Dokonalá grupa [1] je taková grupa , že zobrazení je izomorfismus . Toto mapování posílá prvek do konjugačního automorfismu . Injektivita tohoto zobrazení je ekvivalentní trivialitě středu a surjektivita je ekvivalentní skutečnosti, že každý automorfismus je vnitřní.
Příklady jsou symetrické skupiny u ( Hölderova věta ); navíc skupina má netriviální centrum a skupina má vnější automorfismus .
Automorfismy jednoduché grupy tvoří téměř jednoduchou grupu a automorfismy neabelovské jednoduché grupy tvoří dokonalou grupu.
Ne každá grupa isomorfní ke své automorfní grupě je dokonalá - je nutné, aby isomorfismus proběhl pomocí konjugační mapy. Příkladem skupiny, pro kterou , ale není dokonalá, je dihedrální skupina [2] .