Pravidelný mnohostěn nebo platónské těleso je konvexní mnohostěn , který se skládá z identických pravidelných mnohoúhelníků a má prostorovou symetrii.
Mnohostěn se nazývá pravidelný , pokud:
V trojrozměrném euklidovském prostoru existuje pouze pět pravidelných mnohostěnů [1] (seřazených podle počtu ploch):
obraz | pravidelný mnohostěn | Počet vrcholů | Počet hran | Počet tváří | Počet stran na obličeji | Počet hran sousedících s vrcholem | Typ prostorové symetrie |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Čtyřstěn | čtyři | 6 | čtyři | 3 | 3 | T d | |
Hexaedron | osm | 12 | 6 | čtyři | 3 | O h | |
Osmistěn | 6 | 12 | osm | 3 | čtyři | O h | |
dvanáctistěn | dvacet | třicet | 12 | 5 | 3 | já h | |
dvacetistěn | 12 | třicet | dvacet | 3 | 5 | já h |
Název každého mnohostěnu pochází z řeckého názvu pro počet jeho tváří a slova „tvář“.
Pravidelné mnohostěny jsou známy již od starověku. Jejich ornamentální vzory lze nalézt na vyřezávaných kamenných koulích z pozdního neolitu ve Skotsku , nejméně 1000 let před Platónem . V kostkách, se kterými lidé hráli na úsvitu civilizace, jsou již uhodnuty tvary pravidelných mnohostěnů.
Pravidelné mnohostěny do značné míry studovali již staří Řekové . Některé zdroje (jako Proclus Diadochus ) připisují čest jejich objevu Pythagorovi . Jiní tvrdí, že mu byly povědomé pouze čtyřstěn, krychle a dvanáctistěn, a čest objevit osmistěn a dvacetistěn patří Theaetetovi z Athén , Platónovi současníkovi. V každém případě Theaetetus podal matematický popis všech pěti pravidelných mnohostěnů a první známý důkaz, že jich je přesně pět.
Pravidelné mnohostěny jsou charakteristické pro filozofii Platóna , po kterém dostaly název „platónská tělesa“. Psal o nich Platón ve svém pojednání Timaeus (360 př. n. l.), kde každý ze čtyř živlů (země, vzduch, voda a oheň) přirovnal k určitému pravidelnému mnohostěnu. Čtyřstěn odpovídal ohni, šestistěn zemi, osmistěn vzduchu a dvacetistěn vodě. Tato přirovnání byla vysvětlena následujícími asociacemi: žár ohně je cítit jasně a ostře, jako čtyřstěnné pyramidy; nejmenší vzduchové složky osmistěnu jsou tak hladké, že je téměř necítíte; voda se vylévá, když se vezme do ruky, jako by byla vyrobena z mnoha malých kuliček, k nimž jsou nejblíže dvacetistěny; na rozdíl od vody tvoří šestistěnné kostky, zcela na rozdíl od koule, zemi, která způsobuje, že se země drolí v rukou, na rozdíl od hladkého proudění vody. Pokud jde o pátý prvek, dvanáctistěn, Platón učinil vágní poznámku: "...Bůh jej definoval pro Vesmír a uchýlil se k němu jako k modelu."
Aristoteles přidal pátý prvek, éter , a předpokládal, že nebesa jsou vyrobena z tohoto prvku, ale nesrovnával to s Platonovým pátým prvkem.
Euclid podal kompletní matematický popis pravidelných mnohostěnů v poslední, XIII knize Počátků . Tvrzení 13-17 této knihy popisují strukturu čtyřstěnu, osmistěnu, krychle, dvacetistěnu a dvanáctistěnu v tomto pořadí. Pro každý mnohostěn Euclid našel poměr průměru opsané koule k délce hrany. Tvrzení 18 říká, že neexistují žádné jiné pravidelné mnohostěny. Andreas Speiser, matematik na univerzitě v Basileji, tvrdil, že konstrukce pěti pravidelných mnohostěnů je hlavním cílem deduktivního systému geometrie, protože byl vytvořen Řeky a kanonizován v Euklidových prvcích [2] . Mnoho informací v knize XIII o živlech může pocházet ze spisů Theaeteta.
Německý astronom Johannes Kepler se v 16. století pokusil najít spojení mezi pěti tehdy známými planetami sluneční soustavy (bez Země) a pravidelnými mnohostěny. V Tajemství světa , vydaném v roce 1596, Kepler vyložil svůj model sluneční soustavy. V něm bylo pět pravidelných mnohostěnů umístěno jeden do druhého a odděleno řadou vepsaných a opsaných koulí. Každá ze šesti sfér odpovídala jedné z planet ( Merkur , Venuše , Země , Mars , Jupiter a Saturn ). Mnohostěny byly uspořádány v následujícím pořadí (od vnitřního k vnějšímu): osmistěn, následovaný dvacetistěnem, dvanáctistěnem, čtyřstěnem a nakonec krychle. Struktura sluneční soustavy a vztah vzdáleností mezi planetami byly tedy určeny pravidelnými mnohostěny. Později musel být původní Keplerov nápad opuštěn, ale výsledkem jeho pátrání byl objev dvou zákonů orbitální dynamiky - Keplerovy zákony - které změnily chod fyziky a astronomie, stejně jako pravidelné hvězdicové mnohostěny ( Kepler-Poinsotova tělesa ) .
Mnohostěn | Vrcholy | žebra | Fazety | symbol Schläfli | |
---|---|---|---|---|---|
čtyřstěn | čtyři | 6 | čtyři | {3, 3} | |
šestistěn (krychle) | osm | 12 | 6 | {4, 3} | |
osmistěn | 6 | 12 | osm | {3, 4} | |
dvanáctistěn | dvacet | třicet | 12 | {5, 3} | |
dvacetistěn | 12 | třicet | dvacet | {3, 5} |
S každým pravidelným mnohostěnem jsou spojeny určité úhly , které charakterizují jeho vlastnosti. Dihedrální úhel mezi sousedními plochami pravidelného mnohostěnu {p, q} je dán vztahem:
Někdy je výhodnější použít výraz přes tečnu :
kde nabývá hodnot 4, 6, 6, 10 a 10 pro čtyřstěn, krychli, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn.
Rohová vada ve vrcholu mnohostěnu je rozdíl mezi 2π a součtem úhlů mezi hranami každé plochy v tomto vrcholu. Defekt v libovolném vrcholu pravidelného mnohostěnu:
Podle Descartovy věty se rovná děleno počtem vrcholů (to znamená, že celkový defekt pro všechny vrcholy je roven ).
Trojrozměrným analogem rovinného úhlu je prostorový úhel . Prostorový úhel Ω ve vrcholu pravidelného mnohostěnu je vyjádřen jako úhel dvoustěnu mezi sousedními plochami tohoto mnohostěnu vzorcem:
Prostorový úhel svíraný plochou pravidelného mnohostěnu s vrcholem ve středu tohoto mnohostěnu se rovná prostorovému úhlu plné koule ( steradiánu) dělenému počtem ploch. Rovná se také úhlové vadě mnohostěnu duálního k danému.
Různé úhly pravidelných mnohostěnů jsou uvedeny v následující tabulce. Číselné hodnoty prostorových úhlů jsou uvedeny ve steradiánech . Konstanta je zlatý řez .
Mnohostěn | Dihedrální úhel θ |
Plochý úhel mezi hranami ve vrcholu | Rohová vada (δ) | Vrcholový prostorový úhel (Ω) | Prostorový úhel odečtený od plochy | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|
čtyřstěn | 70,53° | 60° | |||||
krychle | 90° | jeden | 90° | ||||
osmistěn | 109,47° | √2 | 60°, 90° | ||||
dvanáctistěn | 116,57° | 108° | |||||
dvacetistěn | 138,19° | 60°, 108° |
S každým pravidelným mnohostěnem jsou spojeny tři soustředné koule:
Poloměry opsané ( ) a vepsané ( ) koule jsou dány vzorcem:
kde θ je dihedrální úhel mezi sousedními plochami mnohostěnu. Poloměr střední koule je dán vzorcem:
kde h je hodnota popsaná výše při určování dihedrálních úhlů (h = 4, 6, 6, 10 nebo 10). Poměry opsaných poloměrů k vepsaným poloměrům jsou symetrické vzhledem k p a q:
Povrchová plocha S pravidelného mnohostěnu {p, q} se vypočítá jako plocha pravidelného p-úhelníku vynásobená počtem ploch Г:
Objem pravidelného mnohostěnu se vypočítá jako objem pravidelného jehlanu vynásobený počtem stěn , jehož základna je pravidelný p-úhelník a výška je poloměr vepsané koule r:
Níže uvedená tabulka obsahuje seznam různých poloměrů, povrchových ploch a objemů pravidelných mnohostěnů. Hodnota délky hrany a v tabulce je rovna 2.
Mnohostěn ( a = 2) |
Poloměr vepsané koule ( r ) | Střední poloměr koule (ρ) | Poloměr opsané koule ( R ) | Povrch ( S ) | Hlasitost ( V ) |
---|---|---|---|---|---|
čtyřstěn | |||||
krychle | |||||
osmistěn | |||||
dvanáctistěn | |||||
dvacetistěn |
Konstanty φ a ξ jsou dány výrazy
Mezi pravidelnými mnohostěny představují dvanáctistěn i dvacetistěn nejlepší přiblížení ke kouli. Dvacetistěn má největší počet ploch, největší úhel vzepětí a je nejtěsněji přitlačen ke své vepsané kouli. Na druhou stranu dvanáctistěn má nejmenší úhlovou vadu, největší prostorový úhel ve vrcholu a svou opsanou kouli vyplňuje co nejvíce.
Ve čtyřrozměrném prostoru je šest pravidelných mnohostěnů (polyedrů) :
Pětibuňkový |
tesseract |
Hexadecimální buňka |
dvacet čtyři buňky |
120 buněk |
Šest set buněk |
V každém z prostorů vyšších dimenzí jsou tři pravidelné mnohostěny ( polytopy ) :
Slovníky a encyklopedie | |
---|---|
V bibliografických katalozích |