému přesnou horní mez (konečná, pokud je množina ohraničena nad , a pokud není ohraničená nad ). Podobné tvrzení platí také pro nejmenší dolní mez . To vysvětluje pohodlí zavedení prvků a . [3] [4] $\overline{\mathbb{R))$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$

V rozšířené číselné řadě jsou 3 typy intervalů : interval, poloviční interval a segment.

{\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \))

- časový úsek

{\displaystyle (\alpha ,\beta ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x\leq \beta \))

, - poloviční interval

{\displaystyle [\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha \leq x<\beta \))

{\displaystyle [\alpha ,\beta ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha \leq x\leq \beta \))

- úsečka

Protože nekonečna jsou zde stejné prvky jako čísla, konečné a nekonečné intervaly se nerozlišují jako samostatné typy intervalů. [5]

Topologie

Relace pořadí generuje topologii na . V topologii jsou otevřené mezery mezery ve tvaru: $<$ $\tau$ $\overline{\mathbb{R))$ $\tau$

{\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \))

{\displaystyle (\alpha ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x>\alpha \))

[-\infty ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\dvojtečka x<\beta \}

[-\infty ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\}

kde . Otevřené množiny jsou na druhé straně definovány jako všechny možné sjednocení otevřených intervalů. $\alpha ,\beta \in {\overline {\mathbb {R} ))$

Okolí

Okolí bodu je jakákoli otevřená množina obsahující tento bod. A jak vyplývá z definice topologie otevřených množin , každé okolí bodu obsahuje jednu z otevřených mezer obsahujících . $U(a)$ $a\in {\overline {\mathbb {R} }}$ $\tau$ $A$ $A$

V kurzech matematické analýzy se obvykle zavádí konkrétnější pojem - okolí bodu na prodloužené reálné přímce ( ). $\varepsilon$ $U_{{\varepsilon }}(a)$ $\varepsilon >0$

V případě , tedy kdy je číslo, se -okolí nazývá množina: $a\in {\mathbb {R}}$ $A$ $\varepsilon$ $A$

U_{{\varepsilon }}(a){\overset {{\mathrm {def}}}{=}}(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).

Pokud , pak: $a=+\infty$

U_{{\varepsilon }}(+\infty ){\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}),+\infty \right] ,

a když , tak: $a=-\infty$

U_{{\varepsilon }}(-\infty ){\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\left[-\infty ,-{\frac {1}{\varepsilon }}\right) .

Pojem -okolí pro nekonečná čísla je definován tak, že ve všech případech - kdy je reálné číslo, nebo jedno z nekonečností - se při zmenšování počtu zmenšují odpovídající sousedství: . [6] $\varepsilon$ $A$ $\varepsilon$ $0<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}\Šipka doprava U_{{\varepsilon _{1}}}(a)\podmnožina U_{{\varepsilon _{2}}}(a)$

Proražené sousedství a -neighborhoods jsou definovány jako sousedství a -neighborhoods, ze kterých byl samotný bod odstraněn. $\varepsilon$ $\varepsilon$

Limity

V mnoha kurzech matematické analýzy jsou limity pro sklon k plus nebo mínus nekonečnu často definovány samostatně. Také rovnosti limit plus a mínus nekonečno jsou často definovány samostatně. Všechny tyto situace zapadají do jediné definice limity (která odpovídá obecné topologické definici limity ). ${\overline {\mathbb {R} }}$

Nechte , kde . Zejména může být reálnou funkcí reálné proměnné. Nechte _ Pak: $f\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ $X\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ $F$ $x_{0},a\in {\overline {\mathbb {R} }}$

\lim _{{x\to x_{0}}}f(x)=a{\overset {{\mathrm {def}}}{\iff }}\forall \varepsilon >0\;\exists \delta > 0\;\forall x\in X\;(x\in U_{{\delta }}(x_{0})\Šipka doprava f(x)\in U_{{\varepsilon }}(a))

Přitom tendence k nekonečnu na obou stranách a rovnost limity nekonečna bez znaménka nejsou touto definicí pokryty. Tyto případy lze také pokrýt obecnou topologickou definicí limity, ale v jiné struktuře, totiž v projektivně rozšířené reálné linii.

Navzdory tomu, že afinně a projektivně rozšířené číselné řady mají různé struktury, limity v nich jsou propojeny. Je-li limita in rovna jednomu z nekonečností, pak in je také rovna nekonečnu. Naopak to nefunguje: pokud je limita in rovna nekonečnu, neznamená to, že v ní bude rovna jednomu z nekonečností. Příklad toho je stále stejný v nekonečnu, ale v něm neexistuje. Spojení mezi těmito dvěma strukturami lze však stále formulovat jako tvrzení v obou směrech: limita v je rovna nekonečnu je rovna nekonečnu právě tehdy, když je v ní buď rovna jednomu z nekonečností, nebo neexistuje, ale množina jeho dílčích limit se skládá pouze z nekonečna. ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$

Kompaktnost

${\overline {\mathbb {R} }}$ je kompaktní Hausdorffův prostor. Prostor reálných čísel je úplný , ale není kompaktní. Na rozšířenou soustavu reálných čísel lze tedy pohlížet jako na dvoubodovou kompaktifikaci . [2] V tomto případě se ukáže, že jde o homeoform do segmentu . Tato skutečnost má jasnou geometrickou ilustraci. Analyticky je homeoformismus dán vzorcem: $\mathbb {R}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ $[0,1]$ $f\colon [0,1]\to {\overline {\mathbb {R} }}$

f(x)={\begin{cases}-\infty &x=0\\\jméno operátora {tg} \left(\pi x-{\dfrac {\pi }{2}}\right)&0< x<1\\+\infty &x=1\end{cases}}

Bolzanova -Weierstrassova věta platí pro jakoukoli posloupnost, nejen omezenou. To znamená, že jakákoli sekvence v má podsekvenci, která konverguje k . Tedy sekvenčně kompaktní. ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$

Operace

Pro reálná čísla a prvky jsou definovány následující akce: $\pm\infty$

${\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=+\infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \ cdot a&=\pm \infty ,&a&>0\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&<0\\{\frac {a}{\pm \infty ))&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a))&=\pm \infty ,&a&>0\\{\frac {\pm \ infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&<0\\a^{+\infty }&=+\infty ,&a&>1\\a^{-\infty }&=+\infty ,&0& <a<1\\a^{-\infty }&=0,&a&>1\\a^{+\infty }&=0,&0&\leq a<1\\(+\infty )^{a} &=+\infty ,&a&>0\\(+\infty )^{a}&=0,&a&<0\\\jméno operátora {ln} {+\infty }&=+\infty \end{aligned}}$

Význam výrazů , , , není definován. [2] $(+\infty )-(+\infty ),0\times (\pm \infty ),{\frac {0}{0))$ ${\displaystyle 1^{\pm \infty ))$ ${\displaystyle (\pm \infty )^{0))$ $0^{0}$

Na rozdíl od všeobecného přesvědčení není význam výrazu , kde , také definován. Rozšíření tohoto výrazu na jedno z nekonečna přeruší kontinuitu operace dělení. To lze ilustrovat na příkladu funkce . Jeho limit na nule vlevo je , a vpravo , což znamená, že v tomto bodě neexistuje žádná oboustranná limita. Z tohoto důvodu, bez ohledu na to, jak rozšíříme definici funkce na nulu, zůstane nespojitá. ${\frac {a}{0}}$ $a \neq 0$ ${\frac {1}{x))$ $-\infty$ $+\infty$

Zápis se často setkává nebo odkazuje na zásadně odlišnou strukturu – projektivně prodlouženou číselnou řadu, ve které je nekonečno úplně jiný objekt. ${\frac {a}{0}}=\infty$ ${\frac {a}{0}}=\pm \infty$

Algebraické vlastnosti

Následující rovnosti znamenají: obě části jsou buď obě stejné, nebo obě nedávají smysl

$a+b=b+a$
$(a+b)+c=a+(b+c)$
$a\cdot b=b\cdot a$
$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Následující rovnosti platí, pokud je definována jejich pravá strana.

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Následující vlastnosti jsou pravdivé, pokud obě strany pravé nerovnosti dávají smysl

pokud , tak $a\leq b$ $a+c\leq b+c;$
pokud , tak $a\leq b,~c>0$ $a\cdot c\leq b\cdot c.$

Viz také

Projektivně rozšířená číselná řada

Poznámky

↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 64.
↑ 123 Wolfram . _ _
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 75.
↑ Rudin, 2004 , str. 24.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 65.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 66.

Literatura

Kudryavtsev, L. D. Kurz matematické analýzy. - 5. vyd. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Cantrell DW Affinely Extended Reálná čísla . Wolfram Matematický svět . Weisstein EW. Datum přístupu: 9. ledna 2022.
Rudin U. Základy matematické analýzy = Principy matematické analýzy. - 3. vyd. - M. : Lan, 2004. - 320 s. — ISBN 5-8114-0443-3 .