Landauova funkce

Landauova funkce v teorii čísel , pojmenovaná po německém matematikovi Edmundu Landauovi , je definována pro jakékoli přirozené číslo n jako největší pořadí prvku symetrické grupy . $g(n)$ $S_{n}$

Definice

Ekvivalentní definice: rovna největšímu z nejmenších společných násobků (LCM) ve všech oddílech čísla n nebo maximálnímu počtu, kolikrát může být permutace n prvků postupně aplikována před prvním výskytem původní sekvence. Takže formálně: $g(n)$

g(n)=\max \limits _{k_{1}+\ldots +k_{m}=n}HOK(k_{1},\ldots ,k_{m})

Například 5 = 2 + 3 a LCM(2,3) = 6. Žádný jiný oddíl nedává větší nejmenší společný násobek, proto . Prvek řádu 6 ve skupině lze zapsat jako součin dvou cyklů: (1 2) (3 4 5). $g(5)=6$ $S_5$

Vlastnosti

Posloupnost celých čísel g (0) = 1, g (1) = 1, g (2) = 2, g (3) = 3, g (4) = 4, g (5) = 6, g (6) = 6 , g (7) = 12, g (8) = 15, … je sekvence OEIS A000793 , pojmenovaná po Edmundu Landauovi , který v roce 1902 [1] dokázal , že

\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n)))}=1

(kde ln znamená přirozený logaritmus ).

V tomto případě se lokální maxima výrazu pod limitním znaménkem vyskytují při n = 2, 3, 5, 7, 9, 10, 12, 17, 19, 30, 36, 40, … (sekvence A103635 v OEIS ).

Tvrzení, že

\ln g(n)<{\sqrt {\název operátora {Li} ^{-1}(n)))

pro všechny n , kde označuje převrácenou hodnotu integrálního logaritmu , je ekvivalentní Riemannově hypotéze . ${\displaystyle \operatorname {Li} ^{-1))$

Jiné poměry:

V LCM (1, 2, …, n) . První nerovnost vyplývá z toho, že je jedním z oddílů, druhá asymptotika z Landauova tvrzení. $\leqslant \ln g\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\sim n{\sqrt {\ln n}}$ $1+2+\tečky +n={\frac {n(n+1)}{2))$
Nechť gpf( g(n) ) je největší prvočinitel g(n) . Hodnoty této funkce pro n=2, 3, ... budou 2, 3, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 11, … (sekvence A129759 v OEIS ). J.L. Nicolas v roce 1969 to ukázal . J.P. Massias a kol. (1988, 1989) ukázal, že pro všechny a J. Grantham (1995) ukázal, že pro všechny lze konstantu 2,86 zlepšit na 1,328. $\operatorname {gpf} (g(n))\sim {\sqrt {n\ln n))$ $n\geqslant 2$ $\operatorname {gpf} (g(n))\leqslant 2{,}86{\sqrt {n\ln n))$ $n\geqslant 5$

Poznámky

↑ Landau, str. 92-103

Literatura

E. Landau , "Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [O maximálním permutačním řádu daného řádu]", Arch. Matematika. Phys. Ser. 3, sv. 5, 1903.
W. Miller, "Maximální řád prvku konečné symetrické grupy", American Mathematical Monthly , sv. 94, 1987, str. 497-506.
J.L. Nicolas, „O Landauově funkci g ( n )“, v The Mathematics of Paul Erdős , sv. 1, Springer-Verlag , 1997, str. 228-240.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Landau Function (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
posloupnost A000793 v OEIS je Landauova funkce pro přirozená čísla.