Lineárně uspořádaná sada

Lineárně uspořádaná množina ( řetězec ) je částečně uspořádaná množina , ve které je jakákoliv dvojice prvků srovnatelná, tedy pro libovolné dva prvky a nebo probíhá . $A$ $b$ $a\leqslant b$ $b\leqslant a$

Jeden z ústředních pojmů v teorii řádu ; hraje důležitou roli v obecné algebře , zejména jsou studovány uspořádané skupiny , uspořádané kruhy , uspořádaná pole . Nejdůležitějším speciálním případem lineárně uspořádaných množin jsou zcela uspořádané množiny .

Související definice

Sekce lineárně uspořádané množiny je jejím rozdělením na dvě podmnožiny a tak, že , a pro libovolné a : . Třídy a se nazývají nižší a vyšší třídy střihu. $P$ $A$ $B$ $A\pohár B=P$ $A\cap B=\varnonic$ $v A$ $b\in B$ $a\leqslant b$ $A$ $B$

Rozlišují se následující typy sekcí:

skok – nižší třída má největší prvek a horní třída nejmenší;
Dedekindův střih — ve vyšší třídě není žádný nejmenší prvek nebo v nižší třídě není žádný největší prvek, ale ne obojí;
mezera — nižší třída nemá největší prvek a vyšší třída nemá nejmenší.

Lineárně uspořádaná množina se nazývá spojitá , pokud všechny její sekce jsou Dedekind.

Podmnožina lineárně uspořádané množiny se nazývá hustá, pokud každý nejednotlivý interval množiny obsahuje prvky patřící do . $D$ $P$ $P$ $D$

Vlastnosti

Podmnožina lineárně uspořádané množiny je sama lineárně uspořádaná.

Jakýkoli maximální (minimální) prvek lineárně uspořádané množiny se ukáže jako největší (nejmenší). [jeden]

Lineárně uspořádanou množinu reálných čísel lze charakterizovat jako spojitou lineárně uspořádanou množinu, která nemá ani největší, ani nejmenší prvky, ale obsahuje spočetnou hustou podmnožinu.

Jakákoli spočetná lineárně uspořádaná množina je izomorfní k nějaké podmnožině segmentu s pořadím zděděným od . $[0, 1]$ $\mathbb {R}$

Mříž je izomorfní k podmnožině lineárně uspořádané množiny celých čísel tehdy a jen tehdy, když každá její podmřížka je retract . $L$

Poznámky

↑ Opak je vždy pravdou – největší prvek v jakékoli množině je maximum