Eulerovy úhly

Eulerovy úhly jsou úhly, které popisují rotaci absolutně tuhého tělesa v trojrozměrném euklidovském prostoru . Představil Leonhard Euler .

Ve srovnání s Eulerovými úhly usnadňují čtveřice rotace kombinování a také se vyhýbají problému s nemožností rotace kolem osy bez ohledu na dokonalou rotaci v jiných osách (viz čtveřice a rotace prostoru ).

Definice

Eulerovy úhly definují tři rotace systému, které umožňují přenést libovolnou polohu systému do aktuální. Označme počáteční souřadnicový systém jako , konečný jako . Průsečík souřadnicových rovin se nazývá linie uzlů . $(x,y,z)$ $(X,Y,Z)$ $xy$ $XY$ $N$

Úhel mezi osou a linií uzlů je úhlem precese. $\alpha$ $X$
Úhel mezi osami a je nutační úhel. $\beta$ $z$ $Z$
Úhel mezi linií uzlů a osou je úhlem jejího vlastního natočení. $\gamma$ $X$

Rotace systému prostřednictvím těchto úhlů se nazývají precese , nutace a rotace prostřednictvím vlastního úhlu ( rotace ). Takové rotace jsou nekomutativní a konečná poloha systému závisí na pořadí, ve kterém jsou rotace prováděny. V případě Eulerových úhlů se provádí série tří rotací:

Úhel kolem osy . V tomto případě se osa změní na . $\alpha$ $z$ $X$ $N$
Úhel kolem osy . V tomto případě se osa změní na . $\beta$ $N$ $z$ $Z$
Úhel kolem osy . V tomto případě se osa změní na . $\gamma$ $Z$ $N$ $X$

Někdy se takové posloupnosti říká 3,1,3 (nebo Z,X,Z), ale tento zápis může vést k nejednoznačnosti.

Vzorce

Eulerovy úhly popisují sekvenční kombinaci pasivních rotací kolem os rotujícího souřadnicového systému. Matice těchto rotací mají tvar:

$R_{Z}(\alpha )=\left({\begin{array}{ccc}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )&0\\\sin(\alpha )&\cos (\alpha )&0\\0&0&1\\\end{array}}\right),\quad R_{X}(\beta )=\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos( \beta )&-\sin(\beta )\\0&\sin(\beta )&\cos(\beta )\\\end{array}}\right),\quad R_{Z}(\gamma )= \left({\begin{array}{ccc}\cos(\gamma )&-\sin(\gamma )&0\\\sin(\gamma )&\cos(\gamma )&0\\0&0&1\\\end {pole}}\vpravo).$

Postupné provádění těchto rotací poskytne matici:

$R=R_{Z}(\gamma )\cdot R_{X}(\beta )\cdot R_{Z}(\alpha )=\left({\begin{array}{ccc}\cos(\ alpha )\cos(\gamma )-\cos(\beta )\sin(\alpha )\sin(\gamma )&-\cos(\gamma )\sin(\alpha )-\cos(\alpha)\cos (\beta)\sin(\gamma)&\sin(\beta)\sin(\gamma)\\\cos(\beta)\cos(\gamma)\sin(\alpha)+\cos(\alpha) \sin(\gamma )&\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\gamma )&-\cos(\gamma )\sin(\ beta )\\\sin(\alpha )\sin(\beta )&\cos(\alpha )\sin(\beta )&\cos(\beta )\\\end{array}}\right).$

Součin , kde jsou souřadnice bodu před otočením, dá souřadnice bodu v pohyblivém souřadném systému po otočení. Před a po otočení se souřadnice bodu v pevném souřadném systému nezmění. $R\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ $x, y, z$

Viz také

Seznam objektů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi
Rolování , stoupání a vybočení jsou úhlové pohyby letadla nebo jiného vozidla
Rotační matice
Šest stupňů volnosti

Literatura

Berezkin E. N. Kurz teoretické mechaniky - 2. vyd., Per. - M .: Nakladatelství Moskevské státní univerzity. 1974. - 641 s.
Zhuravlev VF Základy teoretické mechaniky - 2. vyd. — M.: Fizmatlit , 2001. S. 23.
Whittaker E. Analytická dynamika P.25