Rozlišení (homologická algebra)

Rezolvent je jedním z důležitých nástrojů homologické algebry , používá se zejména k výpočtu funktorů Ext a Tor .

Projektivní rozlišení

Komplex ( X , ε ) nad R - modulem C je sekvence

$\cdots~X_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}X_{n}\stackrel{d_{n}}{\longrightarrow}~\cdots~\stackrel{d_{2} }{\longrightarrow}X_{1}\stackrel{d_{1}}{\longrightarrow}X_{0}\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}C{\longrightarrow}0$ (*)

takový, že součin dvou po sobě jdoucích homomorfismů je roven 0. Pokud jsou všechna X volná, komplex se nazývá volný, pokud jsou všechny projektivní , nazývá se projektivní. Pokud je sekvence (*) přesná , to znamená, že veškerá homologie H n ( X ) = ker d n /im d n +1 = 0 pro n > 0 a H 0 ( X ) = ker d 0 /im d 1 = X 0 / im d 1 = X 0 /ker ε je izomorfní s C (za předpokladu d 0 : X 0 → 0 ), pak se tento komplex nazývá rozpouštědlem R . Protože jakýkoli modul C je podílovým modulem volného modulu, lze libovolný modul C zahrnout do nějakého volného (a navíc projektivního) rozlišení.

Nejmenší index k takový, že všechna X n jsou nula pro n > k , se nazývá délka rozpouštědla. Projektivní rozměr modulu je nejmenší délka jeho projektivního rozlišení. Například projektivní modul je přesně modul projektivní dimenze 0.

Funktory Ext n najdeme podle následující věty: Jestliže C a A jsou R - moduly a ε : X → C je libovolné projektivní rozlišení C , pak Ext n ( C , A ) je izomorfní s kohomologickou grupou H n ( X , A ) = Hn ( HomR ( X , A ) ) . Funktory Tor n najdeme podle následující věty: Jestliže C a A jsou R -moduly a ε : X → C je libovolné projektivní rozlišení C , pak Tor n ( C , A ) je izomorfní k homologní grupě H n ( X ⊗ R A ) .

Injektivní rozlišení

Komplex ( Y , ε ) pod R - modulem A je sekvence:

$0{\longrightarrow}A\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}Y^{0}\stackrel{\delta^{1}}{\longrightarrow}Y^{1}\stackrel{\delta^{2}} {\longrightarrow}~...~\stackrel{\delta^{n}}{\longrightarrow}Y^{n}\stackrel{\delta^{n+1}}{\longrightarrow}Y^{n+1 }{\longrightarrow}~\cdots$ (**)

takový, že součin dvou po sobě jdoucích homomorfismů je 0. Pokud jsou všechny Y injektivní , komplex je řekl, aby byl injektivní. Pokud je sekvence (**) přesná, to znamená, že celá kohomologie H n ( Y ) = ker δ n +1 /im δ n = 0 pro n > 0 a H 0 ( Y ) = ker δ 1 /im δ 0 = ker δ 1 = im ε je izomorfní k A (za předpokladu δ 0 : 0 → Y 0 ), pak se tento komplex nazývá core resolvent (obvykle se v tomto případě „ko“ vynechává a mluví se o injektivním rozlišení) . Protože jakýkoli modul A je podmodulem injektivního, a tak dále, může být jakýkoli modul A zahrnut do nějakého injektivního rozlišení.

Funktory Ext n najdeme podle následující věty: Jestliže C a A jsou R - moduly a ε : A → Y je libovolné injektivní rozlišení A , pak Ext n ( C , A ) je izomorfní s kohomologickou grupou H n ( Hom R ( C , Y ) ) .

Literatura

Cartan A. , Eilenberg S. Homologická algebra. - M: IL, 1960
McLane S. Homologie. - M: Mir, 1966