Skupiny symetrie

Grupa symetrie (také grupa symetrie ) nějakého objektu (mnohostěnu nebo množiny bodů z metrického prostoru ) je skupina všech transformací, pro které je tento objekt invariantní , se složením jako grupovou operací. Zpravidla jsou uvažovány množiny bodů n - rozměrného euklidovského prostoru a pohyby tohoto prostoru, ale v obecnějších případech si pojem grupa symetrie zachovává svůj význam.

Příklady

• Skupina symetrie segmentu v jednorozměrném prostoru obsahuje dva prvky: identickou transformaci a odraz vzhledem ke středu segmentu. Ale ve dvourozměrném euklidovském prostoru již existují 4 pohyby, které daný segment transformují do sebe. V trojrozměrném prostoru má segment nekonečnou množinu symetrií (prvky grupy symetrií budou zejména rotace o libovolný úhel kolem úsečky obsahující tento segment).
• Grupa symetrie rovnostranného trojúhelníku v rovině sestává ze shodné transformace, rotací o 120° a 240° kolem středu trojúhelníku a odrazů kolem jeho výšek. V tomto případě se skupina symetrie skládá ze 6 transformací, které provádějí všechny možné permutace vrcholů trojúhelníku. Proto je tato skupina izomorfní k symetrické skupině S3 . Nicméně grupa symetrie čtverce má řád 8 a grupa symetrie S4 je izomorfní ke grupě symetrie pravidelného čtyřstěnu.
• Skupina symetrie scalenového trojúhelníku je triviální, to znamená, že se skládá z jednoho prvku, identické transformace.
• Pokud předpokládáme, že lidské tělo je zrcadlově symetrické, pak se jeho skupina symetrie skládá ze dvou prvků: shodné transformace a odrazu kolem roviny, která rozděluje tělo na pravou a levou část vzájemně symetrickou.
• Libovolná periodická mozaika roviny (nebo ornamentu [1] ) má skupinu symetrie, jejíž prvky všemi možnými způsoby kombinují určitý pevný obkladový prvek s každým prvkem , který je s ním shodný . Jedná se o speciální (dvourozměrný) případ krystalografických skupin, o kterém bude řeč níže.
• Skupiny symetrie mřížek. V různých oblastech matematiky se používají různé koncepty mřížky. Zejména:
  • Ve fyzice pevných látek a teorii krystalografických skupin je krystalová mřížka soubor bodů v afinním prostoru  s translační symetrií . Symetrie této množiny musí zachovat vzdálenost mezi body, tedy být pohyby . Skupina těchto pohybů je krystalografická grupa (neboli surjektivně homomorfně mapovaná na krystalografickou grupu) [2] .
  • V teorii grup je mříž  skupina izomorfní s bilineární formou na ní (v trojrozměrném euklidovském prostoru odpovídá Bravaisově mřížce z teorie krystalografických grup s rozlišeným původem). Symetrie takové mřížky musí být automorfismy grupy . Skupina takových automorfismů je na rozdíl od krystalografické grupy konečná, pokud bilineární forma mřížky odpovídá euklidovskému prostoru [3] .
• Grupa symetrie diferenciální rovnice je skupina transformací proměnných, které zachovávají tvar rovnice, a proto převádějí řešení rovnice na řešení, která se obecně neshodují s původními.

Klasifikace

Níže se předpokládá, že pro každý bod je množina obrázků , kde  je skupina symetrie, topologicky uzavřená.

Jednorozměrný prostor

Každý pohyb jednorozměrného prostoru je buď přenesením všech bodů přímky do nějaké pevné vzdálenosti, nebo odrazem o nějakém bodě. Množina bodů v jednorozměrném prostoru má jednu z následujících skupin symetrie:

• triviální skupina C1
• grupa skládající se z transformace identity a reflexe kolem bodu (izomorfní k cyklické grupě C 2 )
• nekonečné grupy skládající se z mocnin nějakého přenosu (izomorfní s nekonečnou cyklickou grupou)
• nekonečné grupy, jejichž generátory jsou nějakým překladem a odrazem vzhledem k nějakému bodu;
• grupa všech překladů (izomorfní s aditivní grupou reálných čísel)
• skupina všech překladů a odrazů vzhledem ke každému bodu přímky

Dvourozměrný prostor

Ve dvourozměrném případě jsou skupiny symetrie rozděleny do následujících tříd:

• cyklické skupiny C 1 , C 2 , C 3 , … skládající se z rotací kolem pevného bodu o úhly dělitelné 360°/ n
• dihedrální skupiny D 1 , D 2 , D 3 , …
• speciální ortogonální grupa SO(2)
• ortogonální grupa O(2)
• 7 skupin obrubníků
• 17 skupina ornamentů (nebo ploché krystalografické skupiny )
• nekonečné grupy, které jsou získány z jednorozměrných skupin symetrie přidáním translace ve směru kolmém k původní přímce
• předchozí odstavec, ke kterému je přidána symetrie kolem původního řádku.

Trojrozměrný prostor

Seznam konečných grup symetrie se skládá ze 7 nekonečných řad a 7 případů posuzovaných samostatně. Tento seznam zahrnuje 32 bodových krystalografických skupin a symetrických skupin pravidelných mnohostěnů .

Skupiny spojité symetrie zahrnují:

• skupina symetrie pravého kruhového kužele
• skupina symetrie kruhového válce
• skupina symetrie koule

Viz také

• Pravidelné mnohostěny
• Seznam krystalografických skupin
• Skupina symetrie bodů

Poznámky

1. ↑ V matematice se obklad prostoru nazývá mozaika nebo parkety .
2. ↑ Pascal Auscher, T. Coulhon, Alexander Grigoryan. Tepelná jádra a analýza potrubí, grafů a metrických prostorů. - AMS, 2003. - S. 288. - ISBN 0-8218-3383-9 .
3. ↑ JH Conway a NJA Sloane. Kulové těsnění, mřížky a skupiny . — 3. vyd. - Springer-Verlag New York, Inc., 1999. - S.  90 . — ISBN 0-387-98585-9 .

Literatura

• G. Weil. Symetrie. — M .: Nauka, 1968.
• Miller, Willard Jr. Skupiny symetrie a jejich aplikace . - New York: Academic Press, 1972.